Progresii aritmetice și geometrice

Informații teoretice

Informații teoretice

	Progresie aritmetică	Progresie geometrică
Definiţie	Progresie aritmetică un n este o succesiune în care fiecare membru, începând cu al doilea, este egal cu membrul anterior adăugat la același număr d (d- diferenta de progresie)	Progresie geometrică b n este o succesiune de numere diferite de zero, fiecare termen al cărora, începând cu al doilea, este egal cu termenul anterior înmulțit cu același număr q (q- numitorul progresiei)
Formula recurentei	Pentru orice natural n a n + 1 = a n + d	Pentru orice natural n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Formula al n-lea termen	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Proprietate caracteristică
Suma primilor n termeni

Exemple de sarcini cu comentarii

Sarcina 1

ÎN progresie aritmetică (un n) a 1 = -6, a 2

Conform formulei celui de-al n-lea termen:

un 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d

Dupa conditie:

a 1= -6, atunci un 22= -6 + 21 d .

Este necesar să găsiți diferența de progresii:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Raspuns: un 22 = -48.

Sarcina 2

Aflați al cincilea termen al progresiei geometrice: -3; 6;....

Prima metodă (folosind formula n termeni)

Conform formulei pentru al n-lea termen al unei progresii geometrice:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Deoarece b 1 = -3,

A doua metodă (folosind formula recurentă)

Deoarece numitorul progresiei este -2 (q = -2), atunci:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Raspuns: b 5 = -48.

Sarcina 3

În progresie aritmetică ( a n ) a 74 = 34; un 76= 156. Găsiți al șaptezeci și cincilea termen al acestei progresii.

Pentru o progresie aritmetică, proprietatea caracteristică are forma .

Din aceasta rezultă:

.

Să înlocuim datele în formula:

Raspuns: 95.

Sarcina 4

În progresie aritmetică ( a n ) a n= 3n - 4. Aflați suma primilor șaptesprezece termeni.

Pentru a afla suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice, se folosesc două formule:

.

Care dintre ele este mai convenabil de utilizat în acest caz?

Prin condiție, formula pentru al n-lea termen al progresiei inițiale este cunoscută ( un n) un n= 3n - 4. Puteți găsi imediat și a 1, Și un 16 fără a găsi d. Prin urmare, vom folosi prima formulă.

Raspuns: 368.

Sarcina 5

În progresie aritmetică ( un n) a 1 = -6; a 2= -8. Găsiți termenul al douăzeci și doi al progresiei.

Conform formulei celui de-al n-lea termen:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.

După condiție, dacă a 1= -6, atunci un 22= -6 + 21d . Este necesar să găsiți diferența de progresii:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Raspuns: un 22 = -48.

Sarcina 6

Se scriu mai mulți termeni consecutivi ai progresiei geometrice:

Găsiți termenul progresiei etichetat x.

Când rezolvăm, vom folosi formula pentru al n-lea termen b n = b 1 ∙ q n - 1 pentru progresii geometrice. Primul termen al progresiei. Pentru a găsi numitorul progresiei q, trebuie să luați oricare dintre termenii dați ai progresiei și să împărțiți la cel anterior. În exemplul nostru, putem lua și împărți prin. Obținem că q = 3. În loc de n, înlocuim 3 în formulă, deoarece este necesar să găsim al treilea termen al unei progresii geometrice date.

Înlocuind valorile găsite în formulă, obținem:

.

Raspuns: .

Sarcina 7

Din progresiile aritmetice date de formula celui de-al n-lea termen, selectați-l pe cel pentru care este îndeplinită condiția un 27 > 9:

Deoarece condiția dată trebuie îndeplinită pentru al 27-lea termen al progresiei, înlocuim 27 în loc de n în fiecare dintre cele patru progresii. În a 4-a progresie obținem:

.

Raspuns: 4.

Sarcina 8

În progresie aritmetică a 1= 3, d = -1,5. Specificați cea mai mare valoare a lui n pentru care este valabilă inegalitatea un n > -6.

Dacă pentru fiecare număr natural n potrivește un număr real un n , atunci ei spun că este dat succesiune de numere :

o 1 , o 2 , o 3 , . . . , un n , . . . .

Deci, secvența de numere este o funcție a argumentului natural.

Număr o 1 numit primul termen al secvenței , număr o 2 — al doilea termen al secvenței , număr o 3 — treilea și așa mai departe. Număr un n numit al n-lea termen secvente , și un număr natural n — numărul lui .

Din doi membri alăturați un n Şi un n +1 membru al secvenței un n +1 numit ulterior (relativ la un n ), A un n — anterior (relativ la un n +1 ).

Pentru a defini o secvență, trebuie să specificați o metodă care vă permite să găsiți un membru al secvenței cu orice număr.

Adesea secvența este specificată folosind formule al n-lea termen , adică o formulă care vă permite să determinați un membru al unei secvențe după numărul acesteia.

De exemplu,

o succesiune de numere impare pozitive poate fi dată prin formula

un n= 2n- 1,

iar succesiunea alternării 1 Şi -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Secvența poate fi determinată formulă recurentă, adică o formulă care exprimă orice membru al secvenței, începând cu unii, prin membrii anteriori (unul sau mai mulți).

De exemplu,

Dacă o 1 = 1 , A un n +1 = un n + 5

o 1 = 1,

o 2 = o 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

o 3 = o 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

o 4 = o 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

o 5 = o 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Dacă a 1= 1, a 2 = 1, un n +2 = un n + un n +1 , apoi primii șapte membri succesiune de numere instalați după cum urmează:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

un 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

o 6 = o 4 + o 5 = 3 + 5 = 8,

o 7 = o 5 + o 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Secvențele pot fi final Şi fără sfârşit .

Secvența este numită final , dacă are un număr finit de membri. Secvența este numită fără sfârşit , dacă are infinit de membri.

De exemplu,

succesiune de două cifre numere naturale:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

Succesiunea numerelor prime:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

fără sfârşit. ◄

Secvența este numită crescând , dacă fiecare dintre membrii săi, începând cu al doilea, este mai mare decât precedentul.

Secvența este numită în scădere , dacă fiecare dintre membrii săi, începând cu al doilea, este mai mic decât precedentul.

De exemplu,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — succesiune crescătoare;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — secvență descrescătoare. ◄

O succesiune ale cărei elemente nu scad pe măsură ce numărul crește sau, dimpotrivă, nu cresc, se numește succesiune monotonă .

Secvențele monotone, în special, sunt secvențe crescătoare și secvențe descrescătoare.

Progresie aritmetică

Progresie aritmetică este o succesiune în care fiecare membru, începând cu al doilea, este egal cu precedentul, la care se adaugă același număr.

o 1 , o 2 , o 3 , . . . , un n, . . .

este o progresie aritmetică dacă pentru orice număr natural n conditia este indeplinita:

un n +1 = un n + d,

Unde d - un anumit număr.

Astfel, diferența dintre termenii următori și anteriori ai unei progresii aritmetice date este întotdeauna constantă:

a 2 - o 1 = a 3 - o 2 = . . . = un n +1 - un n = d.

Număr d numit diferența de progresie aritmetică.

Pentru a defini o progresie aritmetică, este suficient să indicați primul său termen și diferența.

De exemplu,

Dacă o 1 = 3, d = 4 , atunci găsim primii cinci termeni ai secvenței după cum urmează:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

o 5 = o 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Pentru o progresie aritmetică cu primul termen o 1 si diferenta d ei n

un n = a 1 + (n- 1)d.

De exemplu,

găsiți al treizecilea termen al progresiei aritmetice

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

un 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

un n-1 = a 1 + (n- 2)d,

un n= a 1 + (n- 1)d,

un n +1 = o 1 + nd,

atunci evident

un n=	a n-1 + a n+1
	2

Fiecare membru al unei progresii aritmetice, pornind de la al doilea, este egal cu media aritmetica a membrilor precedenti si urmatori.

numerele a, b și c sunt termeni succesivi ai unei progresii aritmetice dacă și numai dacă unul dintre ei este egal cu media aritmetică a celorlalte două.

De exemplu,

un n = 2n- 7 , este o progresie aritmetică.

Să folosim afirmația de mai sus. Avem:

un n = 2n- 7,

un n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

un n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Prin urmare,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = un n,
2		2

◄

Rețineți că n Al treilea termen al unei progresii aritmetice poate fi găsit nu numai prin o 1 , dar și orice anterioară un k

un n = un k + (n- k)d.

De exemplu,

Pentru o 5 poate fi notat

un 5 = a 1 + 4d,

un 5 = a 2 + 3d,

un 5 = a 3 + 2d,

un 5 = a 4 + d. ◄

un n = un n-k + kd,

un n = un n+k - kd,

atunci evident

un n=	o n-k + a n+k
	2

orice membru al unei progresii aritmetice, începând de la al doilea, este egal cu jumătate din suma membrilor acestei progresii aritmetice distanțate egal de acesta.

În plus, pentru orice progresie aritmetică este valabilă următoarea egalitate:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

De exemplu,

în progresie aritmetică

1) o 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (o 9 + o 11 )/2;

2) 28 = un 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) un 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, deoarece

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ un n,

primul n termenii unei progresii aritmetice este egal cu produsul dintre jumătate din suma termenilor extremi și numărul de termeni:

De aici, în special, rezultă că dacă trebuie să însumați termenii

un k, un k +1 , . . . , un n,

atunci formula anterioară își păstrează structura:

De exemplu,

în progresie aritmetică 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Dacă este dată o progresie aritmetică, atunci cantitățile o 1 , un n, d, nŞiS n legate prin două formule:

Prin urmare, dacă sunt date valorile a trei dintre aceste mărimi, atunci valorile corespunzătoare ale celorlalte două mărimi sunt determinate din aceste formule, combinate într-un sistem de două ecuații cu două necunoscute.

O progresie aritmetică este o succesiune monotonă. În acest caz:

• Dacă d > 0 , atunci este în creștere;
• Dacă d < 0 , atunci este în scădere;
• Dacă d = 0 , atunci secvența va fi staționară.

Progresie geometrică

Progresie geometrică este o succesiune în care fiecare membru, începând de la al doilea, este egal cu precedentul înmulțit cu același număr.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

este o progresie geometrică dacă pentru orice număr natural n conditia este indeplinita:

b n +1 = b n · q,

Unde q ≠ 0 - un anumit număr.

Astfel, raportul dintre termenul următor al unei progresii geometrice date și cel precedent este un număr constant:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Număr q numit numitorul progresiei geometrice.

Pentru a defini o progresie geometrică, este suficient să indicați primul său termen și numitorul.

De exemplu,

Dacă b 1 = 1, q = -3 , atunci găsim primii cinci termeni ai secvenței după cum urmează:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 și numitorul q ei n Al treilea termen poate fi găsit folosind formula:

b n = b 1 · qn -1 .

De exemplu,

găsiți al șaptelea termen al progresiei geometrice 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

atunci evident

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

fiecare membru al progresiei geometrice, incepand de la al doilea, este egal cu media geometrica (proportionala) a membrelor precedente si urmatoare.

Întrucât este și inversul adevărat, următoarea afirmație este valabilă:

numerele a, b și c sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice dacă și numai dacă pătratul unuia dintre ei egal cu produsul celelalte două, adică unul dintre numere este media geometrică a celorlalte două.

De exemplu,

Să demonstrăm că succesiunea dată de formulă b n= -3 2 n , este o progresie geometrică. Să folosim afirmația de mai sus. Avem:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Prin urmare,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

care dovedeşte afirmaţia dorită. ◄

Rețineți că n Al treilea termen al unei progresii geometrice poate fi găsit nu numai prin b 1 , dar și orice membru anterior b k , pentru care este suficient să folosiți formula

b n = b k · qn - k.

De exemplu,

Pentru b 5 poate fi notat

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

atunci evident

b n 2 = b n - k· b n + k

pătratul oricărui termen al unei progresii geometrice, începând cu al doilea, este egal cu produsul termenilor egal distanțați ai acestei progresii.

În plus, pentru orice progresie geometrică, egalitatea este adevărată:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

De exemplu,

în progresie geometrică

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , deoarece

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

primul n membrii unei progresii geometrice cu numitor q ≠ 0 calculat prin formula:

Și când q = 1 - conform formulei

S n= nb 1

Rețineți că, dacă trebuie să însumați termenii

b k, b k +1 , . . . , b n,

atunci se folosește formula:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

De exemplu,

în progresie geometrică 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Dacă este dată o progresie geometrică, atunci mărimile b 1 , b n, q, nŞi S n legate prin două formule:

Prin urmare, dacă sunt date valorile oricărei trei dintre aceste mărimi, atunci valorile corespunzătoare ale celorlalte două mărimi sunt determinate din aceste formule, combinate într-un sistem de două ecuații cu două necunoscute.

Pentru o progresie geometrică cu primul termen b 1 și numitorul q au loc următoarele proprietățile monotonității :

• progresia crește dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții:

b 1 > 0 Şi q> 1;

b 1 < 0 Şi 0 < q< 1;

• Progresia este în scădere dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții:

b 1 > 0 Şi 0 < q< 1;

b 1 < 0 Şi q> 1.

Dacă q< 0 , atunci progresia geometrică este alternativă: termenii săi cu numere impare au același semn ca primul său termen, iar termenii cu numere pare au semnul opus. Este clar că o progresie geometrică alternativă nu este monotonă.

Produsul primului n termenii unei progresii geometrice pot fi calculati folosind formula:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

De exemplu,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Progresie geometrică în scădere infinită

Progresie geometrică în scădere infinită numită progresie geometrică infinită al cărei modul numitor este mai mic 1 , adică

|q| < 1 .

Rețineți că o progresie geometrică infinit descrescătoare poate să nu fie o succesiune descrescătoare. Se potrivește ocaziei

1 < q< 0 .

Cu un astfel de numitor, succesiunea este alternativă. De exemplu,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare numiți numărul de care se apropie fără limită suma primelor n membrii unei progresii cu o creștere nelimitată a numărului n . Acest număr este întotdeauna finit și este exprimat prin formula

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

De exemplu,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Relația dintre progresiile aritmetice și geometrice

Progresiile aritmetice și geometrice sunt strâns legate. Să ne uităm la doar două exemple.

o 1 , o 2 , o 3 , . . . d , Asta

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

De exemplu,

1, 3, 5, . . . - progresie aritmetica cu diferenta 2 Şi

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - progresie geometrică cu numitor 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - progresie geometrică cu numitor q , Asta

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - progresie aritmetica cu diferenta log aq .

De exemplu,

2, 12, 72, . . . - progresie geometrică cu numitor 6 Şi

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - progresie aritmetica cu diferenta lg 6 . ◄

Tip de lecție:învăţarea de materiale noi.

Obiectivele lecției:

• extinderea și aprofundarea înțelegerii de către elevi a problemelor rezolvate folosind progresia aritmetică; organizarea activităților de căutare ale elevilor la derivarea formulei pentru suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice;
• dezvoltarea capacității de a dobândi în mod independent noi cunoștințe și de a utiliza cunoștințele deja dobândite pentru a îndeplini o anumită sarcină;
• dezvoltarea dorintei si nevoii de generalizare a faptelor obtinute, dezvoltand independenta.

Sarcini:

• rezuma și sistematiza cunoștințele existente pe tema „Progresia aritmetică”;
• deduceți formule pentru calcularea sumei primilor n termeni ai unei progresii aritmetice;
• învață cum să aplici formulele obținute la rezolvarea diferitelor probleme;
• atrage atenţia elevilor asupra procedeului de aflare a valorii unei expresii numerice.

Echipament:

• fișe cu sarcini pentru lucrul în grupuri și perechi;
• fișa de punctaj;
• prezentare „Progresie aritmetică”.

I. Actualizarea cunoștințelor de bază.

1. Munca independentă în perechi.

prima varianta:

Definiți progresia aritmetică. Scrieți o formulă de recurență care definește o progresie aritmetică. Vă rugăm să oferiți un exemplu de progresie aritmetică și să indicați diferența acesteia.

a 2-a varianta:

Scrieți formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice. Găsiți al 100-lea termen al progresiei aritmetice ( un n}: 2, 5, 8 …
În acest moment, doi elevi partea din spate consiliile pregătesc răspunsuri la aceleași întrebări.
Elevii evaluează munca partenerului lor verificându-le pe tablă. (Se predau foile cu răspunsuri.)

2. Momentul jocului.

Sarcina 1.

Profesor. M-am gândit la o progresie aritmetică. Pune-mi doar două întrebări pentru ca după răspunsuri să poți numi rapid al 7-lea termen al acestei progresii. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Întrebări de la studenți.

1. Care este al șaselea termen al progresiei și care este diferența?
2. Care este al optulea termen al progresiei și care este diferența?

Dacă nu mai există întrebări, profesorul le poate stimula - o „interdicție” pe d (diferență), adică nu este permis să întrebați cu ce este egală diferența. Puteți pune întrebări: cu ce este egal al 6-lea termen al progresiei și cu ce este al 8-lea termen al progresiei?

Sarcina 2.

Pe tablă sunt scrise 20 de numere: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Profesorul stă cu spatele la tablă. Elevii sună numărul, iar profesorul sună imediat numărul în sine. Explicați cum pot face asta?

Profesorul își amintește formula pentru al n-lea trimestru a n = 3n – 2și, înlocuind valorile specificate n, găsește valorile corespunzătoare un n.

II. Stabilirea unei sarcini de învățare.

Îmi propun să rezolv o problemă străveche care datează din mileniul II î.Hr., găsită în papirusurile egiptene.

Sarcină:„Să vi se spună: împărțiți 10 măsuri de orz la 10 persoane, diferența dintre fiecare persoană și vecinul său este de 1/8 din măsură.”

• Cum este această problemă legată de progresia aritmetică a subiectului? (Fiecare persoană următoare primește 1/8 din măsură în plus, ceea ce înseamnă că diferența este d=1/8, 10 persoane, ceea ce înseamnă n=10.)
• Ce crezi că înseamnă numărul 10 măsuri? (Suma tuturor termenilor progresiei.)
• Ce altceva trebuie să știți pentru a face ușor și simplu împărțirea orzului în funcție de condițiile problemei? (Primul termen de progresie.)

Obiectivul lecției– obținerea dependenței sumei termenilor progresiei de numărul lor, primul termen și diferența și verificarea dacă problema a fost rezolvată corect în antichitate.

Înainte de a deduce formula, să ne uităm la modul în care egiptenii antici au rezolvat problema.

Și au rezolvat-o astfel:

1) 10 măsuri: 10 = 1 măsură – cotă medie;
2) 1 măsură ∙ = 2 măsuri – dublată medieîmpărtășește.
Dublat medie cota este suma acțiunilor persoanei a 5-a și a 6-a.
3) 2 masuri – 1/8 masuri = 1 7/8 masuri – dublu fata de persoana a cincea.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – fracțiune de cincime; și așa mai departe, puteți găsi cota fiecărei persoane anterioare și ulterioare.

Obținem secvența:

III. Rezolvarea problemei.

1. Lucrați în grupuri

Grupa I: Aflați suma a 20 de numere naturale consecutive: S 20 =(20+1)∙10 =210.

În general

grupa II: Aflați suma numerelor naturale de la 1 la 100 (Legenda lui Micul Gauss).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Concluzie:

grupa III: Aflați suma numerelor naturale de la 1 la 21.

Rezolvare: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Concluzie:

grupa IV: Aflați suma numerelor naturale de la 1 la 101.

Concluzie:

Această metodă de rezolvare a problemelor luate în considerare se numește „Metoda Gauss”.

2. Fiecare grupă prezintă pe tablă soluția problemei.

3. Generalizarea soluțiilor propuse pentru o progresie aritmetică arbitrară:

a 1, a 2, a 3,..., a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Să găsim această sumă folosind un raționament similar:

4. Am rezolvat problema?(Da.)

IV. Înțelegerea și aplicarea primară a formulelor obținute la rezolvarea problemelor.

1. Verificarea soluției unei probleme vechi folosind formula.

2. Aplicarea formulei în rezolvarea diverselor probleme.

3. Exerciții de dezvoltare a capacității de a aplica formule la rezolvarea problemelor.

A) Nr. 613

Având în vedere: ( a n) - progresie aritmetică;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Găsi: S 1500

Soluţie: , a 1 = 1 și 1500 = 1500,

B) Având în vedere: ( a n) - progresie aritmetică;
(a n): 1, 2, 3, …
S n = 210

Găsi: n
Soluţie:

V. Munca independentă cu verificare reciprocă.

Denis a început să lucreze ca curier. În prima lună, salariul său a fost de 200 de ruble, în fiecare lună următoare a crescut cu 30 de ruble. Cât a câștigat în total într-un an?

Având în vedere: ( a n) - progresie aritmetică;
a 1 = 200, d=30, n=12
Găsi: S 12
Soluţie:

Răspuns: Denis a primit 4380 de ruble pe an.

VI. Instruirea temelor pentru acasă.

1. Secțiunea 4.3 – învață derivarea formulei.
2. №№ 585, 623 .
3. Creați o problemă care poate fi rezolvată folosind formula pentru suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice.

VII. Rezumând lecția.

1. Fișa de punctaj

2. Continuați propozițiile

• Astăzi la clasă am învățat...
• Formule invatate...
• Eu cred că...

3. Puteți găsi suma numerelor de la 1 la 500? Ce metodă veți folosi pentru a rezolva această problemă?

Referințe.

1. Algebră, clasa a IX-a. Manual pentru instituțiile de învățământ general. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: „Iluminismul”, 2009.