Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea organismelor guvernamentale din Federația Rusă - să vă dezvăluiți informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Metoda intervalului– o modalitate simplă de rezolvare a inegalităților raționale fracționale. Acesta este numele pentru inegalitățile care conțin expresii raționale (sau fracționale-rationale) care depind de o variabilă.

1. Luați în considerare, de exemplu, următoarea inegalitate

Metoda intervalului vă permite să o rezolvați în câteva minute.

În partea stângă a acestei inegalități se află o funcție rațională fracțională. Rațional pentru că nu conține rădăcini, sinusuri sau logaritmi - doar expresii raționale. În dreapta este zero.

Metoda intervalului se bazează pe următoarea proprietate a unei funcții raționale fracționale.

O funcție rațională fracțională poate schimba semnul numai în acele puncte în care este egală cu zero sau nu există.

Să ne amintim cum este factorizat un trinom pătratic, adică o expresie de forma .

Unde și sunt rădăcinile ecuației pătratice.

Desenăm o axă și plasăm punctele în care numărătorul și numitorul merg la zero.

Zerourile numitorului și sunt puncte perforate, deoarece în aceste puncte funcția din partea stângă a inegalității nu este definită (nu puteți împărți la zero). Zerourile numărătorului și - sunt umbrite, deoarece inegalitatea nu este strictă. Când și inegalitatea noastră este satisfăcută, deoarece ambele laturi sunt egale cu zero.

Aceste puncte despart axa în intervale.

Să determinăm semnul funcției raționale fracționale din partea stângă a inegalității noastre pe fiecare dintre aceste intervale. Ne amintim că o funcție rațională fracțională poate schimba semnul numai în acele puncte în care este egală cu zero sau nu există.

Aceasta înseamnă că la fiecare dintre intervalele dintre punctele în care numărătorul sau numitorul ajunge la zero, semnul expresiei din partea stângă a inegalității va fi constant - fie „plus”, fie „minus”.
. Luați, de exemplu, și verificați semnul expresiei din partea stângă a inegalității. Fiecare dintre „paranteze” este negativ. Partea stângă are un semn.

Următorul interval: . Să verificăm semnul de la . Constatăm că partea stângă și-a schimbat semnul în .

Să o luăm. Când expresia este pozitivă - prin urmare, este pozitivă pe întreg intervalul de la până la.

Când partea stângă a inegalității este negativă.

Și, în sfârșit, class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Am aflat la ce intervale expresia este pozitivă. Rămâne doar să scrieți răspunsul:

Raspuns: .

Vă rugăm să rețineți: semnele alternează între intervale. Acest lucru s-a întâmplat pentru că la trecerea prin fiecare punct, exact unul dintre factorii liniari și-a schimbat semnul, în timp ce restul l-a păstrat neschimbat.

Vedem că metoda intervalului este foarte simplă. Pentru a decide inegalitatea rațională fracțională folosind metoda intervalului, o reducem la forma:

Sau class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x\right))(\displaystyle Q\left(x\right)) > 0"> !}, sau , sau .

(în partea stângă este o funcție rațională fracțională, în partea dreaptă este zero).

Apoi marchem pe linia numerica punctele in care numaratorul sau numitorul merge la zero.
Aceste puncte împart întreaga linie numerică în intervale, pe fiecare dintre care funcția fracțional-rațională își păstrează semnul.
Rămâne doar să-i aflăm semnul la fiecare interval.
Facem acest lucru verificând semnul expresiei în orice punct aparținând unui interval dat. După aceea, scriem răspunsul. Asta este.

Dar se pune întrebarea: semnele alternează întotdeauna? Nu, nu întotdeauna! Trebuie să fii atent și să nu așezi semne mecanic și fără gânduri.

2. Să luăm în considerare o altă inegalitate.

Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ stânga(x-3 \dreapta))>0"> !}

Așezați din nou punctele pe axă. Punctele și sunt perforate pentru că sunt zerouri ale numitorului. Punctul este, de asemenea, tăiat, deoarece inegalitatea este strictă.

Când numărătorul este pozitiv, ambii factori din numitor sunt negativi. Acest lucru poate fi verificat cu ușurință luând orice număr dintr-un interval dat, de exemplu, . Partea stângă are semnul:

Când numărătorul este pozitiv; Primul factor din numitor este pozitiv, al doilea factor este negativ. Partea stângă are semnul:

Situația este aceeași! Numătorul este pozitiv, primul factor din numitor este pozitiv, al doilea este negativ. Partea stângă are semnul:

În cele din urmă, cu class="tex" alt="x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Raspuns: .

De ce a fost întreruptă alternanța semnelor? Pentru că atunci când trece printr-un punct, multiplicatorul este „responsabil” pentru acesta nu a schimbat semnul. În consecință, toată partea stângă a inegalității noastre nu și-a schimbat semnul.

Concluzie: dacă multiplicatorul liniar este o putere pară (de exemplu, pătrat), atunci când trece printr-un punct semnul expresiei din partea stângă nu se schimbă. În cazul unui grad impar, semnul, desigur, se schimbă.

3. Să luăm în considerare mai multe caz dificil. Diferă de precedentul prin faptul că inegalitatea nu este strictă:

Partea stângă este aceeași ca în problema anterioară. Imaginea semnelor va fi aceeași:

Poate răspunsul va fi același? Nu! Se adaugă o soluție. Acest lucru se întâmplă deoarece ambele părți din stânga și din dreapta inegalității sunt egale cu zero - prin urmare, acest punct este o soluție.

Raspuns: .

Această situație apare adesea în problemele de la examenul unificat de stat la matematică. Aici candidații cad într-o capcană și pierd puncte. Atenție!

4. Ce trebuie să faceți dacă numărătorul sau numitorul nu poate fi factorizat în factori liniari? Luați în considerare această inegalitate:

Un trinom pătrat nu poate fi factorizat: discriminantul este negativ, nu există rădăcini. Dar asta e bine! Aceasta înseamnă că semnul expresiei pentru toți este același și, în mod specific, pozitiv. Puteți citi mai multe despre acest lucru în articolul despre proprietățile funcțiilor pătratice.

Și acum putem împărți ambele părți ale inegalității noastre la o valoare care este pozitivă pentru toți. Să ajungem la o inegalitate echivalentă:

Ceea ce se rezolvă ușor folosind metoda intervalului.

Vă rugăm să rețineți că am împărțit ambele părți ale inegalității la o valoare despre care știam cu siguranță că este pozitivă. Desigur, în general, nu trebuie să înmulțiți sau să împărțiți o inegalitate cu o variabilă al cărei semn este necunoscut.

5 . Să luăm în considerare o altă inegalitate, aparent destul de simplă:

Vreau doar să o înmulțesc cu . Dar suntem deja inteligenți și nu vom face asta. La urma urmei, poate fi atât pozitiv, cât și negativ. Și știm că dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite cu o valoare negativă, semnul inegalității se schimbă.

O vom face diferit - vom colecta totul într-o singură parte și vom duce la numitor comun. Partea dreaptă va rămâne zero:

Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

Și după aceea - aplicați metoda intervalului.

Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Ce s-a întâmplat „inegalitate pătratică”? Nicio întrebare!) Dacă iei orice ecuația pătratică și înlocuiți semnul din ea "=" (egal) cu orice semn de inegalitate ( > ≥ < ≤ ≠ ), obținem o inegalitate pătratică. De exemplu:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Ei bine, ai inteles...)

Nu degeaba am legat aici ecuații și inegalități. Ideea este că primul pas în rezolvare orice inegalitatea pătratică - rezolvați ecuația din care se face această inegalitate. Din acest motiv - incapacitatea de a decide ecuații pătratice duce automat la eșecul complet în inegalități. Sugestia este clară?) Dacă ceva, uită-te la cum să rezolvi orice ecuații pătratice. Totul este descris acolo în detaliu. Și în această lecție ne vom ocupa de inegalități.

Inegalitatea gata de rezolvare are forma: în stânga este un trinom pătratic ax 2 +bx+c, în dreapta - zero. Semnul inegalității poate fi absolut orice. Primele două exemple sunt aici sunt deja gata să ia o decizie. Al treilea exemplu mai trebuie pregătit.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

După ce a primit informatiile initiale despre inegalitățile cu variabile, trecem la problema soluției acestora. Vom analiza soluția inegalităților liniare cu o variabilă și toate metodele de rezolvare a acestora cu algoritmi și exemple. Vor fi luate în considerare doar ecuațiile liniare cu o variabilă.

Ce este inegalitatea liniară?

În primul rând, trebuie să definiți o ecuație liniară și să aflați forma ei standard și cum va diferi de altele. Din cursul școlar avem că nu există o diferență fundamentală între inegalități, așa că este necesar să folosim mai multe definiții.

Definiția 1

Inegalitatea liniară cu o variabilă x este o inegalitate de forma a · x + b > 0, când se folosește orice semn de inegalitate în loc de >< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Definiția 2

Inegalitățile a x< c или a · x >c, cu x fiind o variabilă și a și c fiind unele numere, se numește inegalități liniare cu o variabilă.

Deoarece nu se spune nimic despre dacă coeficientul poate fi egal cu 0, atunci o inegalitate strictă de forma 0 x > c și 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Diferențele lor sunt:

• forma de notare a · x + b > 0 în primul, iar a · x > c – în al doilea;
• admisibilitatea coeficientului a fiind egal cu zero, a ≠ 0 - în primul și a = 0 - în al doilea.

Se crede că inegalitățile a · x + b > 0 și a · x > c sunt echivalente, deoarece se obțin prin transferul unui termen dintr-o parte în alta. Rezolvarea inegalității 0 x + 5 > 0 va duce la faptul că va trebui rezolvată, iar cazul a = 0 nu va funcționa.

Definiția 3

Se crede că inegalitățile liniare dintr-o variabilă x sunt inegalități de formă a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0Şi a x + b ≥ 0, unde a și b sunt numere reale. În loc de x poate exista un număr obișnuit.

Pe baza regulii, avem că 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 se numesc reductibile la liniară.

Cum se rezolvă inegalitatea liniară

Principala modalitate de a rezolva astfel de inegalități este utilizarea transformărilor echivalente pentru a găsi inegalitățile elementare x< p (≤ , >, ≥) , p care este un anumit număr, pentru a ≠ 0, și de forma a< p (≤ , >, ≥) pentru a = 0.

Pentru a rezolva inegalitățile dintr-o variabilă, puteți utiliza metoda intervalului sau o puteți reprezenta grafic. Oricare dintre ele poate fi folosit separat.

Folosind transformări echivalente

Pentru a rezolva o inegalitate liniara de forma a x + b< 0 (≤ , >, ≥), este necesar să se aplice transformări de inegalități echivalente. Coeficientul poate fi sau nu zero. Să luăm în considerare ambele cazuri. Pentru a afla, trebuie să respectați o schemă constând din 3 puncte: esența procesului, algoritmul și soluția în sine.

Definiția 4

Algoritm pentru rezolvarea inegalității liniare a x + b< 0 (≤ , >, ≥) pentru a ≠ 0

• numărul b va fi mutat în partea dreaptă a inegalității cu semnul opus, ceea ce ne va permite să ajungem la echivalentul a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• Ambele părți ale inegalității vor fi împărțite la un număr care nu este egal cu 0. Mai mult, atunci când a este pozitiv, semnul rămâne când a este negativ, se schimbă la opus.

Să luăm în considerare aplicarea acestui algoritm pentru a rezolva exemple.

Exemplul 1

Rezolvați inegalitatea formei 3 x + 12 ≤ 0.

Soluţie

Această inegalitate liniară are a = 3 și b = 12. Aceasta înseamnă că coeficientul a lui x nu este egal cu zero. Să aplicăm algoritmii de mai sus și să-i rezolvăm.

Este necesar să mutați termenul 12 într-o altă parte a inegalității și să schimbați semnul din fața acestuia. Atunci obținem o inegalitate de forma 3 x ≤ − 12. Este necesar să împărțiți ambele părți la 3. Semnul nu se va schimba deoarece 3 este un număr pozitiv. Obținem că (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3, ceea ce dă rezultatul x ≤ − 4.

O inegalitate de forma x ≤ − 4 este echivalentă. Adică, soluția pentru 3 x + 12 ≤ 0 este orice număr real care este mai mic sau egal cu 4. Răspunsul se scrie ca o inegalitate x ≤ − 4, sau un interval numeric de forma (− ∞, − 4].

Întregul algoritm descris mai sus este scris astfel:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

Răspuns: x ≤ − 4 sau (− ∞ , − 4 ] .

Exemplul 2

Indicați toate soluțiile disponibile pentru inegalitatea − 2, 7 · z > 0.

Soluţie

Din condiție vedem că coeficientul a pentru z este egal cu - 2,7 și b este în mod explicit absent sau egal cu zero. Nu puteți folosi primul pas al algoritmului, ci treceți imediat la al doilea.

Împărțim ambele părți ale ecuației cu numărul - 2, 7. Deoarece numărul este negativ, este necesar să inversăm semnul inegalității. Adică, obținem că (− 2, 7 z) : (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Vom scrie întreg algoritmul în formă scurtă:

− 2, 7 z > 0; z< 0 .

Răspuns: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Exemplul 3

Rezolvați inegalitatea - 5 x - 15 22 ≤ 0.

Soluţie

Prin condiție, vedem că este necesar să se rezolve inegalitatea cu coeficientul a pentru variabila x, care este egală cu - 5, cu coeficientul b, care corespunde fracției - 15 22. Este necesar să rezolvați inegalitatea urmând algoritmul, adică: mutați - 15 22 în altă parte cu semnul opus, împărțiți ambele părți la - 5, schimbați semnul inegalității:

5 x ≤ 1522; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

În timpul ultimei tranziții pentru partea dreaptă, se folosește regula împărțirii numerelor cu semne diferite 15 22: - 5 = - 15 22: 5, după care efectuăm împărțirea fracție comună la numărul natural - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .

Răspuns: x ≥ - 3 22 și [ - 3 22 + ∞) .

Să luăm în considerare cazul când a = 0. Expresia liniară a formei a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Totul se bazează pe determinarea soluției inegalității. Pentru orice valoare a lui x obținem o inegalitate numerică de forma b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Vom lua în considerare toate judecățile sub forma unui algoritm de rezolvare a inegalităților liniare 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Definiția 5

Inegalitatea numerică de forma b< 0 (≤ , >, ≥) este adevărată, atunci inegalitatea originală are o soluție pentru orice valoare și este falsă atunci când inegalitatea originală nu are soluții.

Exemplul 4

Rezolvați inegalitatea 0 x + 7 > 0.

Soluţie

Această inegalitate liniară 0 x + 7 > 0 poate lua orice valoare x. Atunci obținem o inegalitate de forma 7 > 0. Ultima inegalitate este considerată adevărată, ceea ce înseamnă că orice număr poate fi soluția sa.

Răspuns: interval (− ∞ , + ∞) .

Exemplul 5

Găsiți o soluție la inegalitatea 0 x − 12, 7 ≥ 0.

Soluţie

Când înlocuim variabila x a oricărui număr, obținem că inegalitatea ia forma − 12, 7 ≥ 0. Este incorect. Adică, 0 x − 12, 7 ≥ 0 nu are soluții.

Răspuns: nu exista solutii.

Să luăm în considerare rezolvarea inegalităților liniare în care ambii coeficienți sunt egali cu zero.

Exemplul 6

Determinați inegalitatea de nerezolvat din 0 x + 0 > 0 și 0 x + 0 ≥ 0.

Soluţie

Când înlocuim orice număr în loc de x, obținem două inegalități de forma 0 > 0 și 0 ≥ 0. Primul este incorect. Aceasta înseamnă că 0 x + 0 > 0 nu are soluții, iar 0 x + 0 ≥ 0 are un număr infinit de soluții, adică orice număr.

Răspuns: inegalitatea 0 x + 0 > 0 nu are soluții, dar 0 x + 0 ≥ 0 are soluții.

Această metodă este discutată la cursul de matematică din școală. Metoda intervalului este capabilă să se rezolve diverse tipuri inegalități, de asemenea liniare.

Metoda intervalului este utilizată pentru inegalitățile liniare când valoarea coeficientului x nu este egală cu 0. În caz contrar, va trebui să calculați folosind o altă metodă.

Definiția 6

Metoda intervalului este:

• introducerea funcţiei y = a · x + b ;
• căutarea zerourilor pentru a împărți domeniul definiției în intervale;
• definirea semnelor pentru conceptele lor pe intervale.

Să asamblam un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor liniare a x + b< 0 (≤ , >, ≥) pentru a ≠ 0 folosind metoda intervalului:

• aflarea zerourilor functiei y = a · x + b pentru a rezolva o ecuatie de forma a · x + b = 0 . Dacă a ≠ 0, atunci soluția va fi o singură rădăcină, care va lua denumirea x 0;
• construirea unei linii de coordonate cu imaginea unui punct cu coordonata x 0 în caz de inegalitate strictă, punctul este punctat în cazul unei inegalități nestricte, punctul este marcat;
• determinarea semnelor funcției y = a · x + b pe intervale pentru aceasta este necesar să se găsească valorile funcției în punctele din interval;
• rezolvarea unei inegalități cu semne > sau ≥ pe linia de coordonate, adăugând umbrire peste intervalul pozitiv,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Să ne uităm la câteva exemple de rezolvare a inegalităților liniare folosind metoda intervalului.

Exemplul 6

Rezolvați inegalitatea − 3 x + 12 > 0.

Soluţie

Din algoritm rezultă că mai întâi trebuie să găsiți rădăcina ecuației - 3 x + 12 = 0. Obținem că − 3 · x = − 12 , x = 4 . Este necesar să trasăm o linie de coordonate unde marcam punctul 4. Va fi perforat pentru că inegalitatea este strictă. Luați în considerare desenul de mai jos.

Este necesar să se determine semnele la intervale. Pentru a-l determina pe intervalul (− ∞, 4), este necesar să se calculeze funcția y = − 3 x + 12 la x = 3. De aici obținem că − 3 3 + 12 = 3 > 0. Semnul de pe interval este pozitiv.

Determinăm semnul din intervalul (4, + ∞), apoi înlocuim valoarea x = 5. Avem că − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Rezolvăm inegalitatea cu semnul >, iar umbrirea se efectuează pe intervalul pozitiv. Luați în considerare desenul de mai jos.

Din desen este clar că soluția dorită are forma (− ∞ , 4) sau x< 4 .

Răspuns: (− ∞ , 4) sau x< 4 .

Pentru a înțelege cum să descrieți grafic, este necesar să luați în considerare 4 inegalități liniare ca exemplu: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 și 0, 5 x − 1 ≥ 0. Soluțiile lor vor fi valorile lui x< 2 , x ≤ 2 , x >2 și x ≥ 2. Pentru a face acest lucru, să reprezentăm grafic funcția liniară y = 0, 5 x − 1 prezentată mai jos.

Este clar că

Definiția 7

• rezolvarea inegalității 0, 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• soluția 0, 5 x − 1 ≤ 0 este considerată a fi intervalul în care funcția y = 0, 5 x − 1 este mai mică decât O x sau coincide;
• soluția 0, 5 · x − 1 > 0 este considerată a fi un interval, funcția este situată deasupra O x;
• soluția 0, 5 · x − 1 ≥ 0 este considerată a fi intervalul în care graficul de deasupra O x sau coincide.

Scopul rezolvării grafice a inegalităților este de a găsi intervalele care trebuie reprezentate pe grafic. În acest caz, constatăm că partea stângă are y = a · x + b, iar partea dreaptă are y = 0 și coincide cu O x.

Definiția 8

Graficul funcției y = a x + b este reprezentat grafic:

• în timp ce rezolvăm inegalitatea a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• la rezolvarea inegalității a · x + b ≤ 0, se determină intervalul în care graficul este reprezentat sub axa O x sau coincide;
• la rezolvarea inegalității a · x + b > 0, se determină intervalul unde graficul este reprezentat deasupra O x;
• La rezolvarea inegalității a · x + b ≥ 0, se determină intervalul în care graficul este deasupra O x sau coincide.

Exemplul 7

Rezolvați inegalitatea - 5 · x - 3 > 0 folosind un grafic.

Soluţie

Este necesar să se construiască un grafic al funcției liniare - 5 · x - 3 > 0. Această linie este în scădere deoarece coeficientul lui x este negativ. Pentru a determina coordonatele punctului său de intersecție cu O x - 5 · x - 3 > 0, obținem valoarea - 3 5. Să o reprezentăm grafic.

Rezolvând inegalitatea cu semnul >, atunci trebuie să acordați atenție intervalului de deasupra O x. Să evidențiem partea necesară a avionului cu roșu și obținem asta

Spațiul necesar este partea O x roșu. Aceasta înseamnă că raza numărului deschis - ∞ , - 3 5 va fi o soluție a inegalității. Dacă prin condiție am avea o inegalitate nestrictă, atunci și valoarea punctului - 3 5 ar fi o soluție a inegalității. Și ar coincide cu O x.

Răspuns: - ∞ , - 3 5 sau x< - 3 5 .

Soluția grafică este utilizată atunci când partea stângă corespunde funcției y = 0 x + b, adică y = b. Apoi, linia dreaptă va fi paralelă cu O x sau coincidentă la b = 0. Aceste cazuri arată că inegalitatea poate să nu aibă soluții sau soluția poate fi orice număr.

Exemplul 8

Determinați din inegalitățile 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Soluţie

Reprezentarea lui y = 0 x + 7 este y = 7, atunci se va da un plan de coordonate cu o dreaptă paralelă cu O x și situat deasupra O x. Deci 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Graficul funcției y = 0 x + 0 este considerat a fi y = 0, adică linia dreaptă coincide cu O x. Aceasta înseamnă că inegalitatea 0 x + 0 ≥ 0 are multe soluții.

Răspuns: A doua inegalitate are o soluție pentru orice valoare a lui x.

Inegalități care se reduc la liniare

Soluția inegalităților poate fi redusă la soluția unei ecuații liniare, care se numesc inegalități care se reduc la liniară.

Aceste inegalități au fost luate în considerare în cadrul cursului școlar, întrucât au fost un caz special de rezolvare a inegalităților, ceea ce a dus la deschiderea parantezelor și la reducerea termenilor similari. De exemplu, considerăm că 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x.

Inegalitățile prezentate mai sus sunt întotdeauna reduse la forma unei ecuații liniare. După aceea, parantezele sunt deschise și se dau termeni similari, transferați din diferite părți, schimbând semnul în opus.

La reducerea inegalității 5 − 2 x > 0 la liniară, o reprezentăm în așa fel încât să aibă forma − 2 x + 5 > 0, iar pentru a reduce a doua obținem că 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Este necesar să deschideți parantezele, să aduceți termeni similari, să mutați toți termenii în partea stângă și să aduceți termeni similari. Arata cam asa:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Aceasta duce la soluția unei inegalități liniare.

Aceste inegalități sunt considerate liniare, deoarece au același principiu de soluție, după care este posibil să le reducă la inegalități elementare.

Pentru a rezolva acest tip de inegalitate, este necesar să o reducem la una liniară. Ar trebui făcut astfel:

Definiția 9

• paranteze deschise;
• colectează variabile în stânga și numere în dreapta;
• dați termeni similari;
• împărțiți ambele părți la coeficientul lui x.

Exemplul 9

Rezolvați inegalitatea 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1.

Soluţie

Deschidem parantezele, apoi obținem o inegalitate de forma 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1. După reducerea termenilor similari, avem că 6 x + 15 ≤ 6 x − 17. După mutarea termenilor de la stânga la dreapta, constatăm că 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0. Prin urmare, există o inegalitate de forma 32 ≤ 0 din cea obținută prin calculul 0 x + 32 ≤ 0. Se poate observa că inegalitatea este falsă, ceea ce înseamnă că inegalitatea dată de condiție nu are soluții.

Răspuns: fara solutii.

Este demn de remarcat faptul că există multe alte tipuri de inegalități care pot fi reduse la liniare sau inegalități de tipul prezentat mai sus. De exemplu, 5 2 x − 1 ≥ 1 este ecuație exponențială, care reduce la o soluție liniară 2 x − 1 ≥ 0 . Aceste cazuri vor fi luate în considerare la rezolvarea inegalităților de acest tip.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

De exemplu, inegalitatea este expresia \(x>5\).

Tipuri de inegalități:

Dacă \(a\) și \(b\) sunt numere sau , atunci inegalitatea este numită numeric. De fapt, este doar compararea a două numere. Astfel de inegalități sunt împărțite în credinciosŞi necredincios.

De exemplu:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) este o inegalitate numerică incorectă, deoarece \(17+3=20\) și \(20\) este mai mic decât \(115\) (și nu mai mare sau egal cu) .

Dacă \(a\) și \(b\) sunt expresii care conțin o variabilă, atunci avem inegalitatea cu variabila. Astfel de inegalități sunt împărțite în tipuri în funcție de conținut:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Variabil doar la prima putere
\(3x^2-x+5>0\)				Există o variabilă în a doua putere (pătrat), dar nu există puteri superioare (a treia, a patra etc.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... și așa mai departe.

Care este soluția la o inegalitate?

Dacă înlocuiți un număr în loc de o variabilă într-o inegalitate, aceasta se va transforma într-una numerică.

Dacă o valoare dată pentru x transformă inegalitatea inițială într-una numerică adevărată, atunci se numește soluție la inegalitate. Dacă nu, atunci această valoare nu este o soluție. Și așa că rezolva inegalitatea– trebuie să-i găsești toate soluțiile (sau să arăți că nu există).

De exemplu, dacă substituim numărul \(7\) în inegalitatea liniară \(x+6>10\), obținem inegalitatea numerică corectă: \(13>10\). Și dacă înlocuim \(2\), va exista o inegalitate numerică incorectă \(8>10\). Adică, \(7\) este o soluție la inegalitatea inițială, dar \(2\) nu este.

Totuși, inegalitatea \(x+6>10\) are alte soluții. Într-adevăr, vom obține inegalitățile numerice corecte când înlocuim \(5\), și \(12\), și \(138\)... Și cum putem găsi toate soluțiile posibile? Pentru aceasta folosesc. Pentru cazul nostru avem:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Adică, orice număr mai mare de patru ni se va potrivi. Acum trebuie să scrieți răspunsul. Soluțiile la inegalități sunt de obicei scrise numeric, marcându-le suplimentar pe axa numerelor cu umbrire. Pentru cazul nostru avem:

Răspuns: \(x\in(4;+\infty)\)

Când se schimbă semnul unei inegalități?

Există o mare capcană în inegalități în care elevii „adoră” să cadă:

Când înmulțiți (sau împărțiți) o inegalitate cu un număr negativ, aceasta este inversată („mai mult” cu „mai puțin”, „mai mult sau egal” cu „mai puțin decât sau egal” și așa mai departe)

De ce se întâmplă asta? Pentru a înțelege acest lucru, să ne uităm la transformările inegalității numerice \(3>1\). Este corect, trei este într-adevăr mai mare decât unul. Mai întâi, să încercăm să-l înmulțim cu orice număr pozitiv, de exemplu, doi:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

După cum putem vedea, după înmulțire inegalitatea rămâne adevărată. Și indiferent cu ce număr pozitiv înmulțim, vom obține întotdeauna inegalitatea corectă. Acum să încercăm să înmulțim cu un număr negativ, de exemplu, minus trei:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Rezultatul este o inegalitate incorectă, deoarece minus nouă este mai puțin decât minus trei! Adică, pentru ca inegalitatea să devină adevărată (și, prin urmare, transformarea înmulțirii cu negativ a fost „legală”), trebuie să inversați semnul de comparație, astfel: \(−9<− 3\).
Cu diviziunea va funcționa la fel, puteți verifica singur.

Regula scrisă mai sus se aplică tuturor tipurilor de inegalități, nu doar celor numerice.

Exemplu: Rezolvați inegalitatea \(2(x+1)-1<7+8x\)
Soluţie:

\(2x+2-1<7+8x\)	Să ne deplasăm \(8x\) la stânga și \(2\) și \(-1\) la dreapta, fără a uita să schimbăm semnele
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Să împărțim ambele părți ale inegalității la \(-6\), fără a uita să schimbăm de la „mai puțin” la „mai mult”.
	Să marchem un interval numeric pe axă. Inegalitatea, prin urmare, „înțepăm” valoarea \(-1\) în sine și nu o luăm ca răspuns
	Să scriem răspunsul ca un interval

Răspuns: \(x\in(-1;\infty)\)

Inegalități și dizabilități

Inegalitățile, la fel ca și ecuațiile, pot avea restricții asupra , adică asupra valorilor lui x. În consecință, acele valori care sunt inacceptabile conform DZ ar trebui excluse din gama de soluții.

Exemplu: Rezolvați inegalitatea \(\sqrt(x+1)<3\)

Soluţie: Este clar că, pentru ca partea stângă să fie mai mică decât \(3\), expresia radicală trebuie să fie mai mică decât \(9\) (la urma urmei, din \(9\) doar \(3\)). Primim:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Toate? Orice valoare a lui x mai mică decât \(8\) ne va potrivi? Nu! Pentru că dacă luăm, de exemplu, valoarea \(-5\) care pare să se potrivească cerinței, aceasta nu va fi o soluție la inegalitatea inițială, deoarece ne va conduce la calcularea rădăcinii unui număr negativ.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Prin urmare, trebuie să luăm în considerare și restricțiile privind valoarea lui X - nu poate fi astfel încât să existe un număr negativ sub rădăcină. Astfel, avem a doua cerință pentru x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Și pentru ca x să fie soluția finală, trebuie să îndeplinească ambele cerințe simultan: trebuie să fie mai mic decât \(8\) (pentru a fi o soluție) și mai mare decât \(-1\) (pentru a fi admisibil în principiu). Trasând-o pe linia numerică, avem răspunsul final:

Răspuns: \(\stanga[-1;8\dreapta)\)