Subiectul lecției
- Proprietățile diagonalelor unui paralelogram.
Obiectivele lecției
- Familiarizați-vă cu definiții noi și amintiți-vă de unele deja studiate.
- Precizați și demonstrați proprietatea diagonalelor unui paralelogram.
- Învață să aplici proprietățile formelor atunci când rezolvi probleme.
- Dezvoltare – pentru a dezvolta atenția elevilor, perseverența, perseverența, gândire logică, discurs matematic.
- Educațional - prin lecție, cultivați o atitudine atentă unul față de celălalt, insuflați capacitatea de a asculta tovarășii, asistența reciprocă și independența.
Obiectivele lecției
- Testați abilitățile elevilor de rezolvare a problemelor.
Planul de lecție
- Observații de deschidere.
- Repetarea materialului studiat anterior.
- Paralelogramul, proprietățile și caracteristicile sale.
- Exemple de sarcini.
- Autoverificare.
Introducere
„O descoperire științifică majoră oferă o soluție la o problemă majoră, dar în soluționarea oricărei probleme există un sâmbure de descoperire.”
Proprietatea laturilor opuse ale unui paralelogram
Un paralelogram are laturile opuse care sunt egale.
Dovada.
Fie ABCD paralelogramul dat. Și lăsați diagonalele sale să se intersecteze în punctul O.
Deoarece Δ AOB = Δ COD după primul criteriu de egalitate a triunghiurilor (∠ AOB = ∠ COD, ca verticale, AO=OC, DO=OB, prin proprietatea diagonalelor unui paralelogram), atunci AB=CD. În același mod, din egalitatea triunghiurilor BOC și DOA rezultă că BC = DA. Teorema a fost demonstrată.
Proprietatea unghiurilor opuse ale unui paralelogram
Într-un paralelogram, unghiurile opuse sunt egale.
Dovada.
Fie ABCD paralelogramul dat. Și lăsați diagonalele sale să se intersecteze în punctul O.
Din ceea ce s-a demonstrat în teorema despre proprietățile laturilor opuse ale unui paralelogram Δ ABC = Δ CDA pe trei laturi (AB=CD, BC=DA din cele dovedite, AC – general). Din egalitatea triunghiurilor rezultă că ∠ ABC = ∠ CDA.
De asemenea, se demonstrează că ∠ DAB = ∠ BCD, care rezultă din ∠ ABD = ∠ CDB. Teorema a fost demonstrată.
Proprietatea diagonalelor unui paralelogram
Diagonalele unui paralelogram se intersectează și sunt bisectate în punctul de intersecție.
Dovada.
Fie ABCD paralelogramul dat. Să desenăm diagonala AC. Să marchem pe el mijlocul O. În continuarea segmentului DO, vom lăsa deoparte segmentul OB 1 egal cu DO.
După teorema anterioară, AB 1 CD este un paralelogram. Prin urmare, linia AB 1 este paralelă cu DC. Dar prin punctul A se poate trasa o singură linie paralelă cu DC. Aceasta înseamnă că linia AB 1 coincide cu dreapta AB.
De asemenea, se dovedește că BC 1 coincide cu BC. Aceasta înseamnă că punctul C coincide cu C 1. paralelogramul ABCD coincide cu paralelogramul AB 1 CD. În consecință, diagonalele paralelogramului se intersectează și sunt bisectate în punctul de intersecție. Teorema a fost demonstrată.
În manualele școlilor obișnuite (de exemplu, în Pogorelovo) se dovedește astfel: diagonalele împart un paralelogram în 4 triunghiuri. Să luăm în considerare o pereche și să aflăm - sunt egale: bazele lor sunt laturi opuse, unghiurile corespunzătoare adiacente acesteia sunt egale, ca unghiurile verticale cu linii paralele. Adică, segmentele diagonalelor sunt egale în perechi. Toate.
Asta e tot?
S-a dovedit mai sus că punctul de intersecție traversează diagonalele - dacă există. Raționamentul de mai sus nu dovedește în niciun fel însăși existența lui. Adică, o parte a teoremei „diagonalele unui paralelogram se intersectează” rămâne nedovedită.
Lucrul amuzant este că această parte este mult mai greu de demonstrat. Aceasta rezultă, de altfel, dintr-un rezultat mai general: orice patrulater convex va avea diagonale care se intersectează, dar orice patrulater neconvex nu va avea.
Pe egalitatea triunghiurilor de-a lungul unei laturi și a două unghiuri adiacente (al doilea semn de egalitate a triunghiurilor) și altele.
Thales a găsit o teoremă importantă privind egalitatea a două triunghiuri de-a lungul unei laturi și a două unghiuri adiacente aplicare practică. Un telemetru a fost construit în portul Milet pentru a determina distanța până la o navă pe mare. Acesta a fost format din trei șuruburi antrenate A, B și C (AB = BC) și o linie dreaptă marcată SC, perpendiculară pe CA. Când o navă a apărut pe linia dreaptă SK, am găsit punctul D astfel încât punctele D, .B și E erau pe aceeași linie dreaptă. După cum reiese din desen, distanța CD la sol este distanța dorită până la navă.
Întrebări
- Diagonalele unui pătrat sunt împărțite la jumătate la punctul de intersecție?
- Diagonalele unui paralelogram sunt egale?
- Sunt unghiurile opuse ale unui paralelogram egale?
- Spuneți definiția paralelogramului?
- Câte semne de paralelogram?
- Poate un romb să fie un paralelogram?
Lista surselor utilizate
- Kuznetsov A.V., profesor de matematică (clasele 5-9), Kiev
- „Examenul de stat unificat 2006. Matematică. Materiale educaționale și de instruire pentru pregătirea elevilor / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
- Mazur K. I. „Rezolvarea principalelor probleme de concurs la matematică ale colecției editate de M. I. Skanavi”
- L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina „Geometrie, 7 – 9: manual pentru instituțiile de învățământ”
Am lucrat la lecție
Kuznetsov A.V.
Poturnak S.A.
Evgenii Petrov
Pune o întrebare despre învăţământul modern, exprimați o idee sau rezolvați o problemă presantă, puteți Forum educațional, unde un consiliu educațional de gândire și acțiune proaspătă se întrunește la nivel internațional. După ce a creat blog, Nu numai că îți vei îmbunătăți statutul de profesor competent, dar vei aduce și o contribuție semnificativă la dezvoltarea școlii viitorului. Breasla Liderilor Educaționali deschide porți specialiștilor de top și îi invită să coopereze în crearea celor mai bune școli din lume.
Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele în perechi. Următoarea figură prezintă paralelogramul ABCD. Are latura AB paralelă cu latura CD și latura BC paralelă cu latura AD.
După cum probabil ați ghicit, un paralelogram este un patrulater convex. Să luăm în considerare proprietățile de bază ale unui paralelogram.
Proprietățile unui paralelogram
1. Într-un paralelogram, unghiurile opuse și laturile opuse sunt egale. Să demonstrăm această proprietate - luați în considerare paralelogramul prezentat în figura următoare.
Diagonala BD îl împarte în două triunghiuri egale: ABD și CBD. Ele sunt egale de-a lungul laturii BD și a celor două unghiuri adiacente acesteia, deoarece unghiurile situate transversal la secanta BD a dreptelor paralele BC și AD și, respectiv, AB și CD. Prin urmare AB = CD și
BC = AD. Și din egalitatea unghiurilor 1, 2, 3 și 4 rezultă că unghiul A = unghiul 1 + unghiul 3 = unghiul 2 + unghiul 4 = unghiul C.
2. Diagonalele unui paralelogram se împart la jumătate la punctul de intersecție. Fie punctul O punctul de intersecție al diagonalelor AC și BD ale paralelogramului ABCD.
Atunci triunghiul AOB și triunghiul COD sunt egali unul cu celălalt, de-a lungul laturii și a două unghiuri adiacente. (AB = CD, deoarece acestea sunt laturi opuse ale paralelogramului. Și unghiul1 = unghiul2 și unghiul3 = unghiul4 sunt ca niște unghiuri transversale atunci când dreptele AB și CD se intersectează cu secantele AC și respectiv BD.) De aici rezultă că AO = OC și OB = OD, care și trebuia dovedit.
Toate proprietățile principale sunt ilustrate în următoarele trei figuri.
În această secțiune ne uităm la paralelogramul obiectului geometric. Toate elementele unui paralelogram sunt moștenite dintr-un patrulater, așa că nu le vom lua în considerare. Dar proprietățile și caracteristicile merită o analiză detaliată. Ne vom uita la:
- Cum diferă un semn de o proprietate?
- Să ne uităm la proprietățile și caracteristicile de bază care sunt studiate în programul de clasa a VIII-a;
- Să formulăm două proprietăți suplimentare pe care le obținem la rezolvarea problemelor de suport.
2.1 Definiția unui paralelogram
Pentru a defini corect conceptele în geometrie, trebuie nu doar să le memorați, ci să înțelegeți cum sunt formate. În această chestiune, schemele de concepte generice ne ajută bine. Să vedem ce este.
Modulul nostru de formare se numește „Cadrilatere”, iar patrulaterul este un concept cheie în acest curs. Putem da următoarea definiție a unui patrulater:
Patrulater-Acest poligon, care are patru laturi și patru vârfuri.
În această definiție, conceptul generic va fi un poligon. Acum să definim un poligon:
Poligon numit simplu închis linie întreruptăîmpreună cu partea de plan pe care o delimitează.
Este clar că aici conceptul generic este conceptul de linie întreruptă. Dacă mergem mai departe, vom ajunge la conceptul de segment, iar apoi la conceptele finale de punct și dreaptă. În același mod, putem continua diagrama în jos:
Dacă cerem ca două laturi ale unui patrulater să fie paralele și două nu, atunci obținem o figură numită trapez.
Trapez – patrulater, în care două laturi sunt paralele și celelalte două nu sunt paralele.
Și în cazul în care toate laturile opuse sunt paralele, avem de-a face cu un paralelogram.
Paralelogram – patrulater, ale căror laturi opuse sunt paralele.
2.2 Proprietățile unui paralelogram
Proprietatea 1.Într-un paralelogram, laturile opuse sunt egale, iar unghiurile opuse sunt egale.
Să demonstrăm această proprietate.
Dat: ABCD este un paralelogram.
Dovedi:$\angle A = \angle C, \angle B = \angle D, AB = CD, AD = BC.$
Dovada:
Când demonstrăm proprietățile oricărui obiect geometric, ne amintim întotdeauna definiția acestuia. Aşa, paralelogram- un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele. Punctul cheie aici este paralelismul laturilor.
Să construim o secante pentru toate cele patru linii. Această secantă va fi diagonala BD.
Evident, trebuie să luăm în considerare unghiurile formate de dreptele transversale și paralele. Deoarece liniile sunt paralele, unghiurile care se află peste ele sunt egale.
Acum puteți vedea două triunghiuri egale conform celui de-al doilea semn.
Egalitatea triunghiurilor implică direct prima proprietate a unui paralelogram.
Proprietatea 2. Diagonalele unui paralelogram sunt împărțite la jumătate la punctul de intersecție.
Dat: ABCD- paralelogram.
Dovedi:$AO = OC, BO = OD.$
Dovada:
Logica demonstrației aici este aceeași ca și în proprietatea anterioară: paralelismul laturilor și egalitatea triunghiurilor. Primul pas al demonstrației este același ca și pentru prima proprietate.
Al doilea pas este de a demonstra egalitatea triunghiurilor prin al doilea criteriu. Vă rugăm să rețineți că egalitatea $BC=AD$ poate fi acceptată fără dovezi (folosind Proprietatea 1).
Din această egalitate rezultă că $AO = OC, BO = OD.$
2.3 Problema suport nr. 4 (Proprietatea unghiului dintre înălțimile unui paralelogram)
Dat: ABCD - paralelogram, B.K. Şi B.M. - înălțimea sa, $\angle KBM = 60^0$.
Găsi:$\unghi ABK$, $\unghi A$
Soluţie: Când începeți să rezolvați această problemă, trebuie să aveți în vedere următoarele:
înălțimea într-un paralelogram este perpendiculară pe ambele laturi opuse
De exemplu, dacă un segment $BM$ este desenat pe partea $DC$ și este înălțimea lui ($BM \perp DC$), atunci același segment va fi înălțimea pe partea opusă ($BM \perp BA$). Aceasta rezultă din paralelismul laturilor $AB \parallel DC$.
La rezolvarea acestei probleme, proprietatea pe care o obținem este valoroasă.
Proprietate suplimentară. Unghiul dintre altitudinile unui paralelogram trasat de la vârful său este egal cu unghiul de la vârful adiacent.
2.4 Problema suport nr. 5 (Proprietatea bisectoarei unui paralelogram)
Bisectoarea unghiului O paralelogram ABCD traversează lateral B.C. la punct L, AD=12 cm, AB = 10 cm. Aflați lungimea segmentului L.C..
Soluţie:
- $\angle 1 = \angle 2$ (AK - bisectoare);
- $\angle 2 = \angle 3$ (ca unghiuri transversale cu $AD \parallel BC$ si secanta AL);
- $\angle 1 = \angle 3$, $\bigtriangleup ABL -$ isoscel.
În cursul rezolvării problemei, am obținut următoarea proprietate:
Proprietate suplimentară. Bisectoarea unghiului unui paralelogram decupează un triunghi isoscel din acesta.
Pentru a determina dacă o anumită figură este un paralelogram, există un număr de semne. Să ne uităm la cele trei caracteristici principale ale unui paralelogram.
1 semn de paralelogram
Dacă două laturi ale unui patrulater sunt egale și paralele, atunci acest patrulater va fi un paralelogram.
Dovada:
Luați în considerare patrulaterul ABCD. Fie laturile AB și CD paralele. Și fie AB=CD. Să desenăm diagonala BD în ea. Acesta va împărți acest patrulater în două triunghiuri egale: ABD și CBD.
Aceste triunghiuri sunt egale între ele pe două laturi și unghiul dintre ele (BD este latura comună, AB = CD prin condiție, unghiul1 = unghiul2 ca unghiuri transversale cu BD transversală a dreptelor paralele AB și CD.) și, prin urmare, unghiul3 = unghi4.
Și aceste unghiuri vor fi încrucișate atunci când liniile BC și AD se intersectează cu secanta BD. De aici rezultă că BC și AD sunt paralele între ele. Avem că în patrulaterul ABCD laturile opuse sunt paralele la perechi și, prin urmare, patrulaterul ABCD este un paralelogram.
Semnul paralelogramului 2
Dacă într-un patrulater laturile opuse sunt egale în perechi, atunci acest patrulater va fi un paralelogram.
Dovada:
Luați în considerare patrulaterul ABCD. Să desenăm diagonala BD în ea. Acesta va împărți acest patrulater în două triunghiuri egale: ABD și CBD.
Aceste două triunghiuri vor fi egale între ele pe trei laturi (BD este latura comună, AB = CD și BC = AD după condiție). Din aceasta putem concluziona că unghi1 = unghi2. Rezultă că AB este paralel cu CD. Și întrucât AB = CD și AB este paralel cu CD, atunci conform primului criteriu al unui paralelogram, patrulaterul ABCD va fi un paralelogram.
Semnul 3 paralelogram
Dacă diagonalele unui patrulater se intersectează și sunt bisectate de punctul de intersecție, atunci acest patrulater va fi un paralelogram.
Luați în considerare patrulaterul ABCD. Să desenăm în el două diagonale AC și BD, care se vor intersecta în punctul O și sunt tăiate în două de acest punct.
Triunghiurile AOB și COD vor fi egale între ele, conform primului semn de egalitate al triunghiurilor. (AO = OC, BO = OD după condiție, unghiul AOB = unghiul COD ca unghiuri verticale.) Prin urmare, AB = CD și unghiul1 = unghiul 2. Din egalitatea unghiurilor 1 și 2, avem că AB este paralel cu CD. Atunci avem că în patrulaterul ABCD laturile AB sunt egale cu CD și paralele, iar după primul criteriu al unui paralelogram, patrulaterul ABCD va fi un paralelogram.
Definiţie
Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele în perechi.
Teorema (primul semn al paralelogramului)
Dacă două laturi ale unui patrulater sunt egale și paralele, atunci patrulaterul este un paralelogram.
Dovada
Fie laturile \(AB\) și \(CD\) să fie paralele în patrulaterul \(ABCD\) și \(AB = CD\) .
Să desenăm o diagonală \(AC\) care împarte acest patrulater în două triunghiuri egale: \(ABC\) și \(CDA\) . Aceste triunghiuri sunt egale în două laturi și unghiul dintre ele (\(AC\) este latura comună, \(AB = CD\) prin condiție, \(\angle 1 = \angle 2\) ca unghiuri transversale la intersecție de drepte paralele \ (AB\) și \(CD\) secante \(AC\) ), deci \(\angle 3 = \angle 4\) . Dar unghiurile \(3\) și \(4\) se află transversal la intersecția dreptelor \(AD\) și \(BC\) cu secantei \(AC\), prin urmare, \(AD\paralel BC \) . Astfel, în patrulaterul \(ABCD\) laturile opuse sunt paralele la perechi și, prin urmare, patrulaterul \(ABCD\) este un paralelogram.
Teorema (al doilea semn al paralelogramului)
Dacă într-un patrulater laturile opuse sunt egale în perechi, atunci acest patrulater este un paralelogram.
Dovada
Să desenăm o diagonală \(AC\) a acestui patrulater \(ABCD\) împărțindu-l în triunghiuri \(ABC\) și \(CDA\) .
Aceste triunghiuri sunt egale pe trei laturi (\(AC\) – comun, \(AB = CD\) și \(BC = DA\) după condiție), prin urmare \(\angle 1 = \angle 2\) – situat transversal la \(AB\) și \(CD\) și secante \(AC\) . Rezultă că \(AB\parallel CD\) . Deoarece \(AB = CD\) și \(AB\parallel CD\) , atunci conform primului criteriu al unui paralelogram, patrulaterul \(ABCD\) este un paralelogram.
Teorema (al treilea semn al paralelogramului)
Dacă diagonalele unui patrulater se intersectează și sunt bisectate de punctul de intersecție, atunci patrulaterul este un paralelogram.
Dovada
Considerăm un patrulater \(ABCD\) în care diagonalele \(AC\) și \(BD\) se intersectează în punctul \(O\) și sunt bisectate de acest punct.
Triunghiurile \(AOB\) și \(COD\) sunt egale conform primului semn de egalitate al triunghiurilor (\(AO = OC\), \(BO = OD\) după condiție, \(\angle AOB = \angle COD\) ca unghiuri verticale), deci \(AB = CD\) și \(\angle 1 = \angle 2\) . Din egalitatea unghiurilor \(1\) și \(2\) (încrucișat la \(AB\) și \(CD\) și secantei \(AC\) ) rezultă că \(AB\paralel CD \) .
Deci, în patrulaterul \(ABCD\) laturile \(AB\) și \(CD\) sunt egale și paralele, ceea ce înseamnă că, conform primului criteriu al unui paralelogram, patrulaterul \(ABCD\) este un paralelogram. .
Proprietățile unui paralelogram:
1. Într-un paralelogram, laturile opuse sunt egale și unghiurile opuse sunt egale.
2. Diagonalele unui paralelogram se împart la jumătate la punctul de intersecție.
Proprietățile bisectoarei unui paralelogram:
1. Bisectoarea unui paralelogram decupează un triunghi isoscel din acesta.
2. Bisectoarele unghiurilor adiacente ale unui paralelogram se intersectează în unghi drept.
3. Segmentele bisectoare ale unghiurilor opuse sunt egale și paralele.
Dovada
1) Fie \(ABCD\) un paralelogram, \(AE\) bisectoarea unghiului \(BAD\) .
Unghiurile \(1\) și \(2\) sunt egale, situate în cruce cu drepte paralele \(AD\) și \(BC\) și secantei \(AE\). Unghiurile \(1\) și \(3\) sunt egale, deoarece \(AE\) este o bisectoare. În cele din urmă \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2\), ceea ce înseamnă că triunghiul \(ABE\) este isoscel.
2) Fie \(ABCD\) un paralelogram, \(AN\) și \(BM\) fie bisectoarele unghiurilor \(BAD\) și respectiv \(ABC\).
Deoarece suma unghiurilor unilaterale pentru drepte paralele și transversală este egală cu \(180^(\circ)\), atunci \(\unghi DAB + \unghi ABC = 180^(\circ)\).
Deoarece \(AN\) și \(BM\) sunt bisectoare, atunci \(\angle BAN + \angle ABM = 0,5(\angle DAB + \angle ABC) = 0,5\cdot 180^\circ = 90^(\circ)\), unde \(\unghi AOB = 180^\circ - (\unghi BAN + \unghi ABM) = 90^\circ\).
3. Fie \(AN\) și \(CM\) bisectoarele unghiurilor paralelogramului \(ABCD\) .
Deoarece unghiurile opuse dintr-un paralelogram sunt egale, atunci \(\angle 2 = 0,5\cdot\angle BAD = 0,5\cdot\angle BCD = \angle 1\). În plus, unghiurile \(1\) și \(3\) sunt egale, situate în cruce cu drepte paralele \(AD\) și \(BC\) și secantei \(CM\), apoi \(\unghiul 2 = \angle 3\) , ceea ce implică faptul că \(AN\parallel CM\) . În plus, \(AM\parallel CN\) , atunci \(ANCM\) este un paralelogram, deci \(AN = CM\) .