Ce trebuie să știți despre pictogramele inegalității? Inegalități cu pictograma Mai mult (> ), sau Mai puțin (< ) sunt numite strict. Cu icoane mai mare sau egal cu (≥ ), mai mic sau egal cu (≤ ) sunt numite nu strict. Pictogramă nu egali (≠ ) se deosebește, dar trebuie să rezolvați tot timpul exemplele cu această pictogramă. Și vom decide.)

Pictograma în sine nu are o influență prea mare asupra procesului de soluție. Dar la sfârșitul deciziei, la alegerea răspunsului final, apare semnificația pictogramei în forță deplină! Aceasta este ceea ce vom vedea mai jos în exemple. Sunt niste glume acolo...

Inegalitățile, ca și egalitățile, există credincios și necredincios. Totul este simplu aici, fără trucuri. Să zicem 5 > 2 este o inegalitate adevărată. 5 < 2 - incorect.

Această pregătire funcționează pentru inegalități orice felși simplu până la groază.) Trebuie doar să executați corect două (doar două!) acțiuni elementare. Aceste acțiuni sunt familiare tuturor. Dar, caracteristic, greșelile în aceste acțiuni sunt principala greșeală în rezolvarea inegalităților, da... Prin urmare, aceste acțiuni trebuie repetate. Aceste acțiuni sunt numite după cum urmează:

Transformări identice ale inegalităților.

Transformările identice ale inegalităților sunt foarte asemănătoare cu transformările identice ale ecuațiilor. De fapt, aceasta este principala problemă. Diferentele iti trec peste cap si... iata-te.) Prin urmare, voi evidentia in special aceste diferente. Deci, prima transformare identică a inegalităților:

1. Același număr sau expresie poate fi adăugat (scăzut) la ambele părți ale inegalității. Orice. Acest lucru nu va schimba semnul inegalității.

În practică, această regulă se aplică ca transfer de termeni din partea stângă a inegalității la dreapta (și invers) cu o schimbare de semn. Cu o schimbare a semnului termenului, nu a inegalității! Regula unu-la-unu este aceeași cu regula pentru ecuații. Dar următoarele transformări identice în inegalități diferă semnificativ de cele în ecuații. Așa că le evidențiez cu roșu:

2. Ambele părți ale inegalității pot fi înmulțite (împărțite) cu același lucrupozitivnumăr. Pentru oricepozitiv nu se va schimba.

3. Ambele părți ale inegalității pot fi înmulțite (împărțite) cu același lucrunegativ număr. Pentru oricenegativnumăr. Semnul inegalității de aicise va schimba la invers.

Vă amintiți (sper...) că ecuația poate fi înmulțită/împărțită cu orice. Și pentru orice număr și pentru o expresie cu X. Dacă nu ar fi zero. Aceasta face ca el, ecuația, să nu fie nici cald, nici rece.) Nu se schimbă. Dar inegalitățile sunt mai sensibile la înmulțire/împărțire.

Un bun exemplu pe memorie lungă. Să scriem o inegalitate care nu ridică îndoieli:

5 > 2

Înmulțiți ambele părți cu +3, obținem:

15 > 6

Obiecții? Nu există obiecții.) Și dacă înmulțim ambele părți ale inegalității originale cu -3, obținem:

15 > -6

Și aceasta este o minciună totală.) O minciună completă! Înșelătoria oamenilor! Dar, de îndată ce schimbați semnul de inegalitate cu cel opus, totul cade la locul său:

15 < -6

Nu jur doar despre minciuni și înșelăciune.) „Am uitat să schimb semnul egal...”- Asta acasă eroare în rezolvarea inegalităților. Această regulă banală și simplă a rănit atât de mulți oameni! Pe care l-au uitat...) Deci jur. Poate îmi voi aminti...)

Oamenii deosebit de atenți vor observa că inegalitatea nu poate fi multiplicată cu o expresie cu X. Respect celor care sunt atenți!) De ce nu? Răspunsul este simplu. Nu cunoaștem semnul acestei expresii cu X. Poate fi pozitiv, negativ... Prin urmare, nu știm ce semn de inegalitate să punem după înmulțire. Ar trebui să-l schimb sau nu? Necunoscut. Desigur, această restricție (interdicția înmulțirii/împărțirii unei inegalități cu o expresie cu x) poate fi ocolită. Dacă chiar ai nevoie. Dar acesta este un subiect pentru alte lecții.

Sunt toate transformările identice ale inegalităților. Permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată că lucrează pentru orice inegalităților Acum puteți trece la anumite tipuri.

Inegalități liniare. Soluție, exemple.

Inegalitățile liniare sunt inegalități în care x este în prima putere și nu există o împărțire cu x. Tip:

x+3 > 5x-5

Cum se rezolvă astfel de inegalități? Sunt foarte usor de rezolvat! Și anume: cu ajutorul reducem cea mai confuză inegalitate liniară direct la răspuns. Asta e soluția. Voi sublinia punctele principale ale deciziei. Pentru a evita greșelile stupide.)

Să rezolvăm această inegalitate:

x+3 > 5x-5

O rezolvăm exact în același mod ca o ecuație liniară. Cu singura diferenta:

Monitorizăm cu atenție semnul inegalității!

Primul pas este cel mai comun. Cu X - la stânga, fără X - la dreapta... Aceasta este prima transformare identică, simplă și fără probleme.) Doar nu uitați să schimbați semnele termenilor transferați.

Semnul inegalității rămâne:

x-5x > -5-3

Iată altele asemănătoare.

Semnul inegalității rămâne:

4x > -8

Rămâne să aplicați ultima transformare identică: împărțiți ambele părți la -4.

Împărțiți cu negativ număr.

Semnul inegalității se va schimba în sens invers:

X < 2

Acesta este răspunsul.

Așa se rezolvă toate inegalitățile liniare.

Atenţie! Punctul 2 este desenat alb, adică. nevopsite. Gol înăuntru. Asta înseamnă că ea nu este inclusă în răspuns! Am desenat-o atât de sănătoasă intenționat. Un astfel de punct (gol, nu sănătos!)) în matematică se numește punct perforat.

Numerele rămase pe axă pot fi marcate, dar nu sunt necesare. Numerele străine care nu au legătură cu inegalitatea noastră pot fi confuze, da... Trebuie doar să rețineți că numerele cresc în direcția săgeții, i.e. numerele 3, 4, 5 etc. sunt La dreapta sunt doi, iar numerele sunt 1, 0, -1 etc. - La stânga.

Inegalitatea x < 2 - strict. X este strict mai mic de doi. Dacă aveți îndoieli, verificarea este simplă. Înlocuim numărul dubios în inegalitate și ne gândim: „Doi este mai puțin decât doi, desigur!” Asta e corect. Inegalitatea 2 < 2 incorect. Un doi în schimb nu este potrivit.

Este unul ok? Cu siguranţă. Mai puțin... Și zero este bun și -17 și 0,34... Da, toate numerele care sunt mai mici de doi sunt bune! Și chiar și 1.9999.... Măcar puțin, dar mai puțin!

Deci, să marchem toate aceste numere pe axa numerelor. Cum? Există opțiuni aici. Opțiunea unu este umbrirea. Mutăm mouse-ul peste imagine (sau atingem imaginea de pe tabletă) și vedem că zona tuturor x-urilor care îndeplinesc condiția x este umbrită < 2 . Asta este.

Să ne uităm la a doua opțiune folosind al doilea exemplu:

X ≥ -0,5

Desenați o axă și marcați numărul -0,5. Ca aceasta:

Observați diferența?) Ei bine, da, este greu să nu observați... Acest punct este negru! Pictat peste. Aceasta înseamnă -0,5 este inclusă în răspuns. Aici, apropo, verificarea poate deruta pe cineva. Să înlocuim:

-0,5 ≥ -0,5

Cum așa? -0,5 nu este mai mult de -0,5! Și există mai multe pictograme...

E bine. Într-o inegalitate slabă, tot ceea ce se potrivește pictogramei este potrivit. ŞI egal bun, și Mai mult bun. Prin urmare, -0,5 este inclus în răspuns.

Deci, am marcat -0,5 pe axă, rămâne de marcat toate numerele care sunt mai mari de -0,5. De data aceasta marchez zona valorilor x adecvate arc(din cuvânt arc), mai degrabă decât umbrirea. Plasăm cursorul peste desen și vedem acest arc.

Nu există nicio diferență specială între umbrire și brațe. Fă cum spune profesorul. Dacă nu există profesor, desenați arcade. În sarcinile mai complexe, umbrirea este mai puțin evidentă. Poți fi confuz.

Așa sunt desenate inegalitățile liniare pe o axă. Să trecem la următoarea caracteristică a inegalităților.

Scrierea răspunsului pentru inegalități.

Ecuațiile au fost bune.) Am găsit x și am notat răspunsul, de exemplu: x=3. Există două forme de scriere a răspunsurilor în inegalități. Una este sub forma inegalității finale. Bun pentru cazuri simple. De exemplu:

X< 2.

Acesta este un răspuns complet.

Uneori trebuie să scrieți același lucru, dar într-o formă diferită, la intervale numerice. Apoi înregistrarea începe să pară foarte științifică):

x ∈ (-∞; 2)

Sub icoană ∈ cuvântul este ascuns "aparține"

Intrarea sună astfel: x aparține intervalului de la minus infinit la doi neincluzând. Destul de logic. X poate fi orice număr din toate numerele posibile de la minus infinit la doi. Nu poate exista un dublu X, ceea ce ne spune cuvântul „neincluzând”.

Și unde în răspuns este clar că "neinclusiv"? Acest fapt este notat în răspuns rundă paranteză imediat după cele două. Dacă cele două ar fi incluse, paranteza ar fi pătrat. Ca acesta: ]. Următorul exemplu folosește o astfel de paranteză.

Să notăm răspunsul: x ≥ -0,5 la intervale:

x ∈ [-0,5; +∞)

Citeste: x aparține intervalului de la minus 0,5, inclusiv, la plus infinit.

Infinitul nu poate fi niciodată pornit. Nu este un număr, este un simbol. Prin urmare, în astfel de notații, infinitul este întotdeauna adiacent unei paranteze.

Această formă de înregistrare este convenabilă pentru răspunsuri complexe constând din mai multe spații. Dar - doar pentru răspunsurile finale. În rezultatele intermediare, unde se așteaptă o soluție ulterioară, este mai bine să folosiți forma obișnuită, în formă inegalitatea simplă. Ne vom ocupa de asta în subiectele relevante.

Sarcini populare cu inegalități.

Inegalitățile liniare în sine sunt simple. Prin urmare, sarcinile devin adesea mai dificile. Așa că era necesar să se gândească. Acest lucru, dacă nu ești obișnuit cu asta, nu este foarte plăcut.) Dar este util. Voi arăta exemple de astfel de sarcini. Nu pentru tine să le înveți, este inutil. Și pentru a nu vă teme când întâlniți astfel de exemple. Gândește-te puțin - și este simplu!)

1. Găsiți oricare două soluții la inegalitatea 3x - 3< 0

Dacă nu este foarte clar ce să faceți, amintiți-vă de regula principală a matematicii:

Dacă nu știi de ce ai nevoie, fă ce poți!)

X < 1

Și ce? Nimic special. Ce ne întreabă? Ni se cere să găsim două numere specifice care sunt soluția unei inegalități. Aceste. se potrivește cu răspunsul. Două orice numere. De fapt, acest lucru este confuz.) Câteva 0 și 0,5 sunt potrivite. Un cuplu -3 și -8. Există un număr infinit de aceste cupluri! Care răspuns este corect?!

Eu raspund: totul! Orice pereche de numere, fiecare dintre ele mai mic de unul, va fi răspunsul corect. Scrie pe care vrei. Să mergem mai departe.

2. Rezolvați inegalitatea:

4x - 3 ≠ 0

Sarcinile în această formă sunt rare. Dar, ca inegalități auxiliare, la găsirea ODZ, de exemplu, sau la găsirea domeniului de definire a unei funcții, ele apar tot timpul. O astfel de inegalitate liniară poate fi rezolvată ca o ecuație liniară obișnuită. Doar peste tot, cu excepția semnului „=" ( egal) pune un semn " ≠ " (nu egali). Iată cum abordezi răspunsul, cu un semn de inegalitate:

X ≠ 0,75

În mai mult exemple complexe, e mai bine să faci lucrurile altfel. Faceți inegalitatea din egalitate. Ca aceasta:

4x - 3 = 0

Rezolvă-o cu calm așa cum ai învățat și obține răspunsul:

x = 0,75

Principalul lucru este, la sfârșit, când scrieți răspunsul final, nu uitați că am găsit x, care dă egalitate.Și avem nevoie de - inegalitate. Prin urmare, nu avem nevoie de acest X.) Și trebuie să-l notăm cu simbolul corect:

X ≠ 0,75

Această abordare duce la mai puține erori. Cei care rezolvă ecuații automat. Și pentru cei care nu rezolvă ecuații, inegalitățile sunt, de fapt, de nimic...) Un alt exemplu de sarcină populară:

3. Găsiți cea mai mică soluție întreagă a inegalității:

3(x - 1) < 5x + 9

Mai întâi rezolvăm pur și simplu inegalitatea. Deschidem parantezele, le mutam, aducem altele asemanatoare... Obtinem:

X > - 6

Nu a mers asa!? Ai urmat indicatoarele!? Și în spatele semnelor membrilor și în spatele semnului inegalității...

Să ne gândim din nou. Trebuie să găsim un anumit număr care să se potrivească atât cu răspunsul, cât și cu condiția „cel mai mic număr întreg”. Dacă nu îți vine imediat, poți să iei orice număr și să-l dai seama. Doi peste minus șase? Cu siguranţă! Există un număr mai mic potrivit? Desigur. De exemplu, zero este mai mare decât -6. Și chiar mai puțin? Avem nevoie de cel mai mic lucru posibil! Minus trei este mai mult decât minus șase! Poți deja să prinzi modelul și să nu mai mergi prost prin numere, nu?)

Să luăm un număr mai aproape de -6. De exemplu, -5. Răspunsul este îndeplinit, -5 > - 6. Este posibil să găsiți un alt număr mai mic decât -5 dar mai mare decât -6? Poți, de exemplu, -5,5... Oprește-te! ni se spune întreg soluţie! Nu se rostogolește -5,5! Dar minus șase? Uh-uh! Inegalitatea este strictă, minus 6 nu este în niciun caz mai mic decât minus 6!

Prin urmare, răspunsul corect este -5.

Sper că totul este clar cu alegerea valorii din soluția generală. Un alt exemplu:

4. Rezolvați inegalitatea:

7 < 3x+1 < 13

Wow! Această expresie se numește inegalitate triplă. Strict vorbind, aceasta este o formă prescurtată a unui sistem de inegalități. Dar astfel de triple inegalități mai trebuie rezolvate în unele sarcini... Se poate rezolva fără niciun sistem. După aceleaşi transformări identice.

Trebuie să simplificăm, să aducem această inegalitate la X pur. Dar... Ce ar trebui transferat unde?! Aici este timpul să ne amintim că este mișcarea la stânga și la dreapta formă scurtă prima transformare a identităţii.

Și forma completă sună așa: Orice număr sau expresie poate fi adăugat/scăzut de ambele părți ale ecuației (inegalitate).

Sunt trei părți aici. Deci vom aplica transformări identice tuturor celor trei părți!

Deci, să scăpăm de cel din partea de mijloc a inegalității. Să scădem unul din toată partea de mijloc. Pentru ca inegalitatea să nu se modifice, scădem una din celelalte două părți. Ca aceasta:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

E mai bine, nu?) Tot ce rămâne este să împărțim toate cele trei părți în trei:

2 < X < 4

Asta este. Acesta este răspunsul. X poate fi orice număr de la doi (neincluzând) la patru (neincluzând). Acest răspuns este, de asemenea, scris la intervale de timp, astfel de intrări vor fi în inegalități pătratice. Acolo sunt cel mai comun lucru.

La sfârșitul lecției voi repeta cel mai important lucru. Succesul în rezolvarea inegalităților liniare depinde de capacitatea de a transforma și simplifica ecuațiile liniare. Dacă în acelaşi timp urmăriți semnul inegalității, nu vor fi probleme. Asta iti doresc. Fara probleme.)

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Unul dintre subiectele care necesită atenție și perseverență maximă din partea elevilor este rezolvarea inegalităților. Atât de asemănătoare cu ecuațiile și în același timp foarte diferite de ele. Pentru că rezolvarea lor necesită o abordare specială.

Proprietăți care vor fi necesare pentru a găsi răspunsul

Toate sunt folosite pentru a înlocui o intrare existentă cu una echivalentă. Cele mai multe dintre ele sunt similare cu ceea ce era în ecuații. Dar există și diferențe.

• O funcție care este definită în ODZ, sau orice număr, poate fi adăugată la ambele părți ale inegalității inițiale.
• La fel, înmulțirea este posibilă, dar numai printr-o funcție sau un număr pozitiv.
• Dacă această acțiune este efectuată cu o funcție sau un număr negativ, atunci semnul de inegalitate trebuie înlocuit cu cel opus.
• Funcțiile care nu sunt negative pot fi ridicate la o putere pozitivă.

Uneori, rezolvarea inegalităților este însoțită de acțiuni care oferă răspunsuri străine. Ele trebuie eliminate prin compararea domeniului DL și a setului de soluții.

Folosind metoda intervalului

Esența sa este de a reduce inegalitatea la o ecuație în care există un zero în partea dreaptă.

1. Determinați zona în care se află valorile admisibile ale variabilelor, adică ODZ.
2. Transformați inegalitatea folosind operații matematice astfel încât partea dreaptă să aibă zero.
3. Înlocuiți semnul inegalității cu „=” și rezolvați ecuația corespunzătoare.
4. Pe axa numerică, marcați toate răspunsurile care au fost obținute în timpul rezolvării, precum și intervalele OD. În caz de inegalitate strictă, punctele trebuie extrase ca fiind perforate. Dacă există un semn egal, atunci ar trebui să fie pictate peste.
5. Determinați semnul funcției inițiale pe fiecare interval obținut din punctele ODZ și răspunsurile care o împart. Dacă semnul funcției nu se schimbă la trecerea printr-un punct, atunci acesta este inclus în răspuns. În caz contrar, este exclus.
6. Punctele de limită pentru ODZ trebuie verificate în continuare și abia apoi incluse sau nu în răspuns.
7. Răspunsul rezultat trebuie scris sub formă de mulțimi combinate.

Un pic despre inegalitățile duble

Ei folosesc două semne de inegalitate simultan. Adică, o anumită funcție este limitată de condiții de două ori simultan. Astfel de inegalități sunt rezolvate ca un sistem de doi, atunci când originalul este împărțit în părți. Iar în metoda intervalului sunt indicate răspunsurile din rezolvarea ambelor ecuații.

Pentru a le rezolva, este permisă și utilizarea proprietăților indicate mai sus. Cu ajutorul lor, este convenabil să reduceți inegalitatea la zero.

Dar inegalitățile care au un modul?

În acest caz, soluția inegalităților folosește următoarele proprietăți și sunt valabile pentru o valoare pozitivă a „a”.

Dacă „x” capătă o expresie algebrică, atunci sunt valabile următoarele înlocuiri:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > de la a la x< -a или х >o.

Dacă inegalitățile nu sunt stricte, atunci și formulele sunt corecte, doar în ele, pe lângă semnul mai mare sau mai mic, apare „=”.

Cum se rezolvă un sistem de inegalități?

Aceste cunoștințe vor fi necesare în cazurile în care este dată o astfel de sarcină sau există o înregistrare a inegalității duble sau un modul apare în evidență. Într-o astfel de situație, soluția vor fi valorile variabilelor care ar satisface toate inegalitățile din înregistrare. Dacă nu există astfel de numere, atunci sistemul nu are soluții.

Planul conform căruia se realizează soluția sistemului de inegalități:

• rezolvați fiecare dintre ele separat;
• descrieți toate intervalele pe axa numerelor și determinați intersecțiile acestora;
• notează răspunsul sistemului, care va fi o combinație a ceea ce sa întâmplat în al doilea paragraf.

Ce să faci cu inegalitățile fracționale?

Deoarece rezolvarea acestora poate necesita schimbarea semnului inegalității, trebuie să urmați foarte atent și cu atenție toate punctele planului. În caz contrar, puteți obține răspunsul opus.

Rezolvarea inegalităților fracționale folosește și metoda intervalului. Și planul de acțiune va fi astfel:

• Folosind proprietățile descrise, dați fracției o astfel de formă încât doar zero să rămână în dreapta semnului.
• Înlocuiți inegalitatea cu „=” și determinați punctele în care funcția va fi egală cu zero.
• Marcați-le pe axa de coordonate. În acest caz, numerele obținute ca rezultat al calculelor la numitor vor fi întotdeauna eliminate. Toate celelalte se bazează pe condiția inegalității.
• Determinați intervalele de constanță ale semnului.
• Ca răspuns, notați uniunea acelor intervale al căror semn corespunde cu cel din inegalitatea inițială.

Situații în care iraționalitatea apare în inegalitate

Cu alte cuvinte, există o rădăcină matematică în notație. Deoarece în cursul școlar de algebră majoritatea sarcinilor sunt pentru rădăcina pătrată, aceasta este ceea ce va fi luat în considerare.

Soluția la inegalitățile iraționale se rezumă la obținerea unui sistem de doi sau trei care să fie echivalent cu cel inițial.

Inegalitatea originală	stare	sistem echivalent
√ n(x)< m(х)	m(x) mai mic sau egal cu 0	fara solutii
	m(x) mai mare decât 0	n(x) este mai mare sau egal cu 0 n(x)< (m(х)) 2
√ n(x) > m(x)		m(x) mai mare sau egal cu 0 n(x) > (m(x)) 2
		n(x) este mai mare sau egal cu 0 m(x) mai mic decât 0
√n(x) ≤ m(x)	m(x) mai mic decât 0	fara solutii
	m(x) mai mare sau egal cu 0	n(x) este mai mare sau egal cu 0 n(x) ≤ (m(x)) 2
√n(x) ≥ m(x)		m(x) mai mare sau egal cu 0 n(x) ≥ (m(x)) 2
		n(x) este mai mare sau egal cu 0 m(x) mai mic decât 0
√ n(x)< √ m(х)		n(x) este mai mare sau egal cu 0 n(x) mai mic decât m(x)
√n(x) * m(x)< 0		n(x) mai mare decât 0 m(x) mai mic decât 0
√n(x) * m(x) > 0		n(x) mai mare decât 0 m(x) mai mare decât 0
√n(x) * m(x) ≤ 0		n(x) mai mare decât 0
		n(x) este egal cu 0 m(x) - oricare
√n(x) * m(x) ≥ 0		n(x) mai mare decât 0
		n(x) este egal cu 0 m(x) - oricare

Exemple de rezolvare a diferitelor tipuri de inegalități

Pentru a adăuga claritate teoriei despre rezolvarea inegalităților, mai jos sunt date exemple.

Primul exemplu. 2x - 4 > 1 + x

Soluție: Pentru a determina ADI, tot ce trebuie să faceți este să priviți îndeaproape inegalitatea. Este format din funcții liniare, prin urmare este definit pentru toate valorile variabilei.

Acum trebuie să scădeți (1 + x) din ambele părți ale inegalității. Rezultă: 2x - 4 - (1 + x) > 0. După ce parantezele sunt deschise și sunt dați termeni similari, inegalitatea va lua următoarea formă: x - 5 > 0.

Echivalându-l cu zero, este ușor să-i găsești soluția: x = 5.

Acum acest punct cu numărul 5 trebuie marcat pe raza de coordonate. Apoi verificați semnele funcției originale. Pe primul interval de la minus infinit la 5, puteți lua numărul 0 și îl puteți înlocui în inegalitatea obținută în urma transformărilor. După calcule rezultă -7 >0. sub arcul intervalului trebuie să semnați un semn minus.

În următorul interval de la 5 la infinit, puteți alege numărul 6. Apoi se dovedește că 1 > 0. Există un semn „+” sub arc. Acest al doilea interval va fi răspunsul la inegalitate.

Răspuns: x se află în intervalul (5; ∞).

Al doilea exemplu. Este necesar să se rezolve un sistem de două ecuații: 3x + 3 ≤ 2x + 1 și 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Soluţie. VA acestor inegalități se află și în regiunea oricăror numere, deoarece sunt date funcții liniare.

A doua inegalitate va lua forma următoarei ecuații: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. După transformare: -x - 4 =0. Aceasta produce o valoare pentru variabilă egală cu -4.

Aceste două numere trebuie marcate pe axă, ilustrând intervale. Deoarece inegalitatea nu este strictă, toate punctele trebuie umbrite. Primul interval este de la minus infinit la -4. Să fie ales numărul -5. Prima inegalitate va da valoarea -3, iar a doua 1. Aceasta înseamnă că acest interval nu este inclus în răspuns.

Al doilea interval este de la -4 la -2. Puteți alege numărul -3 și îl puteți înlocui în ambele inegalități. În primul și al doilea, valoarea este -1. Aceasta înseamnă că sub arcul „-”.

În ultimul interval de la -2 la infinit, cel mai bun număr este zero. Trebuie să-l înlocuiți și să găsiți valorile inegalităților. Primul dintre ele produce un număr pozitiv, iar al doilea un zero. Acest decalaj trebuie, de asemenea, exclus din răspuns.

Dintre cele trei intervale, doar unul este o soluție a inegalității.

Răspuns: x aparține lui [-4; -2].

Al treilea exemplu. |1 - x| > 2 |x - 1|.

Soluţie. Primul pas este de a determina punctele în care funcțiile dispar. Pentru cel din stânga acest număr va fi 2, pentru cel din dreapta - 1. Trebuie marcate pe fascicul și intervalele de constanță ale semnului determinate.

Pe primul interval, de la minus infinit la 1, funcția din partea stângă a inegalității ia valori pozitive, iar din dreapta - negativ. Sub arc trebuie să scrieți două semne „+” și „-” unul lângă celălalt.

Următorul interval este de la 1 la 2. Pe el, ambele funcții iau valori pozitive. Aceasta înseamnă că există două plusuri sub arc.

Al treilea interval de la 2 la infinit va da următorul rezultat: funcția din stânga este negativă, funcția din dreapta este pozitivă.

Luând în considerare semnele rezultate, trebuie să calculați valorile inegalității pentru toate intervalele.

Prima produce următoarea inegalitate: 2 - x > - 2 (x - 1). Minusul dinaintea celor doi din a doua inegalitate se datorează faptului că această funcție este negativă.

După transformare, inegalitatea arată astfel: x > 0. Oferă imediat valorile variabilei. Adică din acest interval se va răspunde doar la intervalul de la 0 la 1.

Pe al doilea: 2 - x > 2 (x - 1). Transformările vor da următoarea inegalitate: -3x + 4 este mai mare decât zero. Zeroul său va fi x = 4/3. Luând în considerare semnul de inegalitate, rezultă că x trebuie să fie mai mic decât acest număr. Aceasta înseamnă că acest interval este redus la un interval de la 1 la 4/3.

Acesta din urmă dă următoarea inegalitate: - (2 - x) > 2 (x - 1). Transformarea lui conduce la următoarele: -x > 0. Adică, ecuația este adevărată când x este mai mic decât zero. Aceasta înseamnă că pe intervalul necesar inegalitatea nu oferă soluții.

În primele două intervale, numărul limită s-a dovedit a fi 1. Trebuie verificat separat. Adică, înlocuiți-o în inegalitatea originală. Rezultă: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Numărarea arată că 1 este mai mare decât 0. Aceasta este o afirmație adevărată, așa că una este inclusă în răspuns.

Răspuns: x se află în intervalul (0; 4/3).

Metoda intervalului– o modalitate simplă de rezolvare a inegalităților raționale fracționale. Acesta este numele pentru inegalitățile care conțin expresii raționale (sau fracționale-rationale) care depind de o variabilă.

1. Luați în considerare, de exemplu, următoarea inegalitate

Metoda intervalului vă permite să o rezolvați în câteva minute.

În partea stângă a acestei inegalități se află o funcție rațională fracțională. Rațional pentru că nu conține rădăcini, sinusuri sau logaritmi - doar expresii raționale. În dreapta este zero.

Metoda intervalului se bazează pe următoarea proprietate a unei funcții raționale fracționale.

O funcție rațională fracțională poate schimba semnul numai în acele puncte în care este egală cu zero sau nu există.

Să ne amintim cum este factorizat un trinom pătratic, adică o expresie de forma .

Unde și sunt rădăcinile ecuație pătratică.

Desenăm o axă și plasăm punctele în care numărătorul și numitorul merg la zero.

Zerourile numitorului și sunt puncte perforate, deoarece în aceste puncte funcția din partea stângă a inegalității nu este definită (nu puteți împărți la zero). Zerourile numărătorului și - sunt umbrite, deoarece inegalitatea nu este strictă. Când și inegalitatea noastră este satisfăcută, deoarece ambele laturi sunt egale cu zero.

Aceste puncte despart axa în intervale.

Să determinăm semnul funcției raționale fracționale din partea stângă a inegalității noastre pe fiecare dintre aceste intervale. Ne amintim că o funcție rațională fracțională poate schimba semnul numai în acele puncte în care este egală cu zero sau nu există.

Aceasta înseamnă că la fiecare dintre intervalele dintre punctele în care numărătorul sau numitorul ajunge la zero, semnul expresiei din partea stângă a inegalității va fi constant - fie „plus”, fie „minus”.
Prin urmare, pentru a determina semnul funcției pe fiecare astfel de interval, luăm orice punct aparținând acestui interval. Cel care ne este convenabil.

. Luați, de exemplu, și verificați semnul expresiei din partea stângă a inegalității. Fiecare dintre „paranteze” este negativ. Partea stângă are un semn.

Următorul interval: . Să verificăm semnul de la . Constatăm că partea stângă și-a schimbat semnul în .

Să o luăm. Când expresia este pozitivă - prin urmare, este pozitivă pe întreg intervalul de la până la .

Când partea stângă a inegalității este negativă."> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Am aflat la ce intervale expresia este pozitivă. Rămâne doar să scrieți răspunsul:

Raspuns: .

Vă rugăm să rețineți: semnele alternează între intervale. Acest lucru s-a întâmplat pentru că la trecerea prin fiecare punct, exact unul dintre factorii liniari și-a schimbat semnul, în timp ce restul l-a păstrat neschimbat.

Vedem că metoda intervalului este foarte simplă. Pentru a rezolva inegalitatea fracționară-rațională folosind metoda intervalului, o reducem la forma:

Sau class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x\right))(\displaystyle Q\left(x\right)) > 0"> !}, sau , sau .

(în partea stângă este o funcție rațională fracțională, în partea dreaptă este zero).

Apoi marchem pe linia numerica punctele in care numaratorul sau numitorul merge la zero.
Aceste puncte împart întreaga dreaptă numerică în intervale, pe fiecare dintre ele funcția fracționară-rațională își păstrează semnul.
Rămâne doar să-i aflăm semnul la fiecare interval.
Facem acest lucru verificând semnul expresiei în orice punct aparținând unui interval dat. După aceea, scriem răspunsul. Asta este.

Dar se pune întrebarea: semnele alternează întotdeauna? Nu, nu întotdeauna! Trebuie să fii atent și să nu așezi semne mecanic și fără gânduri.

2. Să luăm în considerare o altă inegalitate.

Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ stânga(x-3 \dreapta))>0"> !}

Așezați din nou punctele pe axă. Punctele și sunt perforate pentru că sunt zerouri ale numitorului. Punctul este, de asemenea, tăiat, deoarece inegalitatea este strictă.

Când numărătorul este pozitiv, ambii factori din numitor sunt negativi. Acest lucru poate fi verificat cu ușurință luând orice număr dintr-un interval dat, de exemplu, . Partea stângă are semnul:

Când numărătorul este pozitiv; Primul factor din numitor este pozitiv, al doilea factor este negativ. Partea stângă are semnul:

Situația este aceeași! Numătorul este pozitiv, primul factor din numitor este pozitiv, al doilea este negativ. Partea stângă are semnul:

În cele din urmă, cu class="tex" alt="x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Raspuns: .

De ce a fost întreruptă alternanța semnelor? Pentru că atunci când trece printr-un punct, multiplicatorul este „responsabil” pentru acesta nu a schimbat semnul. În consecință, toată partea stângă a inegalității noastre nu și-a schimbat semnul.

Concluzie: dacă multiplicatorul liniar este o putere pară (de exemplu, pătrat), atunci când trece printr-un punct semnul expresiei din partea stângă nu se schimbă. În cazul unui grad impar, semnul, desigur, se schimbă.

3. Să luăm în considerare mai multe caz dificil. Diferă de precedentul prin faptul că inegalitatea nu este strictă:

Partea stângă este aceeași ca în problema anterioară. Imaginea semnelor va fi aceeași:

Poate răspunsul va fi același? Nu! Se adaugă o soluție. Acest lucru se întâmplă deoarece ambele părți din stânga și din dreapta inegalității sunt egale cu zero - prin urmare, acest punct este o soluție.

Raspuns: .

Această situație apare adesea în problemele de la examenul unificat de stat la matematică. Aici candidații cad într-o capcană și pierd puncte. Atenție!

4. Ce trebuie să faceți dacă numărătorul sau numitorul nu poate fi factorizat în factori liniari? Luați în considerare această inegalitate:

Un trinom pătrat nu poate fi factorizat: discriminantul este negativ, nu există rădăcini. Dar asta e bine! Aceasta înseamnă că semnul expresiei pentru toți este același și, în mod specific, pozitiv. Puteți citi mai multe despre acest lucru în articolul despre proprietățile funcțiilor pătratice.

Și acum putem împărți ambele părți ale inegalității noastre la o valoare care este pozitivă pentru toți. Să ajungem la o inegalitate echivalentă:

Ceea ce se rezolvă ușor folosind metoda intervalului.

Vă rugăm să rețineți că am împărțit ambele părți ale inegalității la o valoare despre care știam cu siguranță că este pozitivă. Desigur, în general, nu ar trebui să înmulțiți sau să împărțiți o inegalitate cu o variabilă al cărei semn este necunoscut.

5 . Să luăm în considerare o altă inegalitate, aparent destul de simplă:

Vreau doar să o înmulțesc cu . Dar suntem deja inteligenți și nu vom face asta. La urma urmei, poate fi atât pozitiv, cât și negativ. Și știm că dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite cu o valoare negativă, semnul inegalității se schimbă.

O vom face diferit - vom colecta totul într-o singură parte și vom duce la numitor comun. Partea dreaptă va rămâne zero:

Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

Și după aceea - aplicați metoda intervalului.

vezi și Rezolvarea grafică a unei probleme de programare liniară, Forma canonică a problemelor de programare liniară

Sistemul de constrângeri pentru o astfel de problemă constă din inegalități în două variabile:
iar funcţia obiectiv are forma F = C 1 x + C 2 y care trebuie maximizat.

Să răspundem la întrebarea: ce perechi de numere ( x; y) sunt soluții ale sistemului de inegalități, adică satisfac fiecare dintre inegalități simultan? Cu alte cuvinte, ce înseamnă să rezolvi un sistem grafic?
Mai întâi trebuie să înțelegeți care este soluția unei inegalități liniare cu două necunoscute.
Rezolvarea unei inegalități liniare cu două necunoscute înseamnă determinarea tuturor perechilor de valori necunoscute pentru care inegalitatea este valabilă.
De exemplu, inegalitatea 3 x – 5y≥ 42 satisface perechi ( x , y): (100, 2); (3, –10), etc. Sarcina este de a găsi toate astfel de perechi.
Să luăm în considerare două inegalități: topor + de≤ c, topor + de≥ c. Drept topor + de = cîmparte planul în două semiplane astfel încât coordonatele punctelor unuia dintre ele să satisfacă inegalitatea topor + de >c, iar cealaltă inegalitate topor + +de <c.
Într-adevăr, să luăm un punct cu coordonate x = x 0; apoi un punct situat pe o linie și având o abscisă x 0, are o ordonată

Lasă pentru certitudine o< 0, b>0, c>0. Toate punctele cu abscisă x 0 culcat deasupra P(de exemplu, punct M), au y M>y 0 și toate punctele sub punct P, cu abscisă x 0, au y N<y 0 . Din moment ce x 0 este un punct arbitrar, atunci vor exista întotdeauna puncte pe o parte a liniei pentru care topor+ de > c, formând un semiplan, iar pe cealaltă parte - puncte pentru care topor + de< c.

Figura 1

Semnul de inegalitate în semiplan depinde de numere o, b , c.
Aceasta implică următoarea metodă pentru rezolvarea grafică a sistemelor de inegalități liniare în două variabile. Pentru a rezolva sistemul aveți nevoie de:

1. Pentru fiecare inegalitate, scrieți ecuația corespunzătoare acestei inegalități.
2. Construiți linii drepte care sunt grafice ale funcțiilor specificate prin ecuații.
3. Pentru fiecare linie, determinați semiplanul, care este dat de inegalitate. Pentru a face acest lucru, luați un punct arbitrar care nu se află pe o dreaptă și înlocuiți coordonatele sale în inegalitate. dacă inegalitatea este adevărată, atunci semiplanul care conține punctul ales este soluția inegalității inițiale. Dacă inegalitatea este falsă, atunci semiplanul de pe cealaltă parte a dreptei este mulțimea soluțiilor acestei inegalități.
4. Pentru a rezolva un sistem de inegalități, este necesar să găsiți aria de intersecție a tuturor semiplanurilor care sunt soluția fiecărei inegalități a sistemului.

Această zonă se poate dovedi goală, atunci sistemul de inegalități nu are soluții și este inconsecvent. În caz contrar, se spune că sistemul este consistent.
Poate exista un număr finit sau un număr infinit de soluții. Zona poate fi un poligon închis sau nemărginit.

Să ne uităm la trei exemple relevante.

Exemplul 1. Rezolvați sistemul grafic:
x + y – 1 ≤ 0;
–2x – 2y + 5 ≤ 0.

• se consideră ecuațiile x+y–1=0 și –2x–2y+5=0 corespunzătoare inegalităților;
• Să construim drepte date de aceste ecuații.

Figura 2

Să definim semiplanurile definite de inegalități. Să luăm un punct arbitrar, fie (0; 0). Să luăm în considerare x+ y– 1 0, înlocuiți punctul (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. Aceasta înseamnă că în semiplanul în care se află punctul (0; 0), x + y – 1 ≤ 0, adică semiplanul aflat sub linie este o soluție a primei inegalități. Înlocuind acest punct (0; 0) în al doilea, obținem: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, i.e. în semiplanul în care se află punctul (0; 0), –2 x – 2y+ 5≥ 0 și am fost întrebați unde –2 x – 2y+ 5 ≤ 0, prin urmare, în celălalt semiplan - în cel de deasupra dreptei.
Să găsim intersecția acestor două semiplane. Dreptele sunt paralele, deci planele nu se intersectează nicăieri, ceea ce înseamnă că sistemul acestor inegalități nu are soluții și este inconsecvent.

Exemplul 2. Găsiți grafic soluții ale sistemului de inegalități:

Figura 3
1. Să scriem ecuațiile corespunzătoare inegalităților și să construim drepte.
x + 2y– 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. După ce am ales punctul (0; 0), determinăm semnele inegalităților în semiplanuri:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, adică. x + 2y– 2 ≤ 0 în semiplanul de sub dreapta;
0 – 0 – 1 ≤ 0, adică y –x– 1 ≤ 0 în semiplanul de sub dreapta;
0 + 2 =2 ≥ 0, adică y+ 2 ≥ 0 în semiplanul de deasupra dreptei.
3. Intersecția acestor trei semiplane va fi o zonă care este un triunghi. Nu este dificil să găsiți vârfurile regiunii ca puncte de intersecție ale liniilor corespunzătoare


Astfel, O(–3; –2), ÎN(0; 1), CU(6; –2).

Să luăm în considerare un alt exemplu în care domeniul soluției rezultat al sistemului nu este limitat.

Mai întâi, câteva versuri pentru a înțelege problema pe care o rezolvă metoda intervalului. Să presupunem că trebuie să rezolvăm următoarea inegalitate:

(x − 5)(x + 3) > 0

Care sunt opțiunile? Primul lucru care vine în minte pentru majoritatea studenților este regulile „plus pe plus dă plus” și „minus pe minus dă plus”. Prin urmare, este suficient să luăm în considerare cazul când ambele paranteze sunt pozitive: x − 5 > 0 și x + 3 > 0. Atunci luăm în considerare și cazul când ambele paranteze sunt negative: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Elevii mai avansați își vor aminti (poate) că în stânga este funcţie pătratică, al cărui grafic este o parabolă. Mai mult, această parabolă intersectează axa OX în punctele x = 5 și x = −3. Pentru lucrări suplimentare, trebuie să deschideți parantezele. Avem:

x 2 − 2x − 15 > 0

Acum este clar că ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, deoarece coeficientul a = 1 > 0. Să încercăm să desenăm o diagramă a acestei parabole:

Funcția este mai mare decât zero acolo unde trece deasupra axei OX. În cazul nostru, acestea sunt intervalele (−∞ −3) și (5; +∞) - acesta este răspunsul.

Vă rugăm să rețineți: imaginea arată exact diagrama functionala, nu programul ei. Pentru că pentru un grafic real trebuie să numărați coordonatele, să calculați deplasări și alte prostii de care nu avem absolut nici un folos deocamdată.

De ce sunt aceste metode ineficiente?

Deci, am luat în considerare două soluții la aceeași inegalitate. Ambele s-au dovedit a fi destul de greoaie. Apare prima decizie - doar gândește-te! — un set de sisteme de inegalități. A doua soluție nu este, de asemenea, deosebit de ușoară: trebuie să vă amintiți graficul parabolei și o grămadă de alte fapte mici.

Era o inegalitate foarte simplă. Are doar 2 multiplicatori. Acum imaginați-vă că nu vor fi 2, ci cel puțin 4 multiplicatori. De exemplu:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Cum să rezolvi o astfel de inegalitate? Treci prin toate combinațiile posibile de argumente pro și contra? Da, vom adormi mai repede decât găsim o soluție. Desenarea unui grafic nu este, de asemenea, o opțiune, deoarece nu este clar cum se comportă o astfel de funcție pe planul de coordonate.

Pentru astfel de inegalități, este nevoie de un algoritm de soluție special, pe care îl vom lua în considerare astăzi.

Care este metoda intervalului

Metoda intervalului este un algoritm special conceput pentru a rezolva inegalitățile complexe de forma f (x) > 0 și f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Rezolvați ecuația f (x) = 0. Astfel, în loc de o inegalitate, obținem o ecuație care este mult mai simplu de rezolvat;
2. Marcați toate rădăcinile obținute pe linia de coordonate. Astfel, linia dreaptă va fi împărțită în mai multe intervale;
3. Aflați semnul (plus sau minus) al funcției f (x) în intervalul din dreapta. Pentru a face acest lucru, este suficient să înlocuiți în f (x) orice număr care va fi în dreapta tuturor rădăcinilor marcate;
4. Marcați semnele la intervalele rămase. Pentru a face acest lucru, amintiți-vă că atunci când treceți prin fiecare rădăcină, semnul se schimbă.

Asta este! După aceasta, nu mai rămâne decât să notăm intervalele care ne interesează. Ele sunt marcate cu semnul „+” dacă inegalitatea a fost de forma f (x) > 0 sau cu semnul „−” dacă inegalitatea a fost de forma f (x)< 0.

La prima vedere, poate părea că metoda intervalului este un fel de lucru mic. Dar, în practică, totul va fi foarte simplu. Exersează puțin și totul va deveni clar. Aruncă o privire la exemple și vezi singur:

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

(x − 2)(x + 7)< 0

Lucrăm folosind metoda intervalului. Pasul 1: înlocuiți inegalitatea cu o ecuație și rezolvați-o:

(x − 2)(x + 7) = 0

Produsul este zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factori este zero:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Avem două rădăcini. Să trecem la pasul 2: marcați aceste rădăcini pe linia de coordonate. Avem:

Acum pasul 3: găsiți semnul funcției în intervalul din dreapta (în dreapta punctului marcat x = 2). Pentru a face acest lucru, trebuie să luați orice număr care mai mult număr x = 2. De exemplu, să luăm x = 3 (dar nimeni nu interzice să luăm x = 4, x = 10 și chiar x = 10.000). Primim:

f (x) = (x − 2)(x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Constatăm că f (3) = 10 > 0, așa că punem un semn plus în intervalul din dreapta.

Să trecem la ultimul punct - trebuie să notăm semnele de pe intervalele rămase. Ne amintim că la trecerea prin fiecare rădăcină semnul trebuie să se schimbe. De exemplu, în dreapta rădăcinii x = 2 există un plus (ne-am asigurat de acest lucru în pasul anterior), deci trebuie să fie un minus la stânga.

Acest minus se extinde la întregul interval (−7; 2), deci există un minus la dreapta rădăcinii x = −7. Prin urmare, la stânga rădăcinii x = −7 există un plus. Rămâne să marcați aceste semne pe axa de coordonate. Avem:

Să revenim la inegalitatea inițială, care avea forma:

(x − 2)(x + 7)< 0

Deci funcția trebuie să fie mai mică decât zero. Aceasta înseamnă că ne interesează semnul minus, care apare doar pe un interval: (−7; 2). Acesta va fi răspunsul.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Pasul 1: setați partea stângă la zero:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Rețineți: produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. De aceea avem dreptul de a echivala fiecare paranteză individuală cu zero.

Pasul 2: marcați toate rădăcinile pe linia de coordonate:

Pasul 3: aflați semnul decalajului cel mai din dreapta. Luăm orice număr care este mai mare decât x = 1. De exemplu, putem lua x = 10. Avem:

f (x) = (x + 9)(x − 3)(1 − x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = −1197< 0.

Pasul 4: plasarea semnelor rămase. Ne amintim că la trecerea prin fiecare rădăcină semnul se schimbă. Drept urmare, imaginea noastră va arăta astfel:

Asta este. Rămâne doar să scrieți răspunsul. Aruncă o altă privire la inegalitatea inițială:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Aceasta este o inegalitate de forma f(x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Acesta este răspunsul.

O notă despre semnele de funcție

Practica arată că cele mai mari dificultăți în metoda intervalului apar în ultimii doi pași, i.e. la amplasarea semnelor. Mulți elevi încep să se încurce: ce numere să ia și unde să pună semnele.

Pentru a înțelege în sfârșit metoda intervalului, luați în considerare două observații pe care se bazează:

1. O funcție continuă își schimbă semnul numai în acele puncte unde este egal cu zero. Astfel de puncte împart axa de coordonate în bucăți, în care semnul funcției nu se schimbă niciodată. De aceea rezolvăm ecuația f (x) = 0 și marchem rădăcinile găsite pe linia dreaptă. Numerele găsite sunt puncte „limită” care separă avantajele și dezavantajele.
2. Pentru a afla semnul unei funcții pe orice interval, este suficient să înlocuiți orice număr din acest interval în funcție. De exemplu, pentru intervalul (−5; 6) avem dreptul să luăm x = −4, x = 0, x = 4 și chiar x = 1,29374 dacă vrem. De ce este acest lucru important? Da, pentru că îndoielile încep să roadă pe mulți studenți. Cum ar fi, ce se întâmplă dacă pentru x = −4 obținem un plus, iar pentru x = 0 obținem un minus? Dar nimic ca asta nu se va întâmpla vreodată. Toate punctele din același interval dau același semn. Amintește-ți asta.

Asta este tot ce trebuie să știi despre metoda intervalului. Desigur, l-am demontat versiune simplă. Există inegalități mai complexe - nestricte, fracționale și cu rădăcini repetate. Puteți folosi și metoda intervalului pentru ei, dar acesta este un subiect pentru o lecție mare separată.

Acum aș dori să mă uit la o tehnică avansată care simplifică dramatic metoda intervalului. Mai precis, simplificarea afectează doar al treilea pas - calcularea semnului din partea din dreapta a liniei. Din anumite motive, această tehnică nu este predată în școli (cel puțin nimeni nu mi-a explicat asta). Dar degeaba - pentru că de fapt acest algoritm este foarte simplu.

Deci, semnul funcției este pe piesa dreaptă a dreptei numerice. Această piesă are forma (a ; +∞), unde a este cel mai mult rădăcină mare ecuația f (x) = 0. Pentru a nu vă surprinde mintea, să luăm în considerare un exemplu specific:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x);
(x − 1)(2 + x)(7 − x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Avem 3 rădăcini. Să le enumeram în ordine crescătoare: x = −2, x = 1 și x = 7. Evident, cea mai mare rădăcină este x = 7.

Pentru cei cărora le este mai ușor să raționeze grafic, voi marca aceste rădăcini pe linia de coordonate. Să vedem ce se întâmplă:

Este necesar să se găsească semnul funcției f (x) pe intervalul din dreapta, adică. la (7; +∞). Dar, așa cum am observat deja, pentru a determina semnul puteți lua orice număr din acest interval. De exemplu, puteți lua x = 8, x = 150 etc. Și acum - aceeași tehnică care nu se predă în școli: să luăm infinitul ca număr. Mai precis, plus infinit, adică +∞.

„Ești lapidat? Cum poți înlocui infinitul într-o funcție?” - s-ar putea să întrebi. Dar gândiți-vă: nu avem nevoie de valoarea funcției în sine, avem nevoie doar de semn. Prin urmare, de exemplu, valorile f (x) = −1 și f (x) = −938 740 576 215 înseamnă același lucru: funcția pe acest interval este negativă. Prin urmare, tot ceea ce ți se cere este să găsești semnul care apare la infinit, și nu valoarea funcției.

De fapt, înlocuirea infinitului este foarte simplă. Să revenim la funcția noastră:

f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Imaginează-ți că x este un număr foarte mare. Miliard sau chiar trilioane. Acum să vedem ce se întâmplă în fiecare paranteză.

Prima paranteză: (x − 1). Ce se întâmplă dacă scazi unul dintr-un miliard? Rezultatul va fi un număr nu foarte diferit de un miliard, iar acest număr va fi pozitiv. Similar cu a doua paranteză: (2 + x). Dacă adăugați un miliard la doi, obțineți un miliard și copeici - acesta este un număr pozitiv. În cele din urmă, a treia paranteză: (7 − x). Aici va fi un miliard în minus, din care o bucată jalnică în formă de șapte a fost „roșată”. Aceste. numărul rezultat nu va diferi mult de minus miliard - va fi negativ.

Rămâne doar să găsim semnul întregii lucrări. Deoarece am avut un plus în primele paranteze și un minus în ultima, obținem următoarea construcție:

(+) · (+) · (−) = (−)

Semnul final este minus! Și nu contează care este valoarea funcției în sine. Principalul lucru este că această valoare este negativă, adică. intervalul din dreapta are semnul minus. Mai rămâne doar să parcurgeți al patrulea pas al metodei intervalului: aranjați toate semnele. Avem:

Inegalitatea inițială a fost:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Prin urmare, ne interesează intervalele marcate cu semnul minus. Scriem răspunsul:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Acesta este tot trucul pe care voiam să-ți spun. În concluzie, iată o altă inegalitate care poate fi rezolvată prin metoda intervalului folosind infinitul. Pentru a scurta vizual soluția, nu voi scrie numere de pași și comentarii detaliate. Voi scrie doar ceea ce trebuie cu adevărat să scrieți atunci când rezolvați probleme reale:

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Înlocuim inegalitatea cu o ecuație și o rezolvăm:

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Marcam toate cele trei rădăcini pe linia de coordonate (cu semne simultan):

Există un plus în partea dreaptă a axei de coordonate, deoarece functia arata asa:

f (x) = x (2x + 8)(x − 3)

Și dacă înlocuim infinitul (de exemplu, un miliard), obținem trei paranteze pozitive. Deoarece expresia originală trebuie să fie mai mare decât zero, ne interesează doar plusurile. Rămâne doar să scrieți răspunsul:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)