Tutorial video 2: Rezolvarea ecuațiilor cuadratice

Curs: Ecuații cuadratice

Ecuaţie

Ecuaţie- acesta este un fel de egalitate în expresiile căreia există o variabilă.

Rezolvați ecuația- înseamnă găsirea unui număr în locul unei variabile care îl va aduce în egalitatea corectă.

O ecuație poate avea o soluție, mai multe sau deloc.

Pentru a rezolva orice ecuație, ar trebui simplificată pe cât posibil la forma:

Liniar: a*x = b;

Pătrat: a*x 2 + b*x + c = 0.

Adică, orice ecuație trebuie convertită în formă standard înainte de rezolvare.

Orice ecuație poate fi rezolvată în două moduri: analitic și grafic.

Pe grafic, soluția ecuației este considerată a fi punctele în care graficul intersectează axa OX.

Ecuații cuadratice

O ecuație poate fi numită pătratică dacă, atunci când este simplificată, ia forma:

a*x 2 + b*x + c = 0.

În același timp a, b, c sunt coeficienți ai ecuației care diferă de zero. O "X"- rădăcina ecuației. Se crede că o ecuație pătratică are două rădăcini sau poate să nu aibă deloc o soluție. Rădăcinile rezultate pot fi aceleași.

"O"- coeficientul care stă înaintea rădăcinii pătrate.

"b"- stă înaintea necunoscutului în gradul I.

"Cu" este termenul liber al ecuației.

Dacă, de exemplu, avem o ecuație de forma:

2x 2 -5x+3=0

În ea, „2” este coeficientul termenului principal al ecuației, „-5” este al doilea coeficient și „3” este termenul liber.

Rezolvarea unei ecuații pătratice

Există o mare varietate de moduri de a rezolva o ecuație pătratică. Cu toate acestea, într-un curs de matematică școlar, soluția este studiată folosind teorema lui Vieta, precum și folosind un discriminant.

Soluție discriminantă:

Când rezolvați folosind această metodă, este necesar să calculați discriminantul folosind formula:

Dacă în timpul calculelor descoperiți că discriminantul este mai mic decât zero, aceasta înseamnă că această ecuație nu are soluții.

Dacă discriminantul este zero, atunci ecuația are două soluții identice. În acest caz, polinomul poate fi restrâns folosind formula de înmulțire prescurtată în pătratul sumei sau diferenței. Apoi rezolvați-o ca o ecuație liniară. Sau folosiți formula:

Dacă discriminantul este mai mare decât zero, atunci trebuie să utilizați următoarea metodă:

teorema lui Vieta

Dacă este dată ecuația, adică coeficientul termenului principal este egal cu unu, atunci puteți utiliza teorema lui Vieta.

Deci, să presupunem că ecuația este:

Rădăcinile ecuației se găsesc după cum urmează:

Ecuație pătratică incompletă

Există mai multe opțiuni pentru obținerea unei ecuații pătratice incomplete, a cărei formă depinde de prezența coeficienților.

1. Dacă al doilea și al treilea coeficienți sunt zero (b = 0, c = 0), atunci ecuația pătratică va arăta astfel:

Această ecuație va avea singura solutie. Egalitatea va fi adevărată numai dacă soluția ecuației este zero.

Unele probleme de matematică necesită abilitatea de a calcula valoarea rădăcinii pătrate. Astfel de probleme includ rezolvarea ecuațiilor de ordinul doi. În acest articol vă vom prezenta metoda eficienta calculul rădăcinilor pătrate și folosiți-l atunci când lucrați cu formule pentru rădăcinile unei ecuații pătratice.

Ce este o rădăcină pătrată?

În matematică, acest concept corespunde simbolului √. Datele istorice spun că a fost folosit pentru prima dată în prima jumătate a secolului al XVI-lea în Germania (prima lucrare germană despre algebră a lui Christoph Rudolf). Oamenii de știință cred că simbolul este o literă latină transformată r (radix înseamnă „rădăcină” în latină).

Rădăcina oricărui număr este egală cu valoarea al cărei pătrat corespunde expresiei radicalului. În limbajul matematicii, această definiție va arăta astfel: √x = y, dacă y 2 = x.

Rădăcina unui număr pozitiv (x > 0) este, de asemenea, un număr pozitiv (y > 0), dar dacă luați rădăcina unui număr negativ (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Iată două exemple simple:

√9 = 3, deoarece 3 2 = 9; √(-9) = 3i, deoarece i 2 = -1.

Formula iterativă a lui Heron pentru găsirea valorilor rădăcinilor pătrate

Exemplele de mai sus sunt foarte simple, iar calcularea rădăcinilor din ele nu este dificilă. Încep să apară dificultăți la găsirea valorilor rădăcinii pentru orice valoare care nu poate fi reprezentată ca un pătrat număr natural, de exemplu √10, √11, √12, √13, ca să nu mai vorbim de faptul că în practică este necesar să găsim rădăcini pentru numere neîntregi: de exemplu √(12,15), √(8,5) și așa mai departe.

În toate cazurile de mai sus, trebuie utilizată o metodă specială pentru calcularea rădăcinii pătrate. În prezent, sunt cunoscute mai multe astfel de metode: de exemplu, extinderea seriei Taylor, împărțirea coloanelor și altele. Dintre toate metodele cunoscute, poate cea mai simplă și cea mai eficientă este utilizarea formulei iterative a lui Heron, care este cunoscută și ca metoda babiloniană de determinare a rădăcinilor pătrate (există dovezi că vechii babilonieni au folosit-o în calculele lor practice).

Să fie necesar să se determine valoarea lui √x. Formula pentru găsirea rădăcinii pătrate este următoarea:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), unde lim n->∞ (a n) => x.

Să descifrăm această notație matematică. Pentru a calcula √x, ar trebui să luați un anumit număr a 0 (poate fi arbitrar, dar pentru a obține rapid rezultatul, ar trebui să îl alegeți astfel încât (a 0) 2 să fie cât mai aproape posibil de x. Apoi înlocuiți-l în formula indicată pentru calcularea rădăcinii pătrate și obțineți un nou număr a 1, care va fi deja mai aproape de valoarea dorită. După aceasta, este necesar să înlocuiți un 1 în expresie și să obțineți un 2. Această procedură trebuie repetată până când. se obtine precizia ceruta.

Un exemplu de utilizare a formulei iterative a lui Heron

Algoritmul descris mai sus pentru obținerea rădăcinii pătrate a unui anumit număr poate suna destul de complicat și confuz pentru mulți, dar în realitate totul se dovedește a fi mult mai simplu, deoarece această formulă converge foarte repede (mai ales dacă se alege un număr de succes un 0) .

Să dăm un exemplu simplu: trebuie să calculați √11. Să alegem un 0 = 3, deoarece 3 2 = 9, care este mai aproape de 11 decât 4 2 = 16. Înlocuind în formulă, obținem:

a 1 = 1/2(3 + 11/3) = 3,333333;

a 2 = 1/2(3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;

a 3 = 1/2(3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.

Nu are rost să continuăm calculele, deoarece am constatat că un 2 și un 3 încep să difere doar la a 5-a zecimală. Astfel, a fost suficient să aplicați formula doar de 2 ori pentru a calcula √11 cu o precizie de 0,0001.

În zilele noastre, calculatoarele și calculatoarele sunt utilizate pe scară largă pentru a calcula rădăcinile, cu toate acestea, este util să rețineți formula marcată pentru a putea calcula manual valoarea exactă a acestora.

Ecuații de ordinul doi

Înțelegerea a ceea ce este o rădăcină pătrată și capacitatea de a o calcula este folosită în rezolvarea ecuațiilor pătratice. Aceste ecuații se numesc egalități cu o necunoscută, vedere generală care este prezentat în figura de mai jos.

Aici c, b și a reprezintă unele numere, iar a nu trebuie să fie egal cu zero, iar valorile lui c și b pot fi complet arbitrare, inclusiv egale cu zero.

Orice valoare a lui x care satisface egalitatea indicată în figură se numește rădăcinile sale (acest concept nu trebuie confundat cu rădăcina pătrată √). Deoarece ecuația luată în considerare este de ordinul 2 (x 2), atunci nu poate exista mai mult de două rădăcini pentru ea. Să privim mai departe în articol cum să găsim aceste rădăcini.

Găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice (formula)

Această metodă de rezolvare a tipului de egalități luate în considerare se mai numește și metoda universală, sau metoda discriminantă. Poate fi folosit pentru orice ecuație pătratică. Formula pentru discriminantul și rădăcinile ecuației pătratice este următoarea:

Arată că rădăcinile depind de valoarea fiecăruia dintre cei trei coeficienți ai ecuației. Mai mult, calculul lui x 1 diferă de calculul lui x 2 doar prin semnul din fața rădăcinii pătrate. Expresia radicală, care este egală cu b 2 - 4ac, nu este altceva decât discriminantul egalității în cauză. Discriminantul din formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice joacă un rol important deoarece determină numărul și tipul soluțiilor. Deci, dacă este egal cu zero, atunci va exista o singură soluție, dacă este pozitivă, atunci ecuația are două rădăcini reale și, în sfârșit, un discriminant negativ duce la două rădăcini complexe x 1 și x 2.

Teorema lui Vieta sau unele proprietăți ale rădăcinilor ecuațiilor de ordinul doi

La sfârșitul secolului al XVI-lea, unul dintre fondatorii algebrei moderne, un francez, care studia ecuațiile de ordinul doi, a reușit să obțină proprietățile rădăcinilor sale. Din punct de vedere matematic, ele pot fi scrise astfel:

x 1 + x 2 = -b / a și x 1 * x 2 = c / a.

Ambele egalități pot fi obținute cu ușurință de către oricine, pentru a face acest lucru, trebuie doar să efectuați operațiile matematice corespunzătoare cu rădăcinile obținute prin formula cu discriminantul.

Combinația acestor două expresii poate fi numită pe bună dreptate a doua formulă pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, ceea ce face posibilă ghicirea soluțiilor acesteia fără a utiliza un discriminant. Trebuie remarcat aici că, deși ambele expresii sunt întotdeauna valabile, este convenabil să le folosiți pentru a rezolva o ecuație numai dacă aceasta poate fi factorizată.

Sarcina de consolidare a cunoștințelor dobândite

Să rezolvăm o problemă de matematică în care vom demonstra toate tehnicile discutate în articol. Condițiile problemei sunt următoarele: trebuie să găsiți două numere pentru care produsul este -13 și suma este 4.

Această condiție ne amintește imediat de teorema lui Vieta folosind formulele pentru suma rădăcinilor pătrate și produsul lor, scriem:

x 1 + x 2 = -b / a = 4;

x 1 * x 2 = c / a = -13.

Dacă presupunem că a = 1, atunci b = -4 și c = -13. Acești coeficienți ne permit să creăm o ecuație de ordinul doi:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Să folosim formula cu discriminantul și să obținem următoarele rădăcini:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Adică, problema a fost redusă la găsirea numărului √68. Rețineți că 68 = 4 * 17, atunci, folosind proprietatea rădăcinii pătrate, obținem: √68 = 2√17.

Acum să folosim formula rădăcină pătrată considerată: a 0 = 4, apoi:

a 1 = 1/2(4 + 17/4) = 4,125;

a 2 = 1/2(4,125 + 17/4,125) = 4,1231.

Nu este nevoie să calculați un 3, deoarece valorile găsite diferă doar cu 0,02. Astfel, √68 = 8,246. Înlocuindu-l în formula pentru x 1,2, obținem:

x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 și x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.

După cum putem vedea, suma numerelor găsite este într-adevăr egală cu 4, dar dacă găsim produsul lor, atunci acesta va fi egal cu -12,999, ceea ce satisface condițiile problemei cu o precizie de 0,001.

ÎN societatea modernă capacitatea de a efectua operații cu ecuații care conțin o variabilă pătrată poate fi utilă în multe domenii de activitate și este utilizată pe scară largă în practică în dezvoltările științifice și tehnice. Dovada acestui lucru poate fi găsită în proiectarea vaselor maritime și fluviale, a avioanelor și rachetelor. Folosind astfel de calcule, se determină traiectoriile de mișcare ale unei game largi de corpuri, inclusiv obiecte spațiale. Exemplele cu rezolvarea ecuațiilor pătratice sunt folosite nu numai în prognoza economică, în proiectarea și construcția clădirilor, ci și în cele mai obișnuite circumstanțe cotidiene. Acestea pot fi necesare în drumeții, la evenimente sportive, în magazine la cumpărături și în alte situații foarte frecvente.

Să împărțim expresia în factorii ei componente

Gradul unei ecuații este determinat de valoarea maximă a gradului variabilei pe care o conține expresia. Dacă este egală cu 2, atunci o astfel de ecuație se numește pătratică.

Dacă vorbim în limbajul formulelor, atunci expresiile indicate, indiferent de modul în care arată, pot fi întotdeauna aduse la forma când partea stângă a expresiei este formată din trei termeni. Printre acestea: ax 2 (adică o variabilă pătrat cu coeficientul său), bx (o necunoscută fără pătrat cu coeficientul său) și c (o componentă liberă, adică un număr obișnuit). Toate acestea din partea dreaptă sunt egale cu 0. În cazul în care unui astfel de polinom îi lipsește unul dintre termenii săi constitutivi, cu excepția axei 2, se numește ecuație pătratică incompletă. Exemple cu rezolvarea unor astfel de probleme, valorile variabilelor în care sunt ușor de găsit, ar trebui luate în considerare mai întâi.

Dacă expresia pare că are doi termeni în partea dreaptă, mai precis ax 2 și bx, cel mai simplu mod de a găsi x este prin scoaterea variabilei dintre paranteze. Acum ecuația noastră va arăta astfel: x(ax+b). În continuare, devine evident că fie x=0, fie problema se rezumă la găsirea unei variabile din următoarea expresie: ax+b=0. Acest lucru este dictat de una dintre proprietățile înmulțirii. Regula spune că produsul a doi factori are ca rezultat 0 numai dacă unul dintre ei este zero.

Exemplu

x=0 sau 8x - 3 = 0

Ca rezultat, obținem două rădăcini ale ecuației: 0 și 0,375.

Ecuațiile de acest fel pot descrie mișcarea corpurilor sub influența gravitației, care au început să se miște dintr-un anumit punct luat drept origine a coordonatelor. Aici notația matematică ia următoarea formă: y = v 0 t + gt 2 /2. Înlocuind valorile necesare, echivalând partea dreaptă cu 0 și găsind posibile necunoscute, puteți afla timpul care trece din momentul în care corpul se ridică până în momentul în care acesta cade, precum și multe alte cantități. Dar despre asta vom vorbi mai târziu.

Factorizarea unei expresii

Regula descrisă mai sus face posibilă rezolvarea acestor probleme în mai mult cazuri dificile. Să ne uităm la exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice de acest tip.

X 2 - 33x + 200 = 0

Acest trinom pătratic este complet. Mai întâi, să transformăm expresia și să o factorizăm. Sunt două dintre ele: (x-8) și (x-25) = 0. Ca rezultat, avem două rădăcini 8 și 25.

Exemplele cu rezolvarea ecuațiilor pătratice din clasa a 9-a permit acestei metode să găsească o variabilă în expresii nu numai de ordinul doi, ci chiar de ordinul al treilea și al patrulea.

De exemplu: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. La factorizarea părții drepte în factori cu o variabilă, există trei dintre ei, adică (x+1), (x-3) și (x+). 3).

Ca urmare, devine evident că această ecuație are trei rădăcini: -3; -1; 3.

Rădăcină pătrată

Un alt caz ecuație incompletă al doilea ordin este o expresie reprezentată în limbajul literelor în așa fel încât partea dreaptă să fie construită din componentele ax 2 și c. Aici, pentru a obține valoarea variabilei, termenul liber este transferat în partea dreaptă, iar după aceea se extrage rădăcina pătrată din ambele părți ale egalității. Trebuie remarcat faptul că în acest caz există de obicei două rădăcini ale ecuației. Singurele excepții pot fi egalitățile care nu conțin deloc un termen cu, unde variabila este egală cu zero, precum și variantele de expresii când partea dreaptă se dovedește a fi negativă. În acest din urmă caz, nu există deloc soluții, deoarece acțiunile de mai sus nu pot fi efectuate cu rădăcini. Ar trebui luate în considerare exemple de soluții la ecuații pătratice de acest tip.

În acest caz, rădăcinile ecuației vor fi numerele -4 și 4.

Calculul suprafeței terenului

Necesitatea acestui gen de calcule a apărut în antichitate, deoarece dezvoltarea matematicii în acele vremuri îndepărtate a fost determinată în mare măsură de necesitatea de a determina cu cea mai mare acuratețe suprafețele și perimetrele terenurilor.

De asemenea, ar trebui să luăm în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice bazate pe probleme de acest gen.

Deci, să presupunem că există un teren dreptunghiular, a cărui lungime este cu 16 metri mai mare decât lățimea. Ar trebui să găsiți lungimea, lățimea și perimetrul sitului dacă știți că suprafața acestuia este de 612 m 2.

Pentru a începe, să creăm mai întâi ecuația necesară. Să notăm cu x lățimea zonei, atunci lungimea acesteia va fi (x+16). Din cele scrise rezultă că aria este determinată de expresia x(x+16), care, conform condițiilor problemei noastre, este 612. Aceasta înseamnă că x(x+16) = 612.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete, iar această expresie este exact aceea, nu se poate face în același mod. De ce? Deși partea stângă conține încă doi factori, produsul lor nu este deloc egal cu 0, așa că aici sunt folosite metode diferite.

Discriminant

În primul rând, să facem, atunci, transformările necesare aspect a acestei expresii va arăta astfel: x 2 + 16x - 612 = 0. Aceasta înseamnă că am primit o expresie într-o formă corespunzătoare standardului specificat anterior, unde a=1, b=16, c=-612.

Acesta ar putea fi un exemplu de rezolvare a ecuațiilor pătratice folosind un discriminant. Aici se fac calculele necesare conform schemei: D = b 2 - 4ac. Această mărime auxiliară nu numai că face posibilă găsirea cantităților necesare într-o ecuație de ordinul doi, ci determină cantitatea opțiuni posibile. Dacă D>0, sunt două dintre ele; pentru D=0 există o singură rădăcină. În cazul D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Despre rădăcini și formula lor

În cazul nostru, discriminantul este egal cu: 256 - 4(-612) = 2704. Acest lucru sugerează că problema noastră are un răspuns. Dacă cunoașteți k, soluția ecuațiilor pătratice trebuie continuată folosind formula de mai jos. Vă permite să calculați rădăcinile.

Aceasta înseamnă că în cazul prezentat: x 1 =18, x 2 =-34. A doua opțiune în această dilemă nu poate fi o soluție, deoarece dimensiunile terenului nu pot fi măsurate în cantități negative, ceea ce înseamnă că x (adică lățimea parcelei) este de 18 m. De aici calculăm lungimea: 18 +16=34, iar perimetrul 2(34+ 18)=104(m2).

Exemple și sarcini

Continuăm studiul ecuațiilor pătratice. Exemple și soluții detaliate ale mai multor dintre ele vor fi date mai jos.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Să mutăm totul în partea stângă a egalității, să facem o transformare, adică vom obține tipul de ecuație care se numește de obicei standard și o vom echivala cu zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Adăugând altele similare, determinăm discriminantul: D = 49 - 48 = 1. Aceasta înseamnă că ecuația noastră va avea două rădăcini. Să le calculăm conform formulei de mai sus, ceea ce înseamnă că primul dintre ele va fi egal cu 4/3, iar al doilea cu 1.

2) Acum să rezolvăm mistere de alt fel.

Să aflăm dacă există rădăcini aici x 2 - 4x + 5 = 1? Pentru a obține un răspuns cuprinzător, să reducem polinomul la forma obișnuită corespunzătoare și să calculăm discriminantul. În exemplul de mai sus, nu este necesar să se rezolve ecuația pătratică, deoarece aceasta nu este deloc esența problemei. În acest caz, D = 16 - 20 = -4, ceea ce înseamnă că într-adevăr nu există rădăcini.

teorema lui Vieta

Este convenabil să se rezolve ecuații pătratice folosind formulele de mai sus și discriminantul, atunci când rădăcina pătrată este luată din valoarea acestuia din urmă. Dar acest lucru nu se întâmplă întotdeauna. Cu toate acestea, există multe modalități de a obține valorile variabilelor în acest caz. Exemplu: rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind teorema lui Vieta. Ea poartă numele unei persoane care a trăit în Franța din secolul al XVI-lea și a făcut o carieră strălucitoare datorită talentului său matematic și a legăturilor sale la curte. Portretul lui poate fi văzut în articol.

Modelul pe care l-a observat celebrul francez a fost următorul. El a demonstrat că rădăcinile ecuației se adună numeric la -p=b/a, iar produsul lor corespunde cu q=c/a.

Acum să ne uităm la sarcini specifice.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Pentru simplitate, să transformăm expresia:

x 2 + 7x - 18 = 0

Să folosim teorema lui Vieta, aceasta ne va da următoarele: suma rădăcinilor este -7, iar produsul lor este -18. De aici obținem că rădăcinile ecuației sunt numerele -9 și 2. După verificare, ne vom asigura că aceste valori variabile se potrivesc cu adevărat în expresie.

Graficul parabolei și ecuația

Conceptele de funcție pătratică și ecuații pătratice sunt strâns legate. Exemple în acest sens au fost deja date mai devreme. Acum să ne uităm la câteva ghicitori matematice mai detaliat. Orice ecuație de tipul descris poate fi reprezentată vizual. O astfel de relație, desenată sub formă de grafic, se numește parabolă. Diferitele sale tipuri sunt prezentate în figura de mai jos.

Orice parabolă are un vârf, adică un punct din care ies ramurile sale. Dacă a>0, ele cresc la infinit, iar când a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Reprezentările vizuale ale funcțiilor ajută la rezolvarea oricăror ecuații, inclusiv a celor pătratice. Această metodă se numește grafică. Iar valoarea variabilei x este coordonata abscisă în punctele în care linia graficului se intersectează cu 0x. Coordonatele vârfului pot fi găsite folosind formula tocmai dată x 0 = -b/2a. Și înlocuind valoarea rezultată în ecuația inițială a funcției, puteți afla y 0, adică a doua coordonată a vârfului parabolei, care aparține axei ordonatelor.

Intersecția ramurilor unei parabole cu axa absciselor

Există o mulțime de exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice, dar există și modele generale. Să ne uităm la ele. Este clar că intersecția graficului cu axa 0x pentru a>0 este posibilă numai dacă y 0 ia valori negative. Și pentru a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Altfel D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Din graficul parabolei puteți determina și rădăcinile. Este adevărat și contrariul. Adică, dacă nu este ușor să obțineți o reprezentare vizuală a unei funcții pătratice, puteți echivala partea dreaptă a expresiei cu 0 și rezolvați ecuația rezultată. Și cunoscând punctele de intersecție cu axa 0x, este mai ușor să construiești un grafic.

Din istorie

Folosind ecuații care conțin o variabilă pătrată, pe vremuri nu numai că făceau calcule matematice și determinau ariile figurilor geometrice. Anticii aveau nevoie de astfel de calcule pentru marile descoperiri în domeniul fizicii și astronomiei, precum și pentru a face prognoze astrologice.

După cum sugerează oamenii de știință moderni, locuitorii Babilonului au fost printre primii care au rezolvat ecuații patratice. Acest lucru s-a întâmplat cu patru secole înaintea erei noastre. Desigur, calculele lor erau radical diferite de cele acceptate în prezent și s-au dovedit a fi mult mai primitive. De exemplu, matematicienii mesopotamieni nu aveau idee despre existența numerelor negative. De asemenea, nu erau familiarizați cu alte subtilități pe care le cunoaște orice școlar modern.

Poate chiar mai devreme decât oamenii de știință din Babilon, înțeleptul din India Baudhayama a început să rezolve ecuații patratice. Acest lucru s-a întâmplat cu aproximativ opt secole înainte de era lui Hristos. Adevărat, ecuațiile de ordinul doi, metodele de rezolvare pe care le-a dat, erau cele mai simple. Pe lângă el, matematicienii chinezi erau și ei interesați de întrebări similare din vremuri. În Europa, ecuațiile pătratice au început să fie rezolvate abia la începutul secolului al XIII-lea, dar mai târziu au fost folosite în lucrările lor de oameni de știință atât de mari precum Newton, Descartes și mulți alții.

Rezolvarea ecuațiilor folosind metoda „aruncă”.

Luați în considerare ecuația pătratică

ax 2 + bx + c = 0, unde este a? 0.

Înmulțind ambele părți cu a, obținem ecuația

a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Fie ax = y, de unde x = y/a; apoi ajungem la ecuație

y 2 + de + ac = 0,

este echivalent cu aceasta. Găsim rădăcinile pentru 1 și 2 folosind teorema lui Vieta.

În cele din urmă obținem x 1 = y 1 /a și x 1 = y 2 /a. Cu această metodă, coeficientul a este înmulțit cu termenul liber, parcă „aruncat” la acesta, motiv pentru care se numește metoda „aruncare”. Această metodă este folosită atunci când puteți găsi cu ușurință rădăcinile ecuației folosind teorema lui Vieta și, cel mai important, când discriminantul este un pătrat exact.

* Exemplu.

Să rezolvăm ecuația 2x 2 - 11x + 15 = 0.

Soluţie. Să „aruncăm” coeficientul 2 la termenul liber și, ca rezultat, obținem ecuația

y 2 - 11y + 30 = 0.

Conform teoremei lui Vieta

y 1 = 5 x 1 = 5/2 x 1 = 2,5

y 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3.

Răspuns: 2,5; 3.

Proprietățile coeficienților unei ecuații pătratice

O. Să fie dată ecuația pătratică ax 2 + bx + c = 0, unde a? 0.

1) Dacă a+ b + c = 0 (adică suma coeficienților este zero), atunci x 1 = 1,

Dovada. Să împărțim ambele părți ale ecuației la a? 0, obținem ecuația pătratică redusă

x 2 + b/a * x + c/a = 0.

Conform teoremei lui Vieta

x 1 + x 2 = - b/a,

x 1 x 2 = 1* c/a.

Prin condiție, a - b + c = 0, de unde b = a + c. Astfel,

x 1 + x 2 = - a + b/a= -1 - c/a,

x 1 x 2 = - 1* (- c/a),

aceste. x 1 = -1 și x 2 = c/a, pe care trebuia să le dovedim.

• * Exemple.
• 1) Rezolvați ecuația 345x 2 - 137x - 208 = 0.

Soluţie. Deoarece a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), atunci

x 1 = 1, x 2 = c/a = -208/345.

Răspuns: 1; -208/345.

2) Rezolvați ecuația 132x 2 - 247x + 115 = 0.

Soluţie. Deoarece a + b + c = 0 (132 - 247 + 115 = 0), atunci

x 1 = 1, x 2 = c/a = 115/132.

Răspuns: 1; 115/132.

B. Dacă al doilea coeficient b = 2k este un număr par, atunci formula rădăcinii

* Exemplu.

Să rezolvăm ecuația 3x2 - 14x + 16 = 0.

Soluţie. Avem: a = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;

În acest articol ne vom uita la rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete.

Dar mai întâi, să repetăm ​​ce ecuații sunt numite pătratice. O ecuație de forma ax 2 + bx + c = 0, unde x este o variabilă, iar coeficienții a, b și c sunt niște numere și a ≠ 0 se numește pătrat. După cum vedem, coeficientul pentru x 2 nu este egal cu zero și, prin urmare, coeficienții pentru x sau termenul liber pot fi egali cu zero, caz în care obținem o ecuație pătratică incompletă.

Există trei tipuri de ecuații pătratice incomplete:

1) Dacă b = 0, c ≠ 0, atunci ax 2 + c = 0;

2) Dacă b ≠ 0, c = 0, atunci ax 2 + bx = 0;

3) Dacă b = 0, c = 0, atunci ax 2 = 0.

• Să ne dăm seama cum să rezolvăm ecuații de forma ax 2 + c = 0.

Pentru a rezolva ecuația, mutăm termenul liber c în partea dreaptă a ecuației, obținem

ax 2 = ‒s. Deoarece a ≠ 0, împărțim ambele părți ale ecuației cu a, apoi x 2 = ‒c/a.

Dacă ‒с/а > 0, atunci ecuația are două rădăcini

x = ±√(–c/a) .

Dacă ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Să încercăm să înțelegem cu exemple cum să rezolvăm astfel de ecuații.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația 2x 2 ‒ 32 = 0.

Răspuns: x 1 = - 4, x 2 = 4.

Exemplul 2. Rezolvați ecuația 2x 2 + 8 = 0.

Răspuns: ecuația nu are soluții.

• Să ne dăm seama cum să o rezolvăm ecuații de forma ax 2 + bx = 0.

Pentru a rezolva ecuația ax 2 + bx = 0, să o factorizăm, adică să scoatem x din paranteze, obținem x(ax + b) = 0. Produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal. la zero. Atunci fie x = 0, fie ax + b = 0. Rezolvând ecuația ax + b = 0, obținem ax = - b, de unde x = - b/a. O ecuație de forma ax 2 + bx = 0 are întotdeauna două rădăcini x 1 = 0 și x 2 = ‒ b/a. Vedeți cum arată soluția ecuațiilor de acest tip în diagramă.

Să ne consolidăm cunoștințele cu un exemplu concret.

Exemplul 3. Rezolvați ecuația 3x 2 ‒ 12x = 0.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 sau 3x – 12 = 0

Răspuns: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Ecuații de al treilea tip ax 2 = 0 sunt rezolvate foarte simplu.

Dacă ax 2 = 0, atunci x 2 = 0. Ecuația are două rădăcini egale x 1 = 0, x 2 = 0.

Pentru claritate, să ne uităm la diagramă.

Să ne asigurăm că atunci când rezolvăm exemplul 4, ecuațiile de acest tip pot fi rezolvate foarte simplu.

Exemplul 4. Rezolvați ecuația 7x 2 = 0.

Răspuns: x 1, 2 = 0.

Nu este întotdeauna clar imediat ce tip de ecuație pătratică incompletă trebuie să rezolvăm. Luați în considerare următorul exemplu.

Exemplul 5. Rezolvați ecuația

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu numitor comun, adică până la 30

Să-l tăiem

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.

Să deschidem parantezele

25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.

Să dăm similar

Să mutăm 99 din partea stângă a ecuației la dreapta, schimbând semnul la opus

Răspuns: fără rădăcini.

Ne-am uitat la modul în care sunt rezolvate ecuațiile pătratice incomplete. Sper că acum nu veți avea dificultăți cu astfel de sarcini. Aveți grijă când determinați tipul de ecuație pătratică incompletă, atunci veți reuși.

Dacă aveți întrebări pe această temă, înscrieți-vă la lecțiile mele, vom rezolva împreună problemele care apar.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.