În acest subiect vom lua în considerare toate cele trei grupuri de limite cu iraționalitate enumerate mai sus. Să începem cu limitele care conțin incertitudine de forma $\frac(0)(0)$.
Dezvăluirea incertitudinii $\frac(0)(0)$.
Soluția la exemplele standard de acest tip constă de obicei din doi pași:
- Scăpăm de iraționalitatea care a provocat incertitudine prin înmulțirea prin așa-numita expresie „conjugată”;
- Dacă este necesar, factorizați expresia în numărător sau numitor (sau ambele);
- Reducem factorii care duc la incertitudine și calculăm valoarea dorită a limitei.
Termenul "expresie conjugată" folosit mai sus va fi explicat în detaliu în exemple. Deocamdată nu există niciun motiv să ne oprim în detaliu. În general, poți merge pe altă cale, fără a folosi expresia conjugată. Uneori, un înlocuitor bine ales poate elimina iraționalitatea. Astfel de exemple sunt rare în testele standard, așa că vom lua în considerare doar un exemplu nr. 6 pentru utilizarea înlocuirii (a se vedea a doua parte a acestui subiect).
Vom avea nevoie de mai multe formule, pe care le voi scrie mai jos:
\begin(equation) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(equation) \begin(equation) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \end(equation) \begin(equation) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(equation) \begin (ecuație) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(equation)
În plus, presupunem că cititorul cunoaște formulele de rezolvare a ecuațiilor pătratice. Dacă $x_1$ și $x_2$ sunt rădăcinile trinomului pătratic $ax^2+bx+c$, atunci acesta poate fi factorizat folosind următoarea formulă:
\begin(equation) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(equation)
Formulele (1)-(5) sunt destul de suficiente pentru rezolvarea problemelor standard, la care vom trece acum.
Exemplul nr. 1
Găsiți $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.
Deoarece $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ și $\lim_(x\ to 3) (x-3)=3-3=0$, atunci în limita dată avem o incertitudine de forma $\frac(0)(0)$. Diferența $\sqrt(7-x)-2$ ne împiedică să dezvăluim această incertitudine. Pentru a scăpa de astfel de iraționalități, se folosește înmulțirea prin așa-numita „expresie conjugată”. Ne vom uita acum la modul în care funcționează o astfel de înmulțire. Înmulțiți $\sqrt(7-x)-2$ cu $\sqrt(7-x)+2$:
$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$
Pentru a deschide parantezele, aplicați , înlocuind $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ în partea dreaptă a formulei menționate:
$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$
După cum puteți vedea, dacă înmulțiți numărătorul cu $\sqrt(7-x)+2$, atunci rădăcina (adică iraționalitatea) din numărător va dispărea. Această expresie $\sqrt(7-x)+2$ va fi conjuga la expresia $\sqrt(7-x)-2$. Totuși, nu putem înmulți pur și simplu numărătorul cu $\sqrt(7-x)+2$, deoarece acest lucru va schimba fracția $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$, care este sub limita . Trebuie să înmulțiți atât numărătorul, cât și numitorul în același timp:
$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$
Acum amintiți-vă că $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ și deschideți parantezele. Și după deschiderea parantezelor și o mică transformare $3-x=-(x-3)$, reducem fracția cu $x-3$:
$$ \lim_(x\la 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\la 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\la 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\la 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$
Incertitudinea $\frac(0)(0)$ a dispărut. Acum puteți obține cu ușurință răspunsul la acest exemplu:
$$ \lim_(x\la 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$
Observ că expresia conjugată își poate schimba structura, în funcție de ce fel de iraționalitate ar trebui să înlăture. În exemplele nr. 4 și nr. 5 (vezi a doua parte a acestui subiect) va fi folosit un tip diferit de expresie conjugată.
Răspuns: $\lim_(x\la 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.
Exemplul nr. 2
Găsiți $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.
Deoarece $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ și $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, atunci vom au de-a face cu incertitudinea de forma $\frac(0)(0)$. Să scăpăm de iraționalitatea din numitorul acestei fracții. Pentru a face acest lucru, adăugăm atât numărătorul, cât și numitorul fracției $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ la expresia $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ conjugată la numitor:
$$ \lim_(x\la 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\left|\frac(0 )(0)\right|= \lim_(x\la 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$
Din nou, ca în exemplul nr. 1, trebuie să folosiți paranteze pentru a extinde. Înlocuind $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ în partea dreaptă a formulei menționate, obținem următoarea expresie pentru numitor:
$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ dreapta)=\\ =\stânga(\sqrt(x^2+5)\dreapta)^2-\stânga(\sqrt(7x^2-19)\dreapta)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$
Să revenim la limita noastră:
$$ \lim_(x\la 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x) ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\to 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$
În exemplul nr. 1, aproape imediat după înmulțire cu expresia conjugată, fracția a fost redusă. Aici, înainte de reducere, va trebui să factorizați expresiile $3x^2-5x-2$ și $x^2-4$ și abia apoi să treceți la reducere. Pentru a factoriza expresia $3x^2-5x-2$ trebuie să utilizați . Mai întâi să decidem ecuație pătratică$3x^2-5x-2=0$:
$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(aliniat) $$
Înlocuind $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ în , vom avea:
$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ frac(1)(3)\right)(x-2)=\left(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\right)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$
Acum este timpul să factorizezi expresia $x^2-4$. Să folosim , înlocuind $a=x$, $b=2$ în el:
$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$
Să folosim rezultatele obținute. Deoarece $x^2-4=(x-2)(x+2)$ și $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, atunci:
$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2) -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$
Reducerea $x-2$ prin paranteză obținem:
$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$
Toate! Incertitudinea a dispărut. Încă un pas și ajungem la răspuns:
$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2 ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$
Răspuns: $\lim_(x\la 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4) $.
În exemplul următor, luați în considerare cazul în care iraționalitățile vor fi prezente atât în numărător, cât și în numitorul fracției.
Exemplul nr. 3
Găsiți $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))$.
Deoarece $\lim_(x\la 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ și $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, atunci avem o incertitudine de forma $ \frac (0)(0)$. Deoarece în acest caz rădăcinile sunt prezente atât la numitor, cât și la numărător, pentru a scăpa de incertitudine va trebui să înmulțiți cu două paranteze deodată. Mai întâi, la expresia $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ se conjugă la numărător. Și în al doilea rând, la expresia $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ conjugată la numitor.
$$ \lim_(x\la 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\lim_(x\to 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2) -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2 -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(aligned) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(aliniat) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$
Pentru expresia $x^2-8x+15$ obținem:
$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin(aligned) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10)(2)=5. \end(aliniat)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$
Înlocuind expansiunile rezultate $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ și $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ în limită în considerare, vom avea:
$$ \lim_(x\la 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2) -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\to 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\la 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5 \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$
Răspuns: $\lim_(x\la 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))=-6$.
În următoarea (a doua) parte, vom lua în considerare câteva exemple în care expresia conjugată va avea o formă diferită decât în problemele anterioare. Principalul lucru de reținut este că scopul utilizării unei expresii conjugate este de a scăpa de iraționalitatea care provoacă incertitudine.
Există mai multe tipuri iraţionalitate fractiiîn numitor. Este asociat cu prezența în el a unei rădăcini algebrice de grade identice sau diferite. Pentru a scăpa de iraţionalitate, este necesar să se efectueze anumite operații matematice în funcție de situație.
Instrucţiuni
1. Înainte de a scăpa de iraţionalitate fractiiîn numitor, ar trebui determinat tipul său și, în funcție de aceasta, continuați soluția. Într-adevăr, orice iraționalitate rezultă din simpla prezență a rădăcinilor diferitele lor combinații și grade sunt presupuse de diferiți algoritmi;
2. Rădăcina pătrată a numitorului, expresie a formei a/?bIntroduceți un factor suplimentar egal cu?b. Pentru ca fracția să nu se modifice, este necesar să se înmulțească atât numărătorul, cât și numitorul: a/?b ? (a ?b)/b. Exemplul 1: 10/?3 ? (10?3)/3.
3. Prezența sub linie fractii o rădăcină a unei puteri fracționale de forma m/n și n>mAceastă expresie arată astfel: a/?(b^m/n).
4. Scapa de similare iraţionalitate tot prin introducerea unui multiplicator, de data aceasta mai dificil: b^(n-m)/n, i.e. din exponentul rădăcinii în sine, este necesar să se scadă gradul expresiei de sub semnul acesteia. Atunci doar prima putere va rămâne la numitor: a/(b^m/n) ? a ?(b^(n-m)/n)/b Exemplul 2: 5/(4^3/5) ? 5 ?(4^2/5)/4 = 5 ?(16^1/5)/4.
5. Sumă rădăcini pătrateÎnmulțiți ambele componente fractii printr-o diferenta asemanatoare. Apoi, din adunarea irațională a rădăcinilor, numitorul se transformă în diferența de expresii/numerele sub semnul rădăcinii: a/(?b + ?c) ? a (?b – ?c)/(b – c).Exemplu 3: 9/(?13 + ?23) ? 9 (?13 – ?23)/(13 – 23) = 9 (?23 – ?13)/10.
6. Suma/diferența rădăcinilor cubiceAlegeți ca factor suplimentar pătratul incomplet al diferenței dacă numitorul conține o sumă și, în consecință, pătratul incomplet al sumei pentru diferența rădăcinilor: a/(?b ± ?c) ? a (?b? ? ?(b c) + ?c?)/ ((?b ± ?c) ?b? ? ?(b c) + ?c?) ?a (?b? ? ?(b c) + ? c?)/(b ± c).Exemplul 4: 7/(?5 + ?4) ? 7 (?25-?20 +?16)/9.
7. Dacă problema conține atât o rădăcină pătrată, cât și o rădăcină cubică, atunci împărțiți soluția în două etape: deduceți treptat rădăcina pătrată de la numitor și apoi rădăcina cubică. Acest lucru se face conform metodelor deja cunoscute de tine: în prima acțiune trebuie să alegi multiplicatorul diferenței/sumei rădăcinilor, în a doua - pătratul incomplet al sumei/diferenței.
Sfat 2: Cum să scapi de iraționalitatea la numitor
Notația corectă pentru un număr fracționar nu conține iraţionalitate V numitor. O astfel de notație este mai ușor de înțeles în aparență, prin urmare, când iraţionalitate V numitor Este inteligent să scapi de el. În acest caz, iraționalitatea poate deveni numărător.
Instrucţiuni
1. Pentru început, să ne uităm la un exemplu primitiv - 1/sqrt(2). Rădăcina pătrată a lui 2 este un număr irațional în numitor.În acest caz, trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu numitorul acesteia. Acest lucru va oferi un număr rezonabil în numitor. Într-adevăr, sqrt(2)*sqrt(2) = sqrt(4) = 2. Înmulțirea a 2 rădăcini pătrate identice una cu alta va avea ca rezultat ceea ce este sub toate rădăcinile: în acest caz, rezultatul este: 1/. sqrt(2) = (1*sqrt(2))/(sqrt(2)*sqrt(2)) = sqrt(2)/2. Acest algoritm este potrivit și pentru fracții, în numitor căruia rădăcina este înmulțită cu un număr rezonabil. Numătorul și numitorul în acest caz trebuie înmulțite cu rădăcina situată în numitor.Exemplu: 1/(2*sqrt(3)) = (1*sqrt(3))/(2*sqrt(3)*sqrt(3)) = sqrt(3)/(2*3) = sqrt( 3)/6.
2. Desigur, așa ceva ar trebui făcut dacă numitor Nu rădăcina pătrată se găsește, ci, să zicem, rădăcina cubică sau orice alt grad. Înrădăcinați numitor este necesar să se înmulțească exact cu aceeași rădăcină, iar numărătorul este, de asemenea, înmulțit cu aceeași rădăcină. Apoi rădăcina va intra în numărător.
3. Într-un caz mai dificil în numitor există o sumă sau o diferență a unui număr irațional și a unui număr rezonabil sau a 2 numere iraționale În cazul sumei (diferenței) a 2 rădăcini pătrate sau a unei rădăcini pătrate și a unui număr rezonabil, puteți folosi celebra formulă (x+y). )(x-y) = (x^2 )-(y^2). Te va ajuta să scapi de iraţionalitate V numitor. Dacă în numitor diferență, atunci trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul cu suma acelorași numere, dacă suma - atunci cu diferența. Această sumă sau diferență înmulțită va fi numită conjugată la expresia în numitor.Rezultatul acestei scheme este clar vizibil în exemplu: 1/(sqrt(2)+1) = (sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1)(sqrt(2)-1) = (sqrt(2 )-1)/((sqrt(2)^2)-(1^2)) = (sqrt(2)-1)/(2-1) = sqrt(2)-1.
4. Dacă în numitor există o sumă (diferență) în care este prezentă o rădăcină de un grad mai mare, atunci situația devine nebanală și eliberarea de iraţionalitate V numitor nu este invariabil acceptabil
Sfatul 3: Cum să te eliberezi de iraționalitate în numitorul unei fracții
O fracție este formată dintr-un numărător, situat în partea de sus a liniei, și un numitor, cel pe care îl împarte, situat în partea de jos. Un număr irațional este un număr care nu poate fi reprezentat sub formă fractii cu un număr întreg în numărător și un număr natural în numitor. Astfel de numere sunt, să zicem, rădăcina pătrată a lui 2 sau pi. În mod tradițional, când se vorbește despre iraționalitate în numitor, rădăcina este implicită.
Instrucţiuni
1. Eliminați iraționalitatea înmulțind cu numitorul. În acest fel, iraționalitatea va fi transferată la numărător. Când înmulțiți numărătorul și numitorul cu același număr, valoarea fractii nu se schimba. Utilizați această opțiune dacă fiecare numitor este o rădăcină.
2. Înmulțiți numărătorul și numitorul cu numitorul de numărul necesar de ori, în funcție de rădăcină. Dacă rădăcina este pătrată, atunci o dată.
3. Luați în considerare exemplul rădăcinii pătrate. Luați fracția (56-y)/√(x+2). Are un numărător (56-y) și un numitor irațional √(x+2), care este rădăcina pătrată.
4. Înmulțiți numărătorul și numitorul fractii la numitor, adică la √(x+2). Exemplul original (56-y)/√(x+2) va deveni ((56-y)*√(x+2))/(√(x+2)*√(x+2)). Rezultatul va fi ((56-y)*√(x+2))/(x+2). Acum rădăcina este în numărător și în numitor nu există iraționalitate.
5. Nu invariabil numitorul fractii fiecare este sub rădăcină. Scăpați de iraționalitate folosind formula (x+y)*(x-y)=x²-y².
6. Luați în considerare un exemplu cu fracția (56-y)/(√(x+2)-√y). Numitorul său irațional conține diferența de 2 rădăcini pătrate. Completați numitorul pentru a forma (x+y)*(x-y).
7. Înmulțiți numitorul cu suma rădăcinilor. Înmulțiți numărătorul cu același pentru a obține valoarea fractii nu s-a schimbat. Fracția va lua forma ((56-y)*(√(x+2)+√y))/((√(x+2)-√y)*(√(x+2)+√y) ).
8. Profitați de proprietatea de mai sus (x+y)*(x-y)=x²-y² și eliberați numitorul de iraționalitate. Rezultatul va fi ((56-y)*(√(x+2)+√y))/(x+2-y). Acum rădăcina este în numărător, iar numitorul a scăpat de iraționalitate.
9. În cazurile dificile, repetați ambele opțiuni, folosind dacă este necesar. Rețineți că nu este întotdeauna posibil să scăpați de iraționalitate în numitor .
O fracție algebrică este o expresie de forma A/B, unde literele A și B reprezintă orice expresie numerică sau literă. Adesea, numărătorul și numitorul din fracțiile algebrice au o formă masivă, dar operațiile cu astfel de fracții ar trebui să se facă după aceleași reguli ca și acțiunile cu cele obișnuite, unde numărătorul și numitorul sunt numere întregi pozitive.
Instrucţiuni
1. Dacă se administrează amestecat fractii, convertiți-le în fracții neregulate (o fracție în care numărătorul este mai mare decât numitorul): înmulțiți numitorul cu întreaga parte și adăugați numărătorul. Deci numărul 2 1/3 se va transforma în 7/3. Pentru a face acest lucru, înmulțiți 3 cu 2 și adăugați unul.
2. Dacă trebuie să convertiți o fracție zecimală într-o fracție improprie, gândiți-vă la împărțirea unui număr fără virgulă la unu cu atâtea zerouri câte numere sunt după virgulă. Să presupunem, imaginați-vă numărul 2,5 ca 25/10 (dacă îl scurtați, obțineți 5/2), iar numărul 3,61 - ca 361/100. Operați cu fracții improprii adesea mai ușor decât cu cele mixte sau zecimale.
3. Dacă fracțiile au numitori identici și trebuie să le adunați, atunci pur și simplu adăugați numărătorii; numitorii rămân neschimbați.
4. Dacă trebuie să scădeți fracții cu numitori identici, scădeți numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei fracții. Numitorii nici nu se schimbă.
5. Dacă trebuie să adunați fracții sau să scădeți o fracție dintr-o alta și au numitori diferiți, reduceți fracțiile la toate numitor comun. Pentru a face acest lucru, găsiți un număr care va fi cel mai mic multiplu universal (LCM) al ambilor numitori sau mai mulți dacă fracțiile sunt mai mari decât 2. LCM este un număr care va fi împărțit în numitorii tuturor fracțiilor date. De exemplu, pentru 2 și 5 acest număr este 10.
6. După semnul egal, trageți o linie orizontală și scrieți acest număr (NOC) la numitor. Adăugați factori suplimentari la întregul termen - numărul cu care trebuie să înmulțiți atât numărătorul, cât și numitorul pentru a obține LCM. Înmulțiți numărătorii pas cu pas cu factori suplimentari, păstrând semnul adunării sau scăderii.
7. Calculați totalul, reduceți-l dacă este necesar sau selectați întreaga parte. De exemplu, trebuie să-l pliezi? Şi?. LCM pentru ambele fracții este 12. Atunci factorul suplimentar pentru prima fracție este 4, pentru a 2-a fracție - 3. Total: ?+?=(1·4+1·3)/12=7/12.
8. Dacă este dat un exemplu pentru înmulțire, înmulțiți împreună numărătorii (acesta va fi numărătorul totalului) și numitorii (acesta va fi numitorul totalului). În acest caz, nu este nevoie să le reduceți la un numitor comun.
9. Pentru a împărți o fracție la o fracție, trebuie să întoarceți a doua fracție cu susul în jos și să înmulțiți fracțiile. Adică a/b: c/d = a/b · d/c.
10. Factorizați numărătorul și numitorul după cum este necesar. De exemplu, mutați factorul universal din paranteză sau extindeți-l conform formulelor de înmulțire abreviate, astfel încât după aceasta să puteți reduce, dacă este necesar, numărătorul și numitorul cu GCD - divizorul universal minim.
Fiţi atenți!
Adăugați numere cu cifre, litere de același fel cu litere de același fel. Să presupunem că este imposibil să adăugați 3a și 4b, ceea ce înseamnă că suma sau diferența lor va rămâne la numărător - 3a±4b.
În viața de zi cu zi, numerele false sunt mai frecvente: 1, 2, 3, 4 etc. (5 kg de cartofi) și numere fracționate, neîntregi (5,4 kg de ceapă). Multe dintre ele sunt prezentate în formă zecimale. Dar reprezentați fracția zecimală în formă fractii destul de usor.
Instrucţiuni
1. Să presupunem că este dat numărul „0,12”. Dacă nu reduceți această fracție zecimală și o prezentați așa cum este, atunci va arăta astfel: 12/100 („douăsprezece sutimi”). Pentru a scăpa de o sută la numitor, trebuie să împărțiți atât numărătorul, cât și numitorul cu un număr care le împarte în numere întregi. Acest număr este 4. Apoi, împărțind numărătorul și numitorul, obținem numărul: 3/25.
2. Dacă ne uităm mai mult la viața de zi cu zi, putem vedea adesea pe eticheta de preț a produselor că greutatea acestuia este, de exemplu, de 0,478 kg sau așa mai departe. Acest număr este, de asemenea, ușor de imaginat formă fractii:478/1000 = 239/500. Această fracție este destul de urâtă și, dacă ar exista o probabilitate, atunci această fracție zecimală ar putea fi redusă și mai mult. Și toate în același mod: selectarea unui număr care împarte atât numărătorul, cât și numitorul. Acest număr este numit cel mai mare factor universal. Factorul este numit „cel mai mare” deoarece este mult mai convenabil să împărțiți imediat atât numărătorul, cât și numitorul cu 4 (ca în primul exemplu) decât să îl împărțiți de două ori la 2.
Video pe tema
Zecimal fracţiune– varietate fractii, care are un număr „rotund” la numitor: 10, 100, 1000 etc., Să spunem, fracţiune 5/10 are notația zecimală de 0,5. Pe baza acestei teze, fracţiune poate fi reprezentat ca o zecimală fractii .
Instrucţiuni
1. Posibil, trebuie reprezentat ca zecimală fracţiune 18/25 Mai întâi, trebuie să vă asigurați că unul dintre numerele „rotunde” apare la numitor: 100, 1000 etc. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți numitorul cu 4. Dar va trebui să înmulțiți atât numărătorul, cât și numitorul cu 4.
2. Înmulțirea numărătorului și numitorului fractii 18/25 cu 4, rezultă 72/100. Aceasta este înregistrată fracţiune sub formă zecimală: 0,72.
La împărțirea a 2 fracții zecimale, când nu există un calculator la îndemână, mulți întâmpină unele dificultăți. Nu este nimic dificil aici. Zecimal fractii sunt numite astfel dacă numitorul lor are un număr care este un multiplu de 10. Ca de obicei, astfel de numere sunt scrise pe o singură linie și au o virgulă care separă partea fracțională de întreg. Aparent, din cauza prezenței unei părți fracționale, care diferă și în numărul de cifre după virgulă zecimală, pentru mulți nu este clar cum să efectueze operații matematice cu astfel de numere fără un calculator.
vei avea nevoie
- coală de hârtie, creion
Instrucţiuni
1. Se pare că, pentru a împărți o fracție zecimală la alta, trebuie să vă uitați la ambele numere și să determinați care dintre ele are mai multe cifre după virgulă. Înmulțim ambele numere cu un număr care este multiplu de 10, adică. 10, 1000 sau 100000, numărul de zerouri în care este egal cu numărul mai mare de cifre după virgulă zecimală a unuia dintre cele 2 numere inițiale ale noastre. Acum ambele sunt zecimale fractii transformate în numere întregi obișnuite. Luați o foaie de hârtie cu un creion și separați cele două numere rezultate cu un „colț”. Obținem rezultatul.
2. Să presupunem că trebuie să împărțim numărul 7,456 la 0,43. Primul număr are mai multe zecimale (3 zecimale), prin urmare înmulțim ambele numere cu nu 1000 și obținem două numere întregi primitive: 7456 și 430. Acum împărțim 7456 la 430 cu un „colț” și obținem asta dacă se împarte 7,456. până la 0,43 va ieși aproximativ 17,3.
3. Există o altă metodă de împărțire. Scrierea zecimalelor fractii sub formă de fracții primitive cu numărător și numitor, pentru cazul nostru acestea sunt 7456/1000 și 43/100. Mai târziu, notăm expresia pentru împărțirea a 2 fracții primitive: 7456*100/1000*43, după care reducem zecile, obținem: 7456/10*43 = 7456/430 În rezultatul final obținem din nou împărțirea lui 2 numere primitive 7456 și 430, care pot fi produse cu un „colț”.
Video pe tema
Sfaturi utile
Astfel, modalitatea de împărțire a fracțiilor zecimale este reducerea acestora la numere întregi, cu suportul înmulțirii fiecăreia dintre ele cu același număr. Efectuarea operațiunilor cu numere întregi, ca de obicei, nu provoacă dificultăți nimănui.
Video pe tema
Tokarev Kirill
Lucrarea vă ajută să învățați cum să extrageți rădăcina pătrată a oricărui număr fără a utiliza un calculator și un tabel de pătrate și să eliberați numitorul unei fracții de iraționalitate.
Eliberându-te de iraționalitatea numitorului unei fracții
Esența metodei este înmulțirea și împărțirea unei fracții printr-o expresie care va elimina iraționalitatea (rădăcinile pătrate și cubice) de la numitor și o va simplifica. După aceasta, este mai ușor să reduceți fracțiile la un numitor comun și, în final, să simplificați expresia originală.
Extragerea rădăcinii pătrate cu aproximarea la o cifră dată.
Să presupunem că trebuie să extragem rădăcina pătrată a numărului natural 17358122 și se știe că rădăcina poate fi extrasă. Pentru a găsi rezultatul, uneori este convenabil să folosiți regula descrisă în lucrare.
Descărcați:
Previzualizare:
Pentru a utiliza previzualizarea, creați un cont ( cont) Google și conectați-vă: https://accounts.google.com
Previzualizare:
Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați un cont Google și conectați-vă la el: https://accounts.google.com
Subtitrările diapozitivelor:
Radical. Eliberându-te de iraționalitatea numitorului unei fracții. Extrageți rădăcina pătrată cu un anumit grad de precizie. Elev din clasa 9B a școlii secundare nr. 7 a instituției de învățământ municipal, Salsk Kirill Tokarev
ÎNTREBARE FUNDAMENTALĂ: Este posibil să extragem rădăcina pătrată a oricărui număr cu un anumit grad de acuratețe, fără a avea un calculator și un tabel de pătrate?
SCOPURI ȘI OBIECTIVE: Luați în considerare cazuri de rezolvare a expresiilor cu radicali care nu sunt studiate la cursul de matematică din școală, dar sunt necesare pentru Examenul de stat unificat.
ISTORIA RĂDĂCINII Semnul rădăcinii provine din litera latină minusculă r (inițială în cuvântul latin radix - rădăcină), topită cu un superscript. Pe vremuri, sublinierea unei expresii era folosită în loc de parantezele actuale, deci este doar un mod antic modificat de a scrie ceva de genul. Această notație a fost folosită pentru prima dată de matematicianul german Thomas Rudolf în 1525.
LIBERTATEA DE IRAȚIONALITATE A DENOMINATORULUI FRACTIUNII Esența metodei este înmulțirea și împărțirea unei fracții printr-o expresie care va elimina iraționalitatea (rădăcinile pătrate și cubice) din numitor și o va simplifica. După aceasta, este mai ușor să reduceți fracțiile la un numitor comun și, în final, să simplificați expresia originală. ALGORITM DE ELIBERARE DIN IRAȚIONALITATE ÎN DENOMINATORUL FRACȚIEI: 1. Împărțiți numitorul fracției în factori. 2. Dacă numitorul are forma sau conține un factor, atunci numărătorul și numitorul trebuie înmulțiți cu. Dacă numitorul este de forma sau sau conține un factor de acest tip, atunci numărătorul și numitorul fracției trebuie înmulțite cu sau, respectiv, cu. Numerele se numesc conjugate. 3. Convertiți numărătorul și numitorul fracției, dacă este posibil, apoi reduceți fracția rezultată.
a) b) c) d) = - Eliberarea de iraţionalitate în numitorul fracţiei.
EXTRAGEREA RĂDĂCINII PĂTRATATE CU APROPIEREA UNEI CIFRE SPECIFICATE. 1) -1 100 96 400 281 11900 11296 24 4 281 1 2824 4 16 135 81 5481 4956 52522 49956 81 1 826 6 826 6 826 826 81 1 826 6 826 6 82) Metoda Ancient Baby: 6 82) Ancient: Găsiți 6 83) Pentru a rezolva problema, acest număr se descompune în suma a doi termeni: 1700 = 1600 + 100 = 40 2 + 100, primul dintre care este un pătrat perfect. Apoi aplicăm formula. Mod algebric:
EXTRAGEREA RĂDĂCINII PĂTRATATE CU APROPIEREA UNEI CIFRE SPECIFICATE. , 4 16 8 . 1 1 1 3 5 1 8 1 5 4 8 1 8 2 + 66 4 9 5 6 6 5 2 5 2 2 + 8 3 2 66 4 9 9 5 6 6 + 8 3 3 2 33 2 5 6 6 0 0 3
Referințe 1. Culegere de probleme de matematică pentru cei care intră în universități, editată de M.I. V. K. Egerev, B. A. Kordemsky, V. V. Zaitsev, „ONICS 21st century”, 2003. 2. Algebră și funcții elementare. R. A. Kalnin, „Știință”, 1973 3. Matematică. Materiale de referință. V. A. Gusev, A. G. Mordkovich, editura „Prosveshcheniye”, 1990. 4. Scolari despre matematica si matematicieni. Compilat de M.M. Liman, Enlightenment, 1981.
Să luăm în considerare o problemă din algebra polinoamelor.
Problema 4.1
Fie a rădăcina polinomului x 3 + 6x - 3. Trebuie să ne eliberăm de iraționalitatea algebrică în numitorul fracției
Aceste. reprezentați fracția ca polinom într-un cu rațional
cote de numerar.
Soluţie. Numitorul unei fracții este valoarea de la O polinom fix) =x 2 + 5, și polinomul minim al elementului algebric O este f(x) =x 3 + 6x- 3,întrucât acest polinom este ireductibil asupra câmpului Q (după criteriul Eisenstein pentru un prim p = 3). Să găsim NODO 3 + 6x - 3, x 2 + 5) s folosind algoritmul euclidian:
Să generalizăm situația și să luăm în considerare problema generală.
Problema eliberării de iraționalitatea algebrică în numitorul unei fracții
Fie a o iraționalitate algebrică asupra unui câmp P cu mi-
, . „ a k a k +a k _,a k ~ l-f-. + aia + Oo
polinomul minim FOO și B = - - 1
b t a t +bro-ioc" 1 - 1 +... + bja +b 0
unde coeficienții polinoamelor din numărătorul și numitorul fracției aparțin câmpului R. Eliberați-vă de iraționalitatea algebrică în numitorul fracției, adică. prezent (3 sub forma
unde coeficienții aparțin câmpului R.
Soluţie. Să notăm /)*) = b nl x" + b m _ 1 x nl_1 +... + b) x + b 0și y =/(a). Din moment ce ^ 0, apoi prin proprietatea polinomului minim gcd(/(x), φ(x)) = 1. Folosind algoritmul euclidian, găsim polinoamele u(x) și v(x) astfel încât f(x) și(x) + f(x)y(x) = 1. Prin urmare, Da) și (a) + f(a)y(a) = 1, iar din moment ce f(a) = 0, atunci Da)u(a) = 1. Prin urmare, înmulțind numărătorul și numitorul acestei fracții cu c(a), obținem unul în numitorul și problema rezolvată.
Rețineți că metoda generală de eliberare de iraționalitatea algebrică în numitorul unei fracții în cazul complexului a + S
numere - duce la procedura binecunoscută de înmulțire a numerelor -
numitorul și numitorul după numărul conjugat al numitorului.
Excursie istorică
Existența numerelor transcendentale peste câmpul Q a fost descoperită pentru prima dată de J. Liouville (1809-1882) în lucrările sale din 1844 și 1851. Unul dintre numerele transcendentale ale lui Liouville este numărul
C. Ermit (1822-
a= U--. Notație zecimală = 0D100010..
cl 10*
1901) a demonstrat transcendența numărului e în 1873, iar K. F. Lindemann (1852-1939) a demonstrat transcendența numărului în 1882 p. Aceste rezultate nu au fost obținute ușor. În același timp, destul de simplu, G. Cantor (1845-1918) a demonstrat că există „semnificativ mai multe” numere transcendentale decât cele algebrice: există „același număr” de numere transcendentale, precum sunt toate numerele reale, în timp ce există „același număr” de numere algebrice câte toți numere naturale. Mai precis, mulțimea numerelor algebrice este numărabilă, iar mulțimea numerelor transcendentale este nenumărabilă. Dovada acestui fapt, deși stabilește existența numerelor transcendentale, nu oferă o rețetă pentru obținerea vreunuia dintre ele. Teoremele de existență de acest fel sunt extrem de importante în matematică deoarece insuflă încredere în succesul căutării unui obiect a cărui existență a fost dovedită. În același timp, există o direcție în matematică ai cărei reprezentanți nu recunosc teoreme de existență pură, numindu-le neconstructive. Cei mai proeminenți dintre acești reprezentanți sunt L. Kronecker și J. Brouwer.
În 1900, la Congresul Mondial al Matematicienilor de la Paris, matematicianul german D. Hilbert (1862-1943) a formulat următoarea problemă 22: Care este natura numărului aP, unde a și (3 sunt numere algebrice, a ^ 0) , a ^ 1 și puterea numărului algebric (3 nu este mai mică de 2? A. O. Gelfond (1906-1968) a demonstrat că astfel de numere sunt transcendentale. Rezultă, în special, că numerele 2^, 3 r sunt transcendentale.
Conversia expresiilor care conțin rădăcini pătrate aritmetice
Obiectivul lecției: crearea condițiilor pentru formarea deprinderilor, simplificarea expresiilor care conțin rădăcini pătrate aritmetice în timpul lucrului în grupe de ture.
Obiectivele lecției: testați pregătirea teoretică a elevilor, capacitatea de a extrage rădăcina pătrată a unui număr, dezvoltarea abilităților de a reproduce corect cunoștințele și abilitățile lor, dezvoltarea abilităților de calcul, cultivarea capacității de a lucra în perechi și responsabilitatea pentru o cauză comună.
Progresul lecției.
eu. Moment organizatoric. "TABEL DE PREGĂTIRE”
Stabilirea nivelului de pregătire pentru începutul lecției.
25 de cărți roșii (5 puncte), galbene (4 puncte), albastre
culori (3 puncte).
Tabelul de pregătire
5 puncte (vreau să știu, să fac, să decid)
4 puncte (sunt gata de lucru)
3 puncte (nu mă simt bine, nu înțeleg materialul, am nevoie de ajutor)
II . Lucru individual folosind carduri
Cardul 1
Scoateți multiplicatorul de sub semnul rădăcină:
Cardul 2
Introduceți multiplicatorul sub semnul rădăcină:
Cardul 3
Simplifica:
O)
b)
V)
(Verifică după verificarea temelor)
III . Verificarea temelor.
nr. 166, 167 frontal oral
(autoevaluare folosind carduri de semnalizare: verde - totul este corect, roșu - există o eroare)
IV . Învățarea de materiale noi. Lucrați în grupuri de ture.
Studiați materialul în mod independent, astfel încât apoi să îl puteți explica membrilor grupului. Clasa este împărțită în 6 grupe a câte 4 persoane.
Grupele 1, 2 și 3 – elevi cu abilități medii
Cum să scapi de iraționalitate în numitorul unei fracții? Să luăm în considerare cazul general și exemplele specifice.
Dacă numărul sau expresia de sub semnul rădăcinii pătrate în numitor este unul dintre factori, pentru a scăpa de iraționalitatea în numitor, înmulțim atât numărătorul, cât și numitorul fracției cu rădăcina pătrată a acestui număr sau expresie:
Exemple.
1) ;
2) .
Grupele 4, 5 și 6 – elevi cu abilități peste medie.
Dacă numitorul unei fracții este suma sau diferența a două expresii care conțin o rădăcină pătrată, pentru a scăpa de iraționalitatea în numitor, înmulțim atât numărătorul, cât și numitorul cu radicalul conjugat:
Exemple. Eliberați-vă de iraționalitate în numitorul unei fracții:
Lucrați în grupuri noi (4 grupuri de 6 persoane, 1 persoană din fiecare grup).
Explicarea materialelor învățate membrilor grup nou. (evaluare de la egal la egal – comentează explicația elevului asupra materialului)
V . Verificarea asimilării materialului teoretic.Elevii răspund la întrebări fără a explica această parte a materialului teoretic.
1) Cum să scapi de iraționalitatea la numitorul unei fracții dacă numărul sau expresia de sub semnul rădăcinii pătrate din numitor este unul dintre factori?
2) Cum să scapi de iraționalitate în numitorul unei fracții, dacă numitorul fracției este suma sau diferența a două expresii care conțin o rădăcină pătrată?
3) cum să scapi de iraționalitate în numitorul unei fracții
4) Cum să scapi de iraționalitate în numitorul unei fracții
VI . Consolidarea materialului studiat. Munca de autotestare.
Nr. 81 („Algebră” clasa a VIII-a, A. Abylkasymova, I. Bekboev, A. Abdiev, Z. Zhumagulova)
Nr. 170 (1,2,3,5,6) („Algebră” clasa a VIII-a, A. Shynybekov)
Criterii de evaluare:
Nivel A – nr. 81 exemple 1-5 nota „3”
Nivelul B – nr. 81 exemple 6-8 și nr. 170 exemple 5,6 nota „4”
Nivel C – nr. 170 exemple 1-6 nota „5”
(autoevaluare, testare folosind un eșantion pe flipchart)
VII . Teme pentru acasă.
№ 218
VIII. Reflecţie. "Telegramă"
Toată lumea este rugată să completeze un formular de telegramă, primind următoarele instrucțiuni: „Ce părere aveți despre ultima lecție? Ce a fost important pentru tine? Ce ai invatat? ce ti-a placut? Ce rămâne neclar? În ce direcție ar trebui să mergem înainte? Vă rog să-mi scrieți un mesaj scurt despre asta – o telegramă de 11 cuvinte. Vreau să vă cunosc părerea pentru a putea lua în considerare în lucrările viitoare.”
Rezumatul lecției.