Obiectivele lecției:

Didactic:

• Nivelul 1 – învață cum să rezolvi cele mai simple inegalități logaritmice, folosind definiția unui logaritm și proprietățile logaritmilor;
• Nivelul 2 – rezolvați inegalitățile logaritmice, alegând propria metodă de rezolvare;
• Nivelul 3 – să fie capabil să aplice cunoștințele și abilitățile în situații non-standard.

Educațional: dezvolta memoria, atentia, gandirea logica, abilitatile de comparare, sa poata generaliza si sa traga concluzii

Educațional: cultivați acuratețea, responsabilitatea pentru sarcina îndeplinită și asistența reciprocă.

Metode de predare: verbal , vizual , practic , căutare parțială , autoguvernare , controla.

Forme de organizare a activității cognitive a elevilor: frontal , individual , lucra in perechi.

Echipament: un set de sarcini de testare, note de referință, foi goale pentru soluții.

Tip de lecție:învăţarea de materiale noi.

Progresul lecției

1. Moment organizatoric. Se anunță tema și scopurile lecției, planul lecției: fiecărui elev i se dă o fișă de evaluare, pe care elevul o completează în timpul lecției; pentru fiecare pereche de elevi - materialele tipărite cu sarcini trebuie efectuate în perechi; foi goale de soluție; foi suport: definirea logaritmului; graficul unei funcții logaritmice, proprietățile acesteia; proprietățile logaritmilor; algoritm de rezolvare a inegalităților logaritmice.

Toate deciziile după autoevaluare sunt transmise profesorului.

Fișa de punctaj a elevului

2. Actualizarea cunoștințelor.

Instrucțiunile profesorului. Amintiți-vă definiția logaritmului, graficul funcției logaritmice și proprietățile acesteia. Pentru a face acest lucru, citiți textul de la pp. 88–90, 98–101 din manualul „Algebra și începuturile analizei 10–11”, editat de Sh.A Alimov, Yu.M Kolyagin și alții.

Elevilor li se dau foi pe care sunt scrise: definiţia unui logaritm; prezintă un grafic al unei funcții logaritmice și proprietățile acesteia; proprietățile logaritmilor; algoritm pentru rezolvarea inegalităților logaritmice, un exemplu de rezolvare a unei inegalități logaritmice care se reduce la una pătratică.

3. Studierea materialelor noi.

Rezolvarea inegalităților logaritmice se bazează pe monotonitatea funcției logaritmice.

Algoritm pentru rezolvarea inegalităților logaritmice:

A) Aflați domeniul de definire al inegalității (expresia sublogaritmică este mai mare decât zero).
B) Reprezentați (dacă este posibil) părțile stânga și dreaptă ale inegalității ca logaritmi la aceeași bază.
C) Determinați dacă funcția logaritmică este crescătoare sau descrescătoare: dacă t>1, atunci crește; daca 0 1, apoi în scădere.
D) Treceți la o inegalitate mai simplă (expresii sublogaritmice), ținând cont că semnul inegalității va rămâne același dacă funcția crește și se va modifica dacă scade.

Elementul de învățare #1.

Scop: consolidarea soluției la cele mai simple inegalități logaritmice

Forma de organizare a activităţii cognitive a elevilor: munca individuală.

Sarcini pentru muncă independentă timp de 10 minute. Pentru fiecare inegalitate există mai multe răspunsuri posibile trebuie să îl alegeți pe cel corect și să îl verificați folosind cheia;

CHEIE: 13321, număr maxim de puncte – 6 puncte.

Elementul de învățare #2.

Scop: consolidarea soluției inegalităților logaritmice folosind proprietățile logaritmilor.

Instrucțiunile profesorului. Amintiți-vă proprietățile de bază ale logaritmilor. Pentru a face acest lucru, citiți textul manualului de la pp. 92, 103–104.

Sarcini pentru muncă independentă timp de 10 minute.

CHEIE: 2113, număr maxim de puncte – 8 puncte.

Elementul de învățare #3.

Scop: studierea soluției inegalităților logaritmice prin metoda reducerii la pătratice.

Instrucțiunile profesorului: metoda de reducere a unei inegalități la un pătratic este de a transforma inegalitatea într-o astfel de formă încât o anumită funcție logaritmică să fie notată printr-o nouă variabilă, obținând astfel o inegalitate pătratică în raport cu această variabilă.

Să folosim metoda intervalului.

Ai trecut de primul nivel de stăpânire a materialului. Acum va trebui să alegeți independent o metodă de rezolvare a ecuațiilor logaritmice, folosind toate cunoștințele și capacitățile dumneavoastră.

Elementul de învățare #4.

Scop: consolidarea soluției la inegalitățile logaritmice prin alegerea independentă a unei metode de soluție rațională.

Sarcini pentru muncă independentă timp de 10 minute

Elementul de învățare #5.

Instrucțiunile profesorului. Bine făcut! Ai stăpânit rezolvarea ecuațiilor de al doilea nivel de complexitate. Scopul muncii dvs. ulterioare este să vă aplicați cunoștințele și abilitățile în situații mai complexe și nestandardizate.

Sarcini pentru soluție independentă:

Instrucțiunile profesorului. Este grozav dacă ai finalizat întreaga sarcină. Bine făcut!

Nota pentru întreaga lecție depinde de numărul de puncte obținute pentru toate elementele educaționale:

• dacă N ≥ 20, atunci obțineți un rating „5”,
• pentru 16 ≤ N ≤ 19 – scor „4”,
• pentru 8 ≤ N ≤ 15 – scor „3”,
• la N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Trimiteți lucrările de evaluare profesorului.

5. Tema pentru acasă: dacă ați obținut mai mult de 15 puncte, lucrați la greșelile dvs. (soluțiile pot fi obținute de la profesor), dacă ați obținut mai mult de 15 puncte, finalizați o sarcină creativă pe tema „Inegalități logaritmice”.

Ne-am uitat la rezolvarea celor mai simple inegalități logaritmice și inegalități în care baza logaritmului este fixă ​​în ultima lecție.

Dar dacă există o variabilă la baza logaritmului?

Atunci ne va veni în ajutor raționalizarea inegalităților. Pentru a înțelege cum funcționează, să luăm în considerare, de exemplu, inegalitatea:

$$\log_(2x) x^2 > \log_(2x) x.$$

După cum era de așteptat, să începem cu ODZ.

ODZ

$$\left[ \begin(array)(l)x>0,\\ 2x ≠ 1. \end(array)\right.$$

Soluție la inegalitate

Să raționăm de parcă am rezolva o inegalitate cu o bază fixă. Dacă baza este mai mare decât unu, scăpăm de logaritmi, iar semnul de inegalitate nu se schimbă dacă este mai mic de unu, se schimbă.

Să scriem asta ca sistem:

$$\left[ \begin(array)(l) \left\( \begin(array)(l)2x>1,\\ x^2 > x; \end(array)\right. \\ \left\ ( \begin(array)(l)2x<1,\\ x^2 < x; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

Pentru un raționament suplimentar, să mutăm toate părțile din dreapta ale inegalităților la stânga.

$$\left[ \begin(array)(l) \left\( \begin(array)(l)2x-1>0,\\ x^2 -x>0; \end(array)\right. \ \ \left\( \begin(array)(l)2x-1<0,\\ x^2 -x<0; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

Ce am primit? Se pare că avem nevoie ca expresiile `2x-1` și `x^2 - x` să fie pozitive sau negative în același timp. Același rezultat se obține dacă rezolvăm inegalitatea:

$$(2x-1)(x^2 - x) >0.$$

Această inegalitate, ca și sistemul original, este adevărată dacă ambii factori sunt fie pozitivi, fie negativi. Se dovedește că puteți trece de la o inegalitate logaritmică la una rațională (ținând cont de ODZ).

Să formulăm metoda de raționalizare a inegalităților logaritmice$$\log_(f(x)) g(x) \vee \log_(f(x)) h(x) \Leftrightarrow (f(x) - 1)(g(x)-h(x)) \ vee 0,$$ unde `\vee` este orice semn de inegalitate. (Pentru semnul `>` tocmai am verificat validitatea formulei. În rest, vă sugerez să o verificați singur - va fi reținut mai bine).

Să revenim la rezolvarea inegalității noastre. Expandându-l în paranteze (pentru a face zerourile funcției mai ușor de văzut), obținem

$$(2x-1)x(x - 1) >0.$$

Metoda intervalului va oferi următoarea imagine:

(Deoarece inegalitatea este strictă și nu ne interesează capetele intervalelor, acestea nu sunt umbrite.) După cum se poate observa, intervalele rezultate satisfac ODZ. Am primit răspunsul: `(0,\frac(1)(2)) \cup (1,∞)`.

Exemplul doi. Rezolvarea inegalității logaritmice cu bază variabilă

$$\log_(2-x) 3 \leqslant \log_(2-x) x.$$

ODZ

$$\left\(\begin(array)(l)2-x > 0,\\ 2-x ≠ 1,\\ x > 0. \end(array)\right.$$

$$\left\(\begin(array)(l)x< 2,\\ x ≠ 1, \\ x >0.\end(matrice)\dreapta.$$

Soluție la inegalitate

Conform regulii pe care tocmai am primit-o raționalizarea inegalităților logaritmice, constatăm că această inegalitate este identică (ținând cont de ODZ) cu ​​următoarele:

$$(2-x -1) (3-x) \leqslant 0.$$

$$(1-x) (3-x) \leqslant 0.$$

Combinând această soluție cu ODZ, obținem răspunsul: `(1,2)`.

Al treilea exemplu. Logaritmul unei fracții

$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant -1.$$

ODZ

$$\left\(\begin(array)(l) \dfrac(4x+5)(6-5x)>0, \\ x>0,\\ x≠ 1.\end(array) \right.$ $

Deoarece sistemul este relativ complex, să reprezentăm imediat soluția inegalităților pe dreapta numerică:

Astfel, ODZ: `(0,1)\cup \left(1,\frac(6)(5)\right)`.

Soluție la inegalitate

Să reprezentăm `-1` ca un logaritm cu baza `x`.

$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant \log_x x^(-1).$$

Prin folosirea raționalizarea inegalității logaritmice obținem o inegalitate rațională:

$$(x-1)\left(\frac(4x+5)(6-5x) -\frac(1)(x)\right)\leqslant0,$$

$$(x-1)\left(\frac(4x^2+5x - 6+5x)(x(6-5x))\right)\leqslant0,$$

$$(x-1)\left(\frac(2x^2+5x - 3)(x(6-5x))\right)\leqslant0.$$

Dintre întreaga varietate de inegalități logaritmice, inegalitățile cu bază variabilă sunt studiate separat. Ele sunt rezolvate folosind o formulă specială, care din anumite motive este rareori predată la școală:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

În loc de caseta de selectare „∨”, puteți pune orice semn de inegalitate: mai mult sau mai puțin. Principalul lucru este că în ambele inegalități semnele sunt aceleași.

Astfel scăpăm de logaritmi și reducem problema la o inegalitate rațională. Acesta din urmă este mult mai ușor de rezolvat, dar atunci când se aruncă logaritmi, pot apărea rădăcini suplimentare. Pentru a le tăia, este suficient să găsiți intervalul de valori acceptabile. Dacă ați uitat ODZ al logaritmului, vă recomand insistent să îl repetați - vezi „ Ce este un logaritm ».

Tot ceea ce are legătură cu intervalul de valori acceptabile trebuie notat și rezolvat separat:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Aceste patru inegalități constituie un sistem și trebuie satisfăcute simultan. Când a fost găsit intervalul de valori acceptabile, tot ce rămâne este să îl intersectăm cu soluția inegalității raționale - și răspunsul este gata.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

Mai întâi, să scriem ODZ al logaritmului:

Primele două inegalități sunt satisfăcute automat, dar ultima va trebui scrisă. Deoarece pătratul unui număr este zero dacă și numai dacă numărul însuși este zero, avem:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Rezultă că ODZ a logaritmului este toate numerele cu excepția zero: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Acum rezolvăm inegalitatea principală:

Facem tranziția de la inegalitatea logaritmică la una rațională. Inegalitatea originală are un semn „mai puțin decât”, ceea ce înseamnă că inegalitatea rezultată trebuie să aibă și un semn „mai puțin decât”. Avem:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Zerourile acestei expresii sunt: ​​x = 3; x = −3; x = 0. Mai mult, x = 0 este o rădăcină a celei de-a doua multiplicități, ceea ce înseamnă că la trecerea prin aceasta, semnul funcției nu se schimbă. Avem:

Se obține x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Acest set este complet conținut în ODZ al logaritmului, ceea ce înseamnă că acesta este răspunsul.

Conversia inegalităților logaritmice

Adesea inegalitatea originală este diferită de cea de mai sus. Acest lucru poate fi corectat cu ușurință folosind regulile standard pentru lucrul cu logaritmi - vezi „ Proprietățile de bază ale logaritmilor" Anume:

1. Orice număr poate fi reprezentat ca un logaritm cu o bază dată;
2. Suma și diferența logaritmilor cu aceleași baze pot fi înlocuite cu un logaritm.

Separat, aș dori să vă reamintesc intervalul de valori acceptabile. Deoarece pot exista mai mulți logaritmi în inegalitatea originală, este necesar să se găsească VA a fiecăruia dintre ei. Astfel, schema generală de rezolvare a inegalităților logaritmice este următoarea:

1. Aflați VA fiecărui logaritm inclus în inegalitate;
2. Reduceți inegalitatea la una standard folosind formulele de adunare și scădere a logaritmilor;
3. Rezolvați inegalitatea rezultată conform schemei prezentate mai sus.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

Să găsim domeniul de definiție (DO) al primului logaritm:

Rezolvăm folosind metoda intervalului. Aflarea zerourilor numărătorului:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Apoi - zerourile numitorului:

x − 1 = 0;
x = 1.

Marcam zerouri și semne pe săgeata de coordonate:

Se obține x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Al doilea logaritm va avea același VA. Dacă nu mă credeți, puteți verifica. Acum transformăm al doilea logaritm astfel încât baza să fie două:

După cum puteți vedea, treisurile de la bază și din fața logaritmului au fost reduse. Avem doi logaritmi cu aceeași bază. Să le adunăm:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Am obținut inegalitatea logaritmică standard. Scăpăm de logaritmi folosind formula. Deoarece inegalitatea originală conține un semn „mai puțin decât”, expresia rațională rezultată trebuie, de asemenea, să fie mai mică decât zero. Avem:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Avem două seturi:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Răspunsul candidatului: x ∈ (−1; 3).

Rămâne să intersectăm aceste mulțimi - obținem răspunsul real:

Suntem interesați de intersecția mulțimilor, așa că selectăm intervale care sunt umbrite pe ambele săgeți. Se obține x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - toate punctele sunt perforate.

Rezolvarea inegalităților online

Înainte de a rezolva inegalitățile, trebuie să înțelegeți bine cum sunt rezolvate ecuațiile.

Indiferent dacă inegalitatea este strictă () sau nestrictă (≤, ≥), primul pas este rezolvarea ecuației prin înlocuirea semnului de inegalitate cu egalitate (=).

Să explicăm ce înseamnă să rezolvi o inegalitate?

După studierea ecuațiilor, în capul elevului apare următoarea imagine: el trebuie să găsească valori ale variabilei astfel încât ambele părți ale ecuației să ia aceleași valori. Cu alte cuvinte, găsiți toate punctele în care este valabilă egalitatea. Totul este corect!

Când vorbim despre inegalități, ne referim la găsirea de intervale (segmente) pe care inegalitatea este valabilă. Dacă există două variabile în inegalitate, atunci soluția nu va mai fi intervale, ci niște zone din plan. Ghiciți singuri care va fi soluția la o inegalitate în trei variabile?

Cum se rezolvă inegalitățile?

O modalitate universală de rezolvare a inegalităților este considerată a fi metoda intervalelor (cunoscută și ca metoda intervalelor), care constă în determinarea tuturor intervalelor în limitele cărora va fi satisfăcută o anumită inegalitate.

Fără a intra în tipul de inegalitate, în acest caz nu acesta este ideea, trebuie să rezolvați ecuația corespunzătoare și să determinați rădăcinile acesteia, urmate de desemnarea acestor soluții pe axa numerelor.

Cum se scrie corect soluția unei inegalități?

Când ați determinat intervalele de soluție pentru inegalitate, trebuie să scrieți corect soluția în sine. Există o nuanță importantă - limitele intervalelor sunt incluse în soluție?

Totul este simplu aici. Dacă soluția ecuației satisface ODZ și inegalitatea nu este strictă, atunci granița intervalului este inclusă în soluția inegalității. Altfel, nu.

Luând în considerare fiecare interval, soluția inegalității poate fi intervalul în sine, sau un semi-interval (când una dintre limitele sale satisface inegalitatea), sau un segment - intervalul împreună cu limitele sale.

Punct important

Să nu credeți că numai intervalele, semiintervalele și segmentele pot rezolva inegalitatea. Nu, soluția poate include și puncte individuale.

De exemplu, inegalitatea |x|≤0 are o singură soluție - acesta este punctul 0.

Și inegalitatea |x|

De ce ai nevoie de un calculator de inegalități?

Calculatorul de inegalități oferă răspunsul final corect. În cele mai multe cazuri, este furnizată o ilustrare a unei axe sau a unui plan numeric. Este vizibil dacă limitele intervalelor sunt incluse sau nu în soluție - punctele sunt afișate ca umbrite sau perforate.

Datorită calculatorului de inegalități online, poți verifica dacă ai găsit corect rădăcinile ecuației, le-ai marcat pe axa numerelor și ai verificat îndeplinirea condiției de inegalități pe intervale (și limite)?

Dacă răspunsul dvs. diferă de răspunsul calculatorului, atunci trebuie neapărat să vă verificați soluția și să identificați greșeala.