Mulți oameni au auzit despre progresia aritmetică, dar nu toată lumea are o idee bună despre ce este. În acest articol vom oferi definiția corespunzătoare și vom lua în considerare, de asemenea, întrebarea cum să găsim diferența unei progresii aritmetice și vom oferi o serie de exemple.

Definiție matematică

Deci dacă despre care vorbim despre progresia aritmetică sau algebrică (aceste concepte definesc același lucru), asta înseamnă că există o anumită serie de numere care îndeplinește următoarea lege: fiecare două numere adiacente din serie diferă cu aceeași valoare. Matematic se scrie asa:

Aici n înseamnă numărul elementului a n din succesiune, iar numărul d este diferența de progresie (denumirea acestuia decurge din formula prezentată).

Ce indică cunoașterea diferenței d? Despre cât de „departe” sunt numerele vecine unul de celălalt. Cu toate acestea, cunoașterea lui d este o condiție necesară, dar nu suficientă pentru determinarea (restaurarea) întregii progresii. Este necesar să se cunoască încă un număr, care poate fi absolut orice element al seriei luate în considerare, de exemplu, un 4, a10, dar, de regulă, se folosește primul număr, adică un 1.

Formule pentru determinarea elementelor de progresie

În general, informațiile de mai sus sunt deja suficiente pentru a trece la rezolvarea unor probleme specifice. Cu toate acestea, înainte ca progresia aritmetică să fie dată și va fi necesar să găsim diferența acesteia, vom prezenta câteva formule utile, facilitând astfel procesul ulterior de rezolvare a problemelor.

Este ușor de arătat că orice element al șirului cu număr n poate fi găsit după cum urmează:

a n = a 1 + (n - 1) * d

Într-adevăr, oricine poate verifica această formulă prin căutare simplă: dacă înlocuiți n = 1, obțineți primul element, dacă înlocuiți n = 2, atunci expresia dă suma primului număr și diferența și așa mai departe.

Condițiile multor probleme sunt alcătuite în așa fel încât, având în vedere o pereche cunoscută de numere, ale căror numere sunt și ele date în succesiune, este necesară reconstrucția întregii serie de numere (aflați diferența și primul element). Acum vom rezolva această problemă în formă generală.

Deci, să fie date două elemente cu numere n și m. Folosind formula obținută mai sus, puteți crea un sistem de două ecuații:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Pentru a găsi cantități necunoscute, vom folosi o tehnică simplă bine-cunoscută pentru rezolvarea unui astfel de sistem: scădeți părțile stânga și dreaptă în perechi, egalitatea va rămâne valabilă. Avem:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Astfel, am exclus o necunoscută (a 1). Acum putem scrie expresia finală pentru determinarea d:

d = (a n - a m) / (n - m), unde n > m

Am primit o formulă foarte simplă: pentru a calcula diferența d în conformitate cu condițiile problemei, este necesar doar să luăm raportul dintre diferențele dintre elementele în sine și numerele lor de serie. Un punct important trebuie acordat atenție: diferențele sunt luate între membrii „senior” și „junior”, adică n > m („senior” înseamnă a sta mai departe de începutul secvenței, valoarea sa absolută poate fi fie element mai mare sau mai puțin „junior”).

Expresia pentru diferența d progresie ar trebui înlocuită în oricare dintre ecuațiile de la începutul rezolvării problemei pentru a obține valoarea primului termen.

În era noastră a dezvoltării tehnologiei informatice, mulți școlari încearcă să găsească soluții pentru sarcinile lor pe internet, așa că apar adesea întrebări de acest tip: găsiți diferența unei progresii aritmetice online. Pentru o astfel de solicitare, motorul de căutare va returna un număr de pagini web, mergând la care va trebui să introduceți datele cunoscute din condiție (aceasta pot fi fie doi termeni ai progresiei, fie suma unui anumit număr dintre ei). ) și primiți instantaneu un răspuns. Cu toate acestea, această abordare a rezolvării problemei este neproductivă în ceea ce privește dezvoltarea și înțelegerea de către elev a esenței sarcinii care i-au fost atribuite.

Soluție fără a folosi formule

Să rezolvăm prima problemă fără a folosi nici una dintre formulele date. Să fie date elementele seriei: a6 = 3, a9 = 18. Aflați diferența progresiei aritmetice.

Elementele cunoscute stau aproape unele de altele la rând. De câte ori trebuie adăugată diferența d la cea mai mică pentru a obține cea mai mare? De trei ori (prima oară adăugând d, obținem al 7-lea element, a doua oară - a opta, în sfârșit, a treia oară - a noua). Ce număr trebuie adăugat la trei de trei ori pentru a obține 18? Acesta este numărul cinci. Serios:

Astfel, diferența necunoscută d = 5.

Desigur, soluția ar fi putut fi realizată folosind formula corespunzătoare, dar acest lucru nu a fost făcut intenționat. O explicație detaliată a soluției problemei ar trebui să devină un exemplu clar și clar a ceea ce progresie aritmetică.

O sarcină similară celei anterioare

Acum să rezolvăm o problemă similară, dar să schimbăm datele de intrare. Deci, ar trebui să aflați dacă a3 = 2, a9 = 19.

Desigur, puteți recurge din nou la metoda de soluție „directă”. Dar, deoarece sunt date elementele seriei, care sunt relativ departe unele de altele, această metodă nu va fi pe deplin convenabilă. Dar folosirea formulei rezultate ne va conduce rapid la răspuns:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Aici am rotunjit numărul final. Măsura în care această rotunjire a condus la o eroare poate fi apreciată prin verificarea rezultatului:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Acest rezultat diferă doar cu 0,1% de valoarea dată în condiție. Prin urmare, rotunjirea folosită la cele mai apropiate sutimi poate fi considerată o alegere de succes.

Probleme care implică aplicarea formulei pentru un termen

Să luăm în considerare un exemplu clasic de problemă pentru a determina necunoscutul d: găsiți diferența unei progresii aritmetice dacă a1 = 12, a5 = 40.

Când sunt date două numere dintr-o succesiune algebrică necunoscută, iar unul dintre ele este elementul a 1, atunci nu trebuie să vă gândiți mult, ci ar trebui să aplicați imediat formula pentru un termen. În acest caz avem:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Am primit numărul exact la împărțire, așa că nu are rost să verificăm acuratețea rezultatului calculat, așa cum sa făcut în paragraful anterior.

Să rezolvăm o altă problemă similară: trebuie să găsim diferența unei progresii aritmetice dacă a1 = 16, a8 = 37.

Folosim o abordare similară cu cea anterioară și obținem:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Ce altceva ar trebui să știi despre progresia aritmetică?

Pe lângă problemele de găsire a unei diferențe necunoscute sau a elementelor individuale, este adesea necesar să se rezolve problemele sumei primilor termeni ai unei secvențe. Luarea în considerare a acestor probleme depășește domeniul de aplicare al articolului, totuși, pentru caracterul complet al informațiilor, prezentăm o formulă generală pentru suma de n numere dintr-o serie:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

I. V. Yakovlev | Materiale de matematică | MathUs.ru

Progresie aritmetică

O progresie aritmetică este un tip special de succesiune. Prin urmare, înainte de a defini progresia aritmetică (și apoi geometrică), trebuie să discutăm pe scurt conceptul important de secvență de numere.

Urmare

Imaginează-ți un dispozitiv pe ecranul căruia anumite numere sunt afișate unul după altul. Să spunem 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Acest set de numere este tocmai un exemplu de succesiune.

Definiţie. O secvență de numere este un set de numere în care fiecărui număr i se poate atribui un număr unic (adică asociat cu un singur număr natural)1. Se numește numărul n al n-lea termen secvente.

Deci, în exemplul de mai sus, primul număr este 2, acesta este primul membru al secvenței, care poate fi notat cu a1; numărul cinci are numărul 6 este al cincilea termen al șirului, care poate fi notat cu a5. Deloc, al n-lea termen secvențele sunt notate cu un (sau bn, cn etc.).

O situație foarte convenabilă este atunci când al n-lea termen al secvenței poate fi specificat printr-o formulă. De exemplu, formula an = 2n 3 specifică succesiunea: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Formula an = (1)n specifică succesiunea: 1; 1; 1; 1; : : :

Nu orice set de numere este o secvență. Astfel, un segment nu este o succesiune; conține „prea multe” numere pentru a fi renumerotate. Mulțimea R a tuturor numerelor reale nu este, de asemenea, o secvență. Aceste fapte sunt dovedite în cursul analizei matematice.

Progresia aritmetică: definiții de bază

Acum suntem gata să definim o progresie aritmetică.

Definiţie. O progresie aritmetică este o succesiune în care fiecare termen (începând cu al doilea) este egal cu suma termenului anterior și a unui număr fix (numit diferența progresiei aritmetice).

De exemplu, secvența 2; 5; 8; 11; : : : este o progresie aritmetică cu primul termen 2 și diferența 3. Secvența 7; 2; 3; 8; : : : este o progresie aritmetică cu primul termen 7 și diferența 5. Secvența 3; 3; 3; : : : este o progresie aritmetică cu o diferență egală cu zero.

Definiție echivalentă: șirul an se numește progresie aritmetică dacă diferența an+1 an este o valoare constantă (independentă de n).

O progresie aritmetică se numește crescătoare dacă diferența este pozitivă și descrescătoare dacă diferența este negativă.

1 Iată o definiție mai concisă: o secvență este o funcție definită pe o mulțime numere naturale. De exemplu, o succesiune de numere reale este o funcție f: N ! R.

În mod implicit, secvențele sunt considerate infinite, adică care conțin un număr infinit de numere. Dar nimeni nu ne deranjează să luăm în considerare secvențe finite; de fapt, orice set finit de numere poate fi numită o secvență finită. De exemplu, secvența finală este 1; 2; 3; 4; 5 este format din cinci numere.

Formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice

Este ușor de înțeles că o progresie aritmetică este complet determinată de două numere: primul termen și diferența. Prin urmare, se pune întrebarea: cum, cunoscând primul termen și diferența, găsim un termen arbitrar al unei progresii aritmetice?

Nu este dificil să obțineți formula necesară pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice. Lasă an

progresie aritmetică cu diferență d. Avem:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :):
În special, scriem:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
și acum devine clar că formula pentru an este:
an = a1 + (n 1)d:

Problema 1. În progresia aritmetică 2; 5; 8; 11; : : : găsiți formula pentru al n-lea termen și calculați al sutelea termen.

Soluţie. Conform formulei (1) avem:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Proprietatea și semnul progresiei aritmetice

Proprietatea progresiei aritmetice. În progresie aritmetică an pentru orice

Cu alte cuvinte, fiecare membru al unei progresii aritmetice (începând de la al doilea) este media aritmetică a membrilor săi vecini.

	Dovada. Avem:
	a n 1 + a n+1		(an d) + (an + d)

care este ceea ce s-a cerut.

Mai general, progresia aritmetică an satisface egalitatea

a n = a n k + a n+k

pentru orice n > 2 și orice k natural< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Se pare că formula (2) servește nu numai ca o condiție necesară, ci și ca o condiție suficientă pentru ca șirul să fie o progresie aritmetică.

Semnul progresiei aritmetice. Dacă egalitatea (2) este valabilă pentru toate n > 2, atunci șirul an este o progresie aritmetică.

Dovada. Să rescriem formula (2) după cum urmează:

a n a n 1 = a n+1 a n:

Din aceasta putem vedea că diferența an+1 an nu depinde de n, și asta înseamnă tocmai că șirul an este o progresie aritmetică.

Proprietatea și semnul unei progresii aritmetice pot fi formulate sub forma unui enunț; Pentru comoditate, vom face acest lucru pentru trei numere (aceasta este situația care apare adesea în probleme).

Caracterizarea unei progresii aritmetice. Trei numere a, b, c formează o progresie aritmetică dacă și numai dacă 2b = a + c.

Problema 2. (MSU, Facultatea de Economie, 2007) Trei numere 8x, 3 x2 și 4 în ordinea indicată formează o progresie aritmetică descrescătoare. Găsiți x și indicați diferența acestei progresii.

Soluţie. Prin proprietatea progresiei aritmetice avem:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:

Dacă x = 1, atunci obținem o progresie descrescătoare de 8, 2, 4 cu o diferență de 6. Dacă x = 5, atunci obținem o progresie crescătoare de 40, 22, 4; acest caz nu este potrivit.

Răspuns: x = 1, diferența este 6.

Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice

Legenda spune că într-o zi profesorul le-a spus copiilor să găsească suma numerelor de la 1 la 100 și s-a așezat în liniște să citească ziarul. Cu toate acestea, în câteva minute, un băiat a spus că a rezolvat problema. Acesta a fost Carl Friedrich Gauss, în vârstă de 9 ani, mai târziu unul dintre cei mai mari matematicieni din istorie.

Ideea micuțului Gauss a fost următoarea. Lasă

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Să scriem această sumă în ordine inversă:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

și adăugați aceste două formule:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Fiecare termen dintre paranteze este egal cu 101 și, prin urmare, există 100 de astfel de termeni

2S = 101 100 = 10100;

Folosim această idee pentru a deriva formula sumei

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

O modificare utilă a formulei (3) se obține dacă înlocuim formula celui de-al n-lea termen an = a1 + (n 1)d în ea:

		2a1 + (n 1)d

Problema 3. Aflați suma tuturor numerelor pozitive din trei cifre divizibile cu 13.

Soluţie. Numerele din trei cifre care sunt multipli ai lui 13 formează o progresie aritmetică, primul termen fiind 104 și diferența fiind 13; Al n-lea termen al acestei progresii are forma:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Să aflăm câți termeni conține progresia noastră. Pentru a face acest lucru, să rezolvăm inegalitatea:

un 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Deci, există 69 de membri în progresul nostru. Folosind formula (4) găsim cantitatea necesară:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Unii oameni tratează cuvântul „progresie” cu prudență, ca pe un termen foarte complex din ramurile matematicii superioare. Între timp, cea mai simplă progresie aritmetică este munca contorului de taxi (unde există încă). Și înțelegerea esenței (și în matematică nu este nimic mai important decât „obținerea esenței”) a unei secvențe aritmetice nu este atât de dificilă, având în vedere câteva concepte elementare.

Succesiunea de numere matematice

O secvență numerică este de obicei numită o serie de numere, fiecare dintre ele având propriul său număr.

a 1 este primul membru al secvenței;

și 2 este al doilea termen al secvenței;

și 7 este al șaptelea membru al secvenței;

şi n este al n-lea membru al secvenţei;

Cu toate acestea, nu ne interesează niciun set arbitrar de numere și numere. Ne vom concentra atenția asupra unei secvențe numerice în care valoarea celui de-al n-lea termen este legată de numărul său ordinal printr-o relație care poate fi formulată clar matematic. Cu alte cuvinte: valoarea numerică a numărului al n-lea este o funcție a lui n.

a este valoarea unui membru al unei secvențe numerice;

n este numărul său de serie;

f(n) este o funcție, unde numărul ordinal din șirul numeric n este argumentul.

Definiţie

O progresie aritmetică se numește de obicei o succesiune numerică în care fiecare termen ulterior este mai mare (mai mic) decât cel anterior cu același număr. Formula pentru al n-lea termen al unei secvențe aritmetice este următoarea:

a n - valoarea membrului curent al progresiei aritmetice;

a n+1 - formula următorului număr;

d - diferenta (numar anume).

Este ușor de determinat că dacă diferența este pozitivă (d>0), atunci fiecare membru ulterior al seriei luate în considerare va fi mai mare decât precedentul și o astfel de progresie aritmetică va crește.

În graficul de mai jos este ușor de înțeles de ce succesiune de numere numită „în creștere”.

În cazurile în care diferența este negativă (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Valoarea specificată pentru membru

Uneori este necesar să se determine valoarea oricărui termen arbitrar a n al unei progresii aritmetice. Acest lucru se poate face prin calcularea succesivă a valorilor tuturor membrilor progresiei aritmetice, începând de la primul până la cel dorit. Cu toate acestea, această cale nu este întotdeauna acceptabilă dacă, de exemplu, este necesar să se găsească valoarea celui de cinci mii sau opt milioane. Calculele tradiționale vor dura mult timp. Cu toate acestea, o anumită progresie aritmetică poate fi studiată folosind anumite formule. Există și o formulă pentru al n-lea termen: valoarea oricărui termen al unei progresii aritmetice poate fi determinată ca suma primului termen al progresiei cu diferența progresiei, înmulțită cu numărul termenului dorit, redusă cu unul.

Formula este universală pentru creșterea și scăderea progresiei.

Un exemplu de calcul al valorii unui termen dat

Să rezolvăm următoarea problemă de găsire a valorii celui de-al n-lea termen al unei progresii aritmetice.

Condiție: există o progresie aritmetică cu parametrii:

Primul termen al secvenței este 3;

Diferența în seria de numere este 1,2.

Sarcină: trebuie să găsiți valoarea a 214 termeni

Soluție: pentru a determina valoarea unui termen dat, folosim formula:

a(n) = a1 + d(n-1)

Înlocuind datele din enunțul problemei în expresie, avem:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Răspuns: Al 214-lea termen al secvenței este egal cu 258,6.

Avantajele acestei metode de calcul sunt evidente - întreaga soluție nu necesită mai mult de 2 linii.

Suma unui număr dat de termeni

Foarte des, într-o serie aritmetică dată, este necesar să se determine suma valorilor unora dintre segmentele sale. Pentru a face acest lucru, nu este nevoie să calculați valorile fiecărui termen și apoi să le adăugați. Această metodă este aplicabilă dacă numărul de termeni a căror sumă trebuie găsită este mic. În alte cazuri, este mai convenabil să folosiți următoarea formulă.

Suma termenilor unei progresii aritmetice de la 1 la n este egală cu suma primului și al n-lea termen, înmulțită cu numărul termenului n și împărțită la doi. Dacă în formulă valoarea celui de-al n-lea termen este înlocuită cu expresia din paragraful anterior al articolului, obținem:

Exemplu de calcul

De exemplu, să rezolvăm o problemă cu următoarele condiții:

Primul termen al secvenței este zero;

Diferența este de 0,5.

Problema necesită determinarea sumei termenilor seriei de la 56 la 101.

Soluţie. Să folosim formula pentru a determina valoarea progresiei:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

În primul rând, determinăm suma valorilor a 101 termeni ai progresiei prin înlocuirea condițiilor date ale problemei noastre în formula:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2.525

Evident, pentru a afla suma termenilor progresiei de la 56 la 101, este necesar să scădem S 55 din S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Astfel, suma progresiei aritmetice pentru acest exemplu este:

s 101 - s 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5

Exemplu de aplicare practică a progresiei aritmetice

La sfârșitul articolului, să revenim la exemplul unei secvențe aritmetice prezentate în primul paragraf - un taximetru (contor de mașină de taxi). Să luăm în considerare acest exemplu.

Urcarea într-un taxi (care include 3 km de călătorie) costă 50 de ruble. Fiecare kilometru următor este plătit la rata de 22 de ruble/km. Distanta de parcurs este de 30 km. Calculați costul călătoriei.

1. Să renunțăm la primii 3 km, al căror preț este inclus în costul aterizării.

30 - 3 = 27 km.

2. Calculul suplimentar nu este altceva decât analizarea unei serii de numere aritmetice.

Număr membru - numărul de kilometri parcurși (minus primii trei).

Valoarea membrului este suma.

Primul termen din această problemă va fi egal cu 1 = 50 de ruble.

Diferența de progresie d = 22 r.

numărul care ne interesează este valoarea termenului (27+1) al progresiei aritmetice - citirea contorului la sfârșitul celui de-al 27-lea kilometru este 27,999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Calculele datelor din calendar pentru o perioadă arbitrar de lungă se bazează pe formule care descriu anumite secvențe numerice. În astronomie, lungimea orbitei depinde geometric de distanța dintre corpul ceresc și stea. În plus, diverse serii de numere sunt utilizate cu succes în statistică și în alte domenii aplicate ale matematicii.

Un alt tip de succesiune de numere este geometric

Progresia geometrică este caracterizată de rate mai mari de schimbare în comparație cu progresia aritmetică. Nu este o coincidență că în politică, sociologie și medicină, pentru a arăta viteza mare de răspândire a unui anumit fenomen, de exemplu, o boală în timpul unei epidemii, ei spun adesea că procesul se dezvoltă în progresie geometrică.

Al N-lea termen al seriei de numere geometrice diferă de cel precedent prin faptul că este înmulțit cu un număr constant - numitorul, de exemplu, primul termen este 1, numitorul este în mod corespunzător egal cu 2, apoi:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - valoarea termenului curent al progresiei geometrice;

b n+1 - formula următorului termen al progresiei geometrice;

q este numitorul progresiei geometrice (un număr constant).

Dacă graficul unei progresii aritmetice este o linie dreaptă, atunci o progresie geometrică pictează o imagine ușor diferită:

Ca și în cazul aritmeticii, progresia geometrică are o formulă pentru valoarea unui termen arbitrar. Orice al n-lea termen al unei progresii geometrice este egal cu produsul primului termen și numitorul progresiei la puterea lui n redus cu unu:

Exemplu. Avem o progresie geometrică cu primul termen egal cu 3 și numitorul progresiei egal cu 1,5. Să găsim al 5-lea termen al progresiei

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Suma unui număr dat de termeni este de asemenea calculată folosind o formulă specială. Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice este egală cu diferența dintre produsul celui de-al n-lea termen al progresiei și numitorul său și primul termen al progresiei, împărțit la numitorul redus cu unu:

Dacă b n este înlocuit folosind formula discutată mai sus, valoarea sumei primilor n termeni ai seriei de numere luate în considerare va lua forma:

Exemplu. Progresia geometrică începe cu primul termen egal cu 1. Numitorul este setat la 3. Să aflăm suma primilor opt termeni.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Da, da: progresia aritmetică nu este o jucărie pentru tine :)

Ei bine, prieteni, dacă citiți acest text, atunci dovada internă a capacului îmi spune că încă nu știți ce este o progresie aritmetică, dar chiar (nu, așa: SOOOOO!) doriți să știți. Prin urmare, nu vă voi chinui cu prezentări lungi și voi ajunge direct la obiect.

În primul rând, câteva exemple. Să ne uităm la mai multe seturi de numere:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Ce au în comun toate aceste seturi? La prima vedere, nimic. Dar de fapt există ceva. Anume: fiecare element următor diferă de cel precedent prin același număr.

Judecă singur. Primul set este pur și simplu numere consecutive, fiecare următor fiind cu unul mai mult decât precedentul. În al doilea caz, diferența dintre numerele adiacente este deja de cinci, dar această diferență este încă constantă. În al treilea caz, există cu totul rădăcini. Cu toate acestea, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ și $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, adică. și în acest caz, fiecare element următor crește pur și simplu cu $\sqrt(2)$ (și nu vă fie teamă că acest număr este irațional).

Deci: toate astfel de secvențe se numesc progresii aritmetice. Să dăm o definiție strictă:

Definiţie. O succesiune de numere în care fiecare următor diferă de precedentul prin exact aceeași cantitate se numește progresie aritmetică. Însuși valoarea cu care numerele diferă se numește diferență de progresie și este cel mai adesea notă cu litera $d$.

Notație: $\left(((a)_(n)) \right)$ este progresia în sine, $d$ este diferența acesteia.

Și doar câteva note importante. În primul rând, progresia este luată în considerare ordonat succesiune de numere: au voie să fie citite strict în ordinea în care sunt scrise - și nimic altceva. Numerele nu pot fi rearanjate sau schimbate.

În al doilea rând, succesiunea în sine poate fi fie finită, fie infinită. De exemplu, mulțimea (1; 2; 3) este în mod evident o progresie aritmetică finită. Dar dacă scrieți ceva în spirit (1; 2; 3; 4; ...) - aceasta este deja o progresie infinită. Elipsele de după cele patru par să sugereze că mai urmează destul de multe numere. Infinit multe, de exemplu.

De asemenea, aș dori să remarc că progresiile pot fi în creștere sau în scădere. Am văzut deja crescătoare - același set (1; 2; 3; 4; ...). Iată exemple de progresii în scădere:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Bine, bine: ultimul exemplu poate părea excesiv de complicat. Dar restul cred că ai înțeles. Prin urmare, introducem noi definiții:

Definiţie. O progresie aritmetica se numeste:

1. crescând dacă fiecare element următor este mai mare decât cel anterior;
2. descrescătoare dacă, dimpotrivă, fiecare element ulterior este mai mic decât cel anterior.

În plus, există așa-numitele secvențe „staționare” - ele constau din același număr care se repetă. De exemplu, (3; 3; 3; ...).

Rămâne o singură întrebare: cum să distingem o progresie crescătoare de una în scădere? Din fericire, totul aici depinde doar de semnul numărului $d$, adică. diferente de progresie:

1. Dacă $d \gt 0$, atunci progresia crește;
2. Dacă $d \lt 0$, atunci progresia este în mod evident în scădere;
3. În sfârșit, există cazul $d=0$ - în acest caz întreaga progresie se reduce la o succesiune staționară de numere identice: (1; 1; 1; 1; ...), etc.

Să încercăm să calculăm diferența $d$ pentru cele trei progresii descrescătoare prezentate mai sus. Pentru a face acest lucru, este suficient să luați oricare două elemente adiacente (de exemplu, primul și al doilea) și să scădeți numărul din stânga din numărul din dreapta. Va arata asa:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

După cum putem vedea, în toate cele trei cazuri diferența sa dovedit a fi de fapt negativă. Și acum că ne-am dat seama mai mult sau mai puțin definițiile, este timpul să ne dăm seama cum sunt descrise progresiile și ce proprietăți au acestea.

Termeni de progresie și formula de recurență

Deoarece elementele secvențelor noastre nu pot fi schimbate, ele pot fi numerotate:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \dreapta\)\]

Elementele individuale ale acestui set sunt numite membri ai unei progresii. Ele sunt indicate printr-un număr: primul membru, al doilea membru etc.

În plus, după cum știm deja, termenii învecinați ai progresiei sunt legați prin formula:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Pe scurt, pentru a găsi termenul $n$ al unei progresii, trebuie să cunoașteți termenul $n-1$-lea și diferența $d$. Această formulă se numește recurentă, deoarece cu ajutorul ei poți găsi orice număr doar cunoscându-l pe cel anterior (și de fapt, pe toate precedentele). Acest lucru este foarte incomod, deci există o formulă mai vicleană care reduce orice calcul la primul termen și diferența:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\stanga(n-1 \dreapta)d\]

Probabil că ați întâlnit deja această formulă. Le place să-l ofere în tot felul de cărți de referință și cărți de soluții. Și în orice manual de matematică sensibil este unul dintre primele.

Totuși, vă sugerez să exersați puțin.

Sarcina nr. 1. Notați primii trei termeni ai progresiei aritmetice $\left(((a)_(n)) \right)$ dacă $((a)_(1))=8,d=-5$.

Soluţie. Deci, cunoaștem primul termen $((a)_(1))=8$ și diferența de progresie $d=-5$. Să folosim formula tocmai dată și să înlocuim $n=1$, $n=2$ și $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Răspuns: (8; 3; −2)

Asta este! Vă rugăm să rețineți: progresul nostru este în scădere.

Desigur, $n=1$ nu a putut fi înlocuit - primul termen este deja cunoscut de noi. Totuși, înlocuind unitatea, am fost convinși că și pentru primul termen formula noastră funcționează. În alte cazuri, totul s-a rezumat la aritmetică banală.

Sarcina nr. 2. Scrieți primii trei termeni ai unei progresii aritmetice dacă al șaptelea termen este egal cu −40 și al șaptesprezecelea termen este egal cu −50.

Soluţie. Să scriem condiția problemei în termeni familiari:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \corect.\]

Am pus semnul de sistem pentru că aceste cerințe trebuie îndeplinite simultan. Acum să observăm că, dacă o scădem pe prima din a doua ecuație (avem dreptul să facem asta, deoarece avem un sistem), obținem asta:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Așa este de ușor să găsești diferența de progresie! Rămâne să înlocuiți numărul găsit în oricare dintre ecuațiile sistemului. De exemplu, în primul:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrice)\]

Acum, cunoscând primul termen și diferența, rămâne să găsim al doilea și al treilea termen:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

Gata! Problema este rezolvată.

Răspuns: (−34; −35; −36)

Observați proprietatea interesantă a progresiei pe care am descoperit-o: dacă luăm termenii $n$th și $m$th și îi scădem unul de celălalt, obținem diferența de progresie înmulțită cu numărul $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

O proprietate simplă, dar foarte utilă pe care neapărat trebuie să o cunoști - cu ajutorul ei poți accelera semnificativ rezolvarea multor probleme de progresie. Iată un exemplu clar în acest sens:

Sarcina nr. 3. Al cincilea termen al unei progresii aritmetice este 8,4, iar al zecelea termen este 14,4. Găsiți al cincisprezecelea termen al acestei progresii.

Soluţie. Deoarece $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ și trebuie să găsim $((a)_(15))$, observăm următoarele:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Dar prin condiția $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, deci $5d=6$, din care avem:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]

Răspuns: 20.4

Asta este! Nu a fost nevoie să creăm sisteme de ecuații și să calculăm primul termen și diferența - totul a fost rezolvat în doar câteva linii.

Acum să ne uităm la un alt tip de problemă - căutarea termenilor negativi și pozitivi ai unei progresii. Nu este un secret că, dacă o progresie crește, iar primul său termen este negativ, atunci mai devreme sau mai târziu vor apărea termeni pozitivi în ea. Și invers: termenii unei progresii descrescătoare vor deveni mai devreme sau mai târziu negativi.

În același timp, nu este întotdeauna posibil să găsiți acest moment „în față” parcurgând secvențial elementele. Adesea, problemele sunt scrise în așa fel încât, fără a cunoaște formulele, calculele ar dura mai multe coli de hârtie – pur și simplu am adormi în timp ce găsim răspunsul. Prin urmare, să încercăm să rezolvăm aceste probleme într-un mod mai rapid.

Sarcina nr. 4. Câți termeni negativi există în progresia aritmetică −38,5; −35,8; ...?

Soluţie. Deci, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, de unde găsim imediat diferența:

Rețineți că diferența este pozitivă, deci progresia crește. Primul termen este negativ, așa că într-adevăr, la un moment dat, ne vom împiedica de numere pozitive. Singura întrebare este când se va întâmpla asta.

Să încercăm să aflăm cât timp (adică până la ce număr natural $n$) rămâne negativitatea termenilor:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \right)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \dreapta. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

Ultima linie necesită câteva explicații. Deci știm că $n \lt 15\frac(7)(27)$. Pe de altă parte, ne mulțumim doar cu valori întregi ale numărului (mai mult: $n\in \mathbb(N)$), deci cel mai mare număr permis este tocmai $n=15$ și în niciun caz 16 .

Sarcina nr. 5. În progresie aritmetică $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Aflați numărul primului termen pozitiv al acestei progresii.

Aceasta ar fi exact aceeași problemă ca cea anterioară, dar nu știm $((a)_(1))$. Dar termenii vecini sunt cunoscuți: $((a)_(5))$ și $((a)_(6))$, așa că putem găsi cu ușurință diferența de progresie:

În plus, să încercăm să exprimăm al cincilea termen prin primul și diferența folosind formula standard:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Acum procedăm prin analogie cu sarcina anterioară. Să aflăm în ce moment în succesiunea noastră vor apărea numerele pozitive:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Soluția întreagă minimă a acestei inegalități este numărul 56.

Vă rugăm să rețineți: în ultima sarcină totul s-a rezumat la o inegalitate strictă, așa că opțiunea $n=55$ nu ne va potrivi.

Acum că am învățat cum să rezolvăm probleme simple, să trecem la altele mai complexe. Dar mai întâi, să studiem o altă proprietate foarte utilă a progresiilor aritmetice, care ne va economisi mult timp și celule inegale în viitor :)

Media aritmetică și indentări egale

Să luăm în considerare câțiva termeni consecutivi ai progresiei aritmetice crescătoare $\left(((a)_(n)) \right)$. Să încercăm să le marchem pe linia numerică:

Termenii unei progresii aritmetice pe dreapta numerică

Am marcat în mod special termeni arbitrari $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, și nu niște $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ etc. Pentru că regula despre care vă voi spune acum funcționează la fel pentru orice „segment”.

Și regula este foarte simplă. Să ne amintim formula recurentă și să o scriem pentru toți termenii marcați:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Cu toate acestea, aceste egalități pot fi rescrise diferit:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Şi ce dacă? Și faptul că termenii $((a)_(n-1))$ și $((a)_(n+1))$ se află la aceeași distanță de $((a)_(n)) $ . Și această distanță este egală cu $d$. Același lucru se poate spune despre termenii $((a)_(n-2))$ și $((a)_(n+2))$ - sunt, de asemenea, eliminați din $((a)_(n) )$ la aceeași distanță egală cu $2d$. Putem continua la infinit, dar sensul este bine ilustrat de imagine

Termenii progresiei se află la aceeași distanță de centru

Ce înseamnă asta pentru noi? Aceasta înseamnă că $((a)_(n))$ poate fi găsit dacă numerele învecinate sunt cunoscute:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Am obținut o afirmație excelentă: fiecare termen al unei progresii aritmetice este egal cu media aritmetică a termenilor învecinați! Mai mult decât atât: ne putem întoarce de la $((a)_(n))$ la stânga și la dreapta nu cu un pas, ci cu $k$ pași - și formula va fi în continuare corectă:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Aceste. putem găsi cu ușurință câțiva $((a)_(150))$ dacă știm $((a)_(100))$ și $((a)_(200))$, deoarece $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. La prima vedere, poate părea că acest fapt nu ne oferă nimic util. Cu toate acestea, în practică, multe probleme sunt special adaptate pentru a utiliza media aritmetică. Aruncă o privire:

Sarcina nr. 6. Găsiți toate valorile lui $x$ pentru care numerele $-6((x)^(2))$, $x+1$ și $14+4((x)^(2))$ sunt termeni consecutivi ai o progresie aritmetică (în ordinea indicată).

Soluţie. Deoarece aceste numere sunt membre ale unei progresii, condiția mediei aritmetice este îndeplinită pentru ele: elementul central $x+1$ poate fi exprimat în termeni de elemente învecinate:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Rezultatul este o ecuație pătratică clasică. Rădăcinile sale: $x=2$ și $x=-3$ sunt răspunsurile.

Răspuns: −3; 2.

Sarcina nr. 7. Găsiți valorile lui $$ pentru care numerele $-1;4-3;(()^(2))+1$ formează o progresie aritmetică (în această ordine).

Soluţie. Să exprimăm din nou termenul mijlociu prin media aritmetică a termenilor vecini:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Din nou ecuația cuadratică. Și din nou există două rădăcini: $x=6$ și $x=1$.

Răspuns: 1; 6.

Dacă în procesul de rezolvare a unei probleme vii cu niște numere brutale, sau nu ești complet sigur de corectitudinea răspunsurilor găsite, atunci există o tehnică minunată care îți permite să verifici: am rezolvat corect problema?

Să presupunem că în problema nr. 6 am primit răspunsurile −3 și 2. Cum putem verifica dacă aceste răspunsuri sunt corecte? Să le conectăm la starea originală și să vedem ce se întâmplă. Permiteți-mi să vă reamintesc că avem trei numere ($-6(()^(2))$, $+1$ și $14+4(()^(2))$), care trebuie să formeze o progresie aritmetică. Să înlocuim $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Am obținut numerele −54; −2; 50 care diferă cu 52 este, fără îndoială, o progresie aritmetică. Același lucru se întâmplă și pentru $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Din nou o progresie, dar cu o diferență de 27. Astfel, problema a fost rezolvată corect. Cei care doresc pot verifica singuri a doua problemă, dar voi spune imediat: totul este corect și acolo.

În general, în timp ce rezolvăm ultimele probleme, am dat peste un alt fapt interesant, care trebuie de asemenea reținut:

Dacă trei numere sunt astfel încât al doilea este media aritmetică a primului și ultimului, atunci aceste numere formează o progresie aritmetică.

În viitor, înțelegerea acestei afirmații ne va permite să „construim” literalmente progresiile necesare pe baza condițiilor problemei. Dar înainte de a ne angaja într-o astfel de „construcție”, ar trebui să fim atenți la încă un fapt, care decurge direct din ceea ce a fost deja discutat.

Gruparea și însumarea elementelor

Să revenim din nou la axa numerelor. Să notăm acolo câțiva membri ai progresiei, între care, poate. valorează mulți alți membri:

Pe linia numerică sunt marcate 6 elemente

Să încercăm să exprimăm „coada din stânga” prin $((a)_(n))$ și $d$, iar „coada din dreapta” prin $((a)_(k))$ și $d$. Este foarte simplu:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Acum rețineți că următoarele sume sunt egale:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Mai simplu spus, dacă considerăm ca început două elemente ale progresiei, care în total sunt egale cu un anumit număr $S$, și apoi începem să pășim din aceste elemente în direcții opuse (unul către celălalt sau invers pentru a se îndepărta), apoi sumele elementelor de care ne vom împiedica vor fi de asemenea egale$S$. Acest lucru poate fi cel mai clar reprezentat grafic:

Indentațiile egale dau cantități egale

Înțelegerea acestui fapt ne va permite să rezolvăm probleme cu un nivel fundamental de complexitate mai mare decât cele pe care le-am considerat mai sus. De exemplu, acestea:

Sarcina nr. 8. Determinați diferența unei progresii aritmetice în care primul termen este 66, iar produsul dintre al doilea și al doisprezecelea termeni este cel mai mic posibil.

Soluţie. Să scriem tot ce știm:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Deci, nu cunoaștem diferența de progresie $d$. De fapt, întreaga soluție va fi construită în jurul diferenței, deoarece produsul $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ poate fi rescris după cum urmează:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

Pentru cei din rezervor: am luat multiplicatorul total de 11 din a doua paranteză. Astfel, produsul necesar este o funcție pătratică față de variabila $d$. Prin urmare, luați în considerare funcția $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - graficul său va fi o parabolă cu ramuri în sus, deoarece dacă extindem parantezele, obținem:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

După cum puteți vedea, coeficientul celui mai mare termen este 11 - acesta este un număr pozitiv, deci avem de-a face cu o parabolă cu ramuri în sus:

graficul unei funcții pătratice - parabolă

Vă rugăm să rețineți: această parabolă își ia valoarea minimă la vârful său cu abscisa $((d)_(0))$. Desigur, putem calcula această abscisă folosind schema standard (există formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), dar ar fi mult mai rezonabil să remarcăm că vârful dorit se află pe axa de simetrie a parabolei, prin urmare punctul $((d)_(0))$ este echidistant de rădăcinile ecuației $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

De aceea, nu m-am grăbit să deschid parantezele: în forma lor originală, rădăcinile erau foarte, foarte ușor de găsit. Prin urmare, abscisa este egală cu media aritmetică a numerelor −66 și −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Ce ne oferă numărul descoperit? Cu ea, produsul solicitat capătă cea mai mică valoare (apropo, nu am calculat niciodată $((y)_(\min ))$ - nu ni se cere acest lucru). În același timp, acest număr este diferența progresiei inițiale, adică. am gasit raspunsul :)

Răspuns: −36

Sarcina nr. 9. Între numerele $-\frac(1)(2)$ și $-\frac(1)(6)$ introduceți trei numere astfel încât împreună cu aceste numere să formeze o progresie aritmetică.

Soluţie. În esență, trebuie să facem o secvență de cinci numere, cu primul și ultimul număr deja cunoscute. Să notăm numerele lipsă prin variabilele $x$, $y$ și $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Rețineți că numărul $y$ este „mijlocul” secvenței noastre - este echidistant de numerele $x$ și $z$ și de numerele $-\frac(1)(2)$ și $-\frac (1)( 6)$. Și dacă în prezent nu putem obține $y$ din numerele $x$ și $z$, atunci situația este diferită cu capetele progresiei. Să ne amintim media aritmetică:

Acum, cunoscând $y$, vom găsi numerele rămase. Rețineți că $x$ se află între numerele $-\frac(1)(2)$ și $y=-\frac(1)(3)$ pe care tocmai le-am găsit. De aceea

Folosind un raționament similar, găsim numărul rămas:

Gata! Am găsit toate cele trei numere. Să le scriem în răspuns în ordinea în care ar trebui să fie introduse între numerele originale.

Răspuns: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Sarcina nr. 10. Între numerele 2 și 42, introduceți mai multe numere care, împreună cu aceste numere, formează o progresie aritmetică, dacă știți că suma primului, al doilea și ultimul dintre numerele introduse este 56.

Soluţie. O problemă și mai complexă, care, însă, se rezolvă după aceeași schemă ca și cele precedente - prin media aritmetică. Problema este că nu știm exact câte numere trebuie introduse. Prin urmare, să presupunem pentru certitudine că după ce ați inserat totul vor fi exact $n$ numere, iar primul dintre ele este 2, iar ultimul este 42. În acest caz, progresia aritmetică necesară poate fi reprezentată sub forma:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \dreapta\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Rețineți, totuși, că numerele $((a)_(2))$ și $((a)_(n-1))$ sunt obținute din numerele 2 și 42 de la margini cu un pas unul spre celălalt, adică . spre centrul secvenței. Și asta înseamnă că

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Dar atunci expresia scrisă mai sus poate fi rescrisă după cum urmează:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Cunoscând $((a)_(3))$ și $((a)_(1))$, putem găsi cu ușurință diferența progresiei:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Săgeată la dreapta d=5. \\ \end(align)\]

Tot ce rămâne este să găsiți termenii rămași:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Astfel, deja la pasul 9 vom ajunge la capătul din stânga secvenței – numărul 42. În total, au trebuit introduse doar 7 numere: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Răspuns: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Probleme de cuvinte cu progresii

În concluzie, aș dori să iau în considerare câteva probleme relativ simple. Ei bine, la fel de simplu: pentru majoritatea elevilor care studiază matematica la școală și nu au citit ce este scris mai sus, aceste probleme pot părea grele. Cu toate acestea, acestea sunt tipurile de probleme care apar în OGE și examenul de stat unificat la matematică, așa că vă recomand să vă familiarizați cu ele.

Sarcina nr. 11. Echipa a produs 62 de piese în ianuarie, iar în fiecare lună următoare a produs cu 14 piese mai multe decât în ​​luna precedentă. Câte piese a produs echipa în noiembrie?

Soluţie. Evident, numărul de piese enumerate pe lună va reprezenta o progresie aritmetică din ce în ce mai mare. În plus:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Noiembrie este a 11-a lună a anului, așa că trebuie să găsim $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Prin urmare, în noiembrie vor fi produse 202 piese.

Sarcina nr. 12. Atelierul de legătorie a legat în ianuarie 216 cărți, iar în fiecare lună următoare a legat cu 4 cărți mai multe decât în ​​cea precedentă. Câte cărți a legat atelierul în decembrie?

Soluţie. Totul este la fel:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Decembrie este ultima, a 12-a lună a anului, așa că căutăm $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Acesta este răspunsul - 260 de cărți vor fi legate în decembrie.

Ei bine, dacă ați citit până aici, mă grăbesc să vă felicit: ați finalizat cu succes „cursul tânărului luptător” în progresii aritmetice. Puteți trece în siguranță la următoarea lecție, unde vom studia formula pentru suma progresiei, precum și consecințele importante și foarte utile din aceasta.

Sau aritmetica este un tip de succesiune numerică ordonată, ale cărei proprietăți sunt studiate într-un curs de algebră școlară. Acest articol discută în detaliu întrebarea cum să găsiți suma unei progresii aritmetice.

Ce fel de progres este aceasta?

Înainte de a trece la întrebarea (cum să găsiți suma unei progresii aritmetice), merită să înțelegeți despre ce vorbim.

Orice succesiune de numere reale care se obține prin adăugarea (scăderea) unei valori din fiecare număr anterior se numește progresie algebrică (aritmetică). Această definiție, atunci când este tradusă în limbaj matematic, ia forma:

Aici i este numărul de serie al elementului din rândul a i. Astfel, cunoscând un singur număr de început, puteți restabili cu ușurință întreaga serie. Parametrul d din formulă se numește diferență de progresie.

Se poate demonstra cu ușurință că pentru seria de numere luate în considerare este valabilă următoarea egalitate:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Adică, pentru a găsi valoarea celui de-al n-lea element în ordine, ar trebui să adăugați diferența d la primul element a de 1 n-1 ori.

Care este suma unei progresii aritmetice: formula

Înainte de a da formula pentru suma indicată, merită luat în considerare un caz special simplu. Având în vedere o progresie a numerelor naturale de la 1 la 10, trebuie să găsiți suma lor. Deoarece există puțini termeni în progresia (10), este posibil să se rezolve problema direct, adică să însumăm toate elementele în ordine.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Merită să luați în considerare un lucru interesant: deoarece fiecare termen diferă de următorul prin aceeași valoare d = 1, atunci însumarea în perechi a primului cu al zecelea, al doilea cu al nouălea și așa mai departe va da același rezultat. Serios:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

După cum puteți vedea, există doar 5 dintre aceste sume, adică exact de două ori mai puțin decât numărul de elemente ale seriei. Apoi înmulțind numărul de sume (5) cu rezultatul fiecărei sume (11), veți ajunge la rezultatul obținut în primul exemplu.

Dacă generalizăm aceste argumente, putem scrie următoarea expresie:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Această expresie arată că nu este deloc necesară însumarea tuturor elementelor pe rând este suficient să cunoaștem valoarea primului a 1 și a ultimului a n, precum și numărul total de termeni n.

Se crede că Gauss s-a gândit pentru prima dată la această egalitate când a căutat o soluție la o problemă dată de profesorul său: însumați primele 100 de numere întregi.

Suma elementelor de la m la n: formula

Formula dată în paragraful anterior răspunde la întrebarea cum se găsește suma unei progresii aritmetice (primele elemente), dar adesea în probleme este necesară însumarea unei serii de numere la mijlocul progresiei. Cum să faci asta?

Cel mai simplu mod de a răspunde la această întrebare este luând în considerare următorul exemplu: să fie necesar să se găsească suma termenilor de la al mi-lea la al-lea. Pentru a rezolva problema, ar trebui să prezentați segmentul dat de la m la n al progresiei sub forma unei noi serii de numere. În această reprezentare, al-lea termen a m va fi primul, iar a n va fi numerotat n-(m-1). În acest caz, aplicând formula standard pentru sumă, se va obține următoarea expresie:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Exemplu de utilizare a formulelor

Știind cum să găsiți suma unei progresii aritmetice, merită să luați în considerare un exemplu simplu de utilizare a formulelor de mai sus.

Mai jos este o secvență numerică, ar trebui să găsiți suma termenilor săi, începând cu a 5-a și terminând cu a 12-lea:

Numerele date indică faptul că diferența d este egală cu 3. Folosind expresia pentru al n-lea element, puteți găsi valorile termenilor al 5-lea și al 12-lea al progresiei. Se dovedește:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Cunoscând valorile numerelor de la capetele progresiei algebrice luate în considerare, precum și știind ce numere din seria ocupă acestea, puteți folosi formula pentru suma obținută în paragraful anterior. Se va dovedi:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Este de remarcat faptul că această valoare ar putea fi obținută diferit: mai întâi găsiți suma primelor 12 elemente folosind formula standard, apoi calculați suma primelor 4 elemente folosind aceeași formulă, apoi scădeți pe al doilea din prima sumă.