Urmare

Urmare- Asta trusa elemente ale unui set:

• pentru fiecare număr natural se poate specifica un element dintr-o mulțime dată;
• acest număr este numărul elementului și indică poziția acestui element în succesiune;
• Pentru orice element (membru) al unei secvențe, puteți specifica următorul element al secvenței.

Deci secvența se dovedește a fi rezultatul consistent selectarea elementelor unei mulţimi date. Și, dacă orice set de elemente este finit și vorbim despre un eșantion de volum finit, atunci secvența se dovedește a fi un eșantion de volum infinit.

O secvență este prin natura sa o mapare, așa că nu trebuie confundată cu un set care „parcurge” secvența.

În matematică, sunt luate în considerare multe secvențe diferite:

• serii temporale atât de natură numerică cât și nenumerică;
• secvențe de elemente ale spațiului metric
• secvenţe de elemente funcţionale spaţiale
• secvențe de stări ale sistemelor și mașinilor de control.

Scopul studierii tuturor secvențelor posibile este de a căuta modele, de a prezice stări viitoare și de a genera secvențe.

Definiţie

Să fie dat un anumit set de elemente de natură arbitrară. | Orice mapare de la o mulțime de numere naturale la o mulțime dată este numită secvenţă(elementele setului).

Imaginea unui număr natural, și anume, elementul, se numește - th membru sau element de secvență, iar numărul ordinal al unui membru al secvenței este indicele acestuia.

Definiții înrudite

• Dacă luăm o succesiune crescătoare de numere naturale, atunci aceasta poate fi considerată ca o succesiune de indici ai unei anumite secvențe: dacă luăm elementele șirului inițial cu indicii corespunzători (luați din șirul crescător de numere naturale), atunci vom poate primi din nou o secvență numită ulterior secvență dată.

Comentarii

• În analiza matematică, un concept important este limita unei secvențe de numere.

Denumiri

Secvențe ale formei

Se obișnuiește să scrieți compact folosind paranteze:

sau

Bretele sunt uneori folosite:

Permițând o oarecare libertate de exprimare, putem lua în considerare și secvențe finite ale formei

,

care reprezintă imaginea segmentului iniţial al unei secvenţe de numere naturale.

Vezi de asemenea

Fundația Wikimedia.

2010.:

Sinonime

Vedeți ce este „Secvență” în alte dicționare:

SUBSECVENȚA. În articolul lui I.V Kireevsky „Secolul al XIX-lea” (1830) citim: „De la căderea Imperiului Roman până în vremurile noastre, iluminarea Europei ne apare într-o dezvoltare treptată și într-o succesiune neîntreruptă” (vol. 1, p. ... ... Istoria cuvintelor SECVENȚĂ, secvențe, plural. nu, femeie (carte). distras substantiv la secvenţial. O succesiune de evenimente. Consecvență în schimbarea valelor. Consecvență în raționament. Dicţionar Ushakova......

Dicționarul explicativ al lui Ushakov Constanta, continuitate, logica; rând, progresie, încheiere, serie, sfoară, viraj, lanț, lanț, cascadă, cursă de ștafetă; persistență, valabilitate, set, metodicitate, aranjament, armonie, tenacitate, succesiune, legătură, coadă,... ...

Dicţionar de sinonime SECVENȚA, numere sau elemente aranjate într-o manieră organizată. Secvențele pot fi finite (având un număr limitat de elemente) sau infinite, cum ar fi șirul complet de numere naturale 1, 2, 3, 4 ....... ...

Dicționar enciclopedic științific și tehnic SECVENȚA, un set de numere (expresii matematice etc.; se spune: elemente de orice natură), numerotate după numere naturale. Secvența este scrisă ca x1, x2,..., xn,... sau pe scurt (xi) ...

Enciclopedie modernă Unul dintre conceptele de bază ale matematicii. Secvența este formată din elemente de orice natură, numerotate cu numere naturale 1, 2, ..., n, ... și scrise ca x1, x2, ..., xn, ... sau pe scurt (xn) . ..

Urmare Dicţionar enciclopedic mare - SECVENȚA, un set de numere (expresii matematice etc.; se spune: elemente de orice natură), numerotate cu numere naturale. Secvența este scrisă ca x1, x2, ..., xn, ... sau pe scurt (xi). ...

Dicţionar Enciclopedic Ilustrat SECVENȚA și, feminin. 1. Vezi secvenţial. 2. La matematică: un set infinit ordonat de numere. Dicționarul explicativ al lui Ozhegov. SI. Ozhegov, N.Yu. Şvedova. 1949 1992...

Dicționarul explicativ al lui Ozhegov engleză succesiune/secventa; german Consequenz. 1. Ordinea unuia după altul. 2. Unul dintre conceptele de bază ale matematicii. 3. Calitatea este corectă gândire logică Enciclopedia Sociologiei

Urmare- „o funcție definită pe mulțimea numerelor naturale, a cărei mulțime de valori poate consta din elemente de orice natură: numere, puncte, funcții, vectori, mulțimi, variabile aleatoare etc., numerotate prin numere naturale. . Dicţionar economico-matematic

Cărți

• Construim o secvență. Pisicuțe. 2-3 ani. Jocul „Pisici”. Construim o secvență. Nivelul 1. Seria „Educația preșcolară”. Pisicile veseli au decis sa faca plaja pe plaja! Dar ei nu pot împărți locurile. Ajută-i să-și dea seama!…

Dacă o funcție este definită pe mulțimea numerelor naturale N, atunci o astfel de funcție se numește șir infinit de numere. De obicei, o secvență de numere este notată ca (Xn), unde n aparține mulțimii numerelor naturale N.

Secvența de numere poate fi specificată printr-o formulă. De exemplu, Xn=1/(2*n). Astfel, asociem fiecare numar natural n cu un anumit element al sirului (Xn).

Dacă acum luăm succesiv n egal cu 1,2,3, …., obținem șirul (Xn): ½, ¼, 1/6, …, 1/(2*n), …

Tipuri de succesiune

Secvența poate fi limitată sau nelimitată, crescătoare sau descrescătoare.

Secvența (Xn) apelează limitat, dacă există două numere m și M astfel încât pentru orice n aparținând mulțimii numerelor naturale, egalitatea m va fi valabilă<=Xn

Secvență (Xn), nefiind limitat, se numește șir nemărginit.

crescând, dacă pentru tot n natural este valabilă următoarea egalitate X(n+1) > Xn. Cu alte cuvinte, fiecare membru al secvenței, începând de la al doilea, trebuie să fie mai mare decât membrul anterior.

Se numește șirul (Xn). in scadere, dacă pentru tot n natural este valabilă următoarea egalitate X(n+1).< Xn. Иначе говоря, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть меньше предыдущего члена.

Exemplu de secvență

Să verificăm dacă secvențele 1/n și (n-1)/n sunt descrescătoare.

Dacă șirul este descrescător, atunci X(n+1)< Xn. Следовательно X(n+1) - Xn < 0.

X(n+1) - Xn = 1/(n+1) - 1/n = -1/(n*(n+1))< 0. Значит последовательность 1/n убывающая.

(n-1)/n:

X(n+1) - Xn =n/(n+1) - (n-1)/n = 1/(n*(n+1)) > 0. Aceasta înseamnă succesiunea (n-1)/n este în creștere.

Succesiunea numerică este o funcție numerică definită pe mulțimea numerelor naturale .

Dacă funcţia este definită pe mulţimea numerelor naturale
, atunci setul de valori ale funcției va fi numărabil și fiecare număr
se potrivește cu numărul
. În acest caz ei spun că este dat succesiune de numere. Se numesc numere elemente sau membrii unei secvențe și numărul – general sau -al-lea membru al secvenței. Fiecare element are un element ulterior
. Aceasta explică utilizarea termenului „secvență”.

Secvența este de obicei specificată fie prin enumerarea elementelor sale, fie prin indicarea legii după care se calculează elementul cu număr. , adică indicând formula acestuia al-lea membru .

Exemplu.Urmare
poate fi dat prin formula:
.

De obicei, secvențele sunt notate după cum urmează: etc., unde formula pentru aceasta este indicată între paranteze al-lea membru.

Exemplu.Urmare
‑aceasta este o secvență

Mulțimea tuturor elementelor unei secvențe
notat cu
.

Lasă
Şi
- două secvențe.

CU ummah secvente
Şi
numită succesiune
, Unde
, adica...

R diferenţă dintre aceste secvențe se numește șir
, Unde
, adica...

Dacă Şi ‑ constante, apoi succesiunea
,
numit combinație liniară secvente
Şi
, adică

Munca secvente
Şi
numită secvența cu al-lea membru
, adică
.

Dacă
, atunci putem determina privat
.

Suma, diferența, produsul și câtul de secvențe
Şi
sunt numiti algebriccompozitii.

Exemplu.Luați în considerare secvențele
Şi
, Unde. Apoi
, adică ulterior
are toate elementele egale cu zero.

,
, adică toate elementele produsului și ale coeficientului sunt egale
.

Dacă tăiați unele elemente ale secvenței
astfel încât să rămână un număr infinit de elemente, obținem o altă secvență numită ulterior secvente
. Dacă tăiați primele câteva elemente ale secvenței
, atunci noua secvență este numită restul.

Urmare
limitatmai sus(de jos), dacă setul
limitat de sus (de jos). Secvența este numită limitat, dacă este mărginit deasupra și dedesubt. O secvență este mărginită dacă și numai dacă oricare dintre resturile sale este mărginită.

Secvențe convergente

Ei spun asta ulterior
converge dacă există un număr astfel încât pentru oricine
exista asa ceva
asta pentru oricine
, inegalitatea este valabilă:
.

Număr numit limita secvenței
. În același timp, ei notează
sau
.

Exemplu.
.

Să arătăm asta
. Să setăm orice număr
. Inegalitate
efectuat pentru
, astfel încât
, că definiția convergenței este satisfăcută pentru număr
. Mijloace,
.

Cu alte cuvinte
înseamnă că toți membrii secvenței
cu numere suficient de mari difera putin de numarul , adică pornind de la un anumit număr
(dacă) elementele șirului sunt în interval
care se numeste – vecinătatea punctului .

Urmare
, a cărui limită este zero (
, sau
la
) se numește infinitezimal.

În legătură cu infinitezimale, următoarele afirmații sunt adevărate:

Suma a două infinitezimale este infinitezimală;

Produsul unei mărimi infinitezimale și unei mărimi finite este infinitezimal.

Teorema .În ordinea secvenței
avea o limită, era necesar și suficient pentru
, Unde – constantă; – infinitezimal .

Proprietățile de bază ale secvențelor convergente:

Proprietățile 3. și 4. sunt generalizate la cazul oricărui număr de secvențe convergente.

Rețineți că atunci când se calculează limita unei fracții al cărei numărător și numitor sunt combinații liniare de puteri , limita fracției este egală cu limita raportului dintre termenii conducători (adică termenii care conțin cele mai mari puteri numărător și numitor).

Urmare
numit:

Toate astfel de secvențe sunt numite monoton.

Teorema . Dacă succesiunea
crește monoton și este mărginit deasupra, apoi converge și limita sa este egală cu supremul său; dacă succesiunea este descrescătoare și mărginită mai jos, atunci converge către infimul său.

Matematica este știința care construiește lumea. Atât omul de știință, cât și omul de rând - nimeni nu se poate lipsi de el. În primul rând, copiii mici sunt învățați să numere, apoi să adună, să scadă, să înmulțească și să împartă liceu Desemnările literelor intră în joc, iar în jocul mai vechi nu te poți descurca fără ele.

Dar astăzi vom vorbi despre ce se bazează toată matematica cunoscută. Despre o comunitate de numere numită „limite de secvență”.

Ce sunt secvențele și unde este limita lor?

Sensul cuvântului „secvență” nu este greu de interpretat. Acesta este un aranjament de lucruri în care cineva sau ceva se află într-o anumită ordine sau coadă. De exemplu, coada pentru bilete la grădina zoologică este o secvență. Și poate fi doar unul! Dacă, de exemplu, te uiți la coada de la magazin, aceasta este o secvență. Și dacă o persoană din această coadă pleacă brusc, atunci aceasta este o altă coadă, o altă ordine.

Cuvântul „limită” este, de asemenea, ușor de interpretat - este sfârșitul a ceva. Cu toate acestea, în matematică, limitele secvențelor sunt acele valori de pe linia numerică către care tinde o secvență de numere. De ce se străduiește și nu se termină? Este simplu, linia numerică nu are sfârșit, iar cele mai multe secvențe, ca razele, au doar un început și arată astfel:

x 1, x 2, x 3,...x n...

Prin urmare, definiția unei secvențe este o funcție a argumentului natural. Mai mult în cuvinte simple este o serie de membri ai unui anumit set.

Cum se construiește șirul de numere?

Un exemplu simplu de succesiune de numere ar putea arăta astfel: 1, 2, 3, 4, … n…

În cele mai multe cazuri, în scopuri practice, secvențele sunt construite din numere, iar fiecare membru următor al seriei, să-l notăm X, are propriul nume. De exemplu:

x 1 este primul membru al secvenței;

x 2 este al doilea termen al secvenței;

x 3 este al treilea termen;

x n este al n-lea termen.

În metodele practice, succesiunea este dată de o formulă generală în care există o anumită variabilă. De exemplu:

X n =3n, atunci seria de numere în sine va arăta astfel:

Merită să ne amintim că atunci când scrieți secvențe în general, puteți folosi orice litere latine, nu doar X. De exemplu: y, z, k etc.

Progresie aritmetică ca parte a secvențelor

Înainte de a căuta limitele secvențelor, este indicat să te afundăm mai adânc în însuși conceptul unei astfel de serii de numere, pe care toată lumea l-a întâlnit când era la gimnaziu. O progresie aritmetică este o serie de numere în care diferența dintre termenii adiacenți este constantă.

Problemă: „Fie a 1 = 15 și pasul de progresie al seriei de numere d = 4. Construiți primii 4 termeni ai acestei serii"

Rezolvare: a 1 = 15 (prin condiție) este primul termen al progresiei (seria de numere).

iar 2 = 15+4=19 este al doilea termen al progresiei.

iar 3 =19+4=23 este al treilea termen.

iar 4 =23+4=27 este al patrulea termen.

Cu toate acestea, folosind această metodă este dificil să se ajungă la valori mari, de exemplu până la 125. . În special pentru astfel de cazuri, a fost derivată o formulă convenabilă pentru practică: a n =a 1 +d(n-1). În acest caz, a 125 =15+4(125-1)=511.

Tipuri de secvențe

Majoritatea secvențelor sunt nesfârșite, merită să-ți amintești pentru tot restul vieții. Există două tipuri interesante de serii de numere. Primul este dat de formula a n =(-1) n. Matematicienii numesc adesea această secvență un fulger. De ce? Să verificăm seria de numere.

1, 1, -1, 1, -1, 1 etc. Cu un exemplu ca acesta, devine clar că numerele din secvențe pot fi ușor repetate.

Succesiunea factorială. Este ușor de ghicit - formula care definește secvența conține un factorial. De exemplu: a n = (n+1)!

Apoi secvența va arăta astfel:

a 2 = 1x2x3 = 6;

și 3 = 1x2x3x4 = 24 etc.

O secvență definită printr-o progresie aritmetică se numește infinit descrescătoare dacă se observă inegalitatea -1 pentru toți termenii săi

și 3 = - 1/8 etc.

Există chiar și o secvență formată din același număr. Deci, n =6 este format dintr-un număr infinit de șase.

Determinarea limitei secvenței

Limitele secvenței au existat de mult în matematică. Desigur, merită propriul lor design competent. Deci, este timpul să învățați definiția limitelor secvenței. Mai întâi, să ne uităm la limita pentru o funcție liniară în detaliu:

1. Toate limitele sunt abreviate ca lim.
2. Notarea unei limite constă din abrevierea lim, orice variabilă tinde către un anumit număr, zero sau infinit, precum și funcția în sine.

Este ușor de înțeles că definiția limitei unei secvențe poate fi formulată astfel: acesta este un anumit număr de care toți membrii secvenței se apropie la infinit. Un exemplu simplu: a x = 4x+1. Apoi secvența în sine va arăta astfel.

5, 9, 13, 17, 21…x…

Astfel, această secvență va crește la infinit, ceea ce înseamnă că limita sa este egală cu infinitul ca x→∞ și ar trebui scrisă astfel:

Dacă luăm o secvență similară, dar x tinde spre 1, obținem:

Și seria de numere va fi astfel: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944 etc. De fiecare dată trebuie să înlocuiți numărul mai aproape de unul (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Din această serie este clar că limita funcției este cinci.

Din această parte, merită să ne amintim care este limita unei secvențe numerice, definiția și metoda de rezolvare a problemelor simple.

Denumirea generală a limitei secvenţelor

După ce ați examinat limita unei secvențe de numere, definiția și exemplele acesteia, puteți trece la un subiect mai complex. Absolut toate limitele secvențelor pot fi formulate printr-o singură formulă, care este de obicei analizată în primul semestru.

Deci, ce înseamnă acest set de litere, module și semne de inegalitate?

∀ este un cuantificator universal, înlocuind expresiile „pentru toți”, „pentru tot”, etc.

∃ este un cuantificator existențial, în acest caz înseamnă că există o valoare N care aparține mulțimii numerelor naturale.

Un baston vertical lung după N înseamnă că setul dat N este „în așa fel”. În practică, poate însemna „astfel care”, „astfel care”, etc.

Pentru a consolida materialul, citiți formula cu voce tare.

Incertitudinea și certitudinea limitei

Metoda de găsire a limitei secvențelor, care a fost discutată mai sus, deși simplă de utilizat, nu este atât de rațională în practică. Încercați să găsiți limita pentru această funcție:

Dacă înlocuim diferite valori ale lui „x” (crescând de fiecare dată: 10, 100, 1000 etc.), atunci obținem ∞ la numărător, dar și ∞ la numitor. Rezultă o fracție destul de ciudată:

Dar este chiar așa? Calcularea limitei unei secvențe de numere în acest caz pare destul de ușoară. Ar fi posibil să lăsați totul așa cum este, pentru că răspunsul este gata și a fost primit în condiții rezonabile, dar există o altă cale specială pentru astfel de cazuri.

Mai întâi, să găsim cel mai înalt grad în numărătorul fracției - acesta este 1, deoarece x poate fi reprezentat ca x 1.

Acum să găsim cel mai înalt grad în numitor. De asemenea 1.

Să împărțim atât numărătorul cât și numitorul la variabila la cel mai înalt grad. În acest caz, împărțiți fracția la x 1.

În continuare, vom afla la ce valoare tinde fiecare termen care conține o variabilă. În acest caz, sunt luate în considerare fracțiile. Ca x→∞, valoarea fiecărei fracții tinde spre zero. Când trimiteți lucrarea în scris, ar trebui să faceți următoarele note de subsol:

Rezultă următoarea expresie:

Desigur, fracțiile care conțin x nu au devenit zero! Dar valoarea lor este atât de mică încât este complet permis să nu o luăm în considerare în calcule. De fapt, x nu va fi niciodată egal cu 0 în acest caz, deoarece nu puteți împărți la zero.

Ce este un cartier?

Să presupunem că profesorul are la dispoziție o succesiune complexă, dată, evident, de o formulă la fel de complexă. Profesorul a găsit răspunsul, dar este corect? La urma urmei, toți oamenii fac greșeli.

Auguste Cauchy a venit odată cu o modalitate excelentă de a demonstra limitele secvențelor. Metoda lui se numea manipulare de cartier.

Să presupunem că există un anumit punct a, vecinătatea lui în ambele direcții pe dreapta numerică este egală cu ε („epsilon”). Deoarece ultima variabilă este distanța, valoarea ei este întotdeauna pozitivă.

Acum să definim o secvență x n și să presupunem că al zecelea termen al șirului (x 10) este inclus în vecinătatea lui a. Cum putem scrie acest fapt în limbaj matematic?

Să presupunem că x 10 este la dreapta punctului a, apoi distanța x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Acum este timpul să explicăm în practică formula discutată mai sus. Este corect să numim un anumit număr punctul final al unei secvențe dacă pentru oricare dintre limitele sale inegalitatea ε>0 este valabilă și întreaga vecinătate are propriul său număr natural N, astfel încât toți membrii șirului cu numere mai mari vor fi în interiorul șirului |x n - a|< ε.

Cu astfel de cunoștințe, este ușor să rezolvi limitele secvenței și să dovedești sau să infirmi un răspuns gata făcut.

Teoreme

Teoremele privind limitele secvențelor sunt o componentă importantă a teoriei, fără de care practica este imposibilă. Există doar patru teoreme principale, amintindu-ne care pot face rezolvarea sau demonstrarea mult mai ușoară:

1. Unicitatea limitei unei secvențe. Orice secvență poate avea o singură limită sau deloc. Același exemplu cu o coadă care poate avea doar un capăt.
2. Dacă o serie de numere are o limită, atunci succesiunea acestor numere este limitată.
3. Limita sumei (diferența, produsul) secvențelor este egală cu suma (diferența, produsul) limitelor acestora.
4. Limita câtului de împărțire a două secvențe este egală cu câtul limitelor dacă și numai dacă numitorul nu dispare.

Dovada secvențelor

Uneori trebuie să rezolvați o problemă inversă, pentru a demonstra o limită dată a unei secvențe numerice. Să ne uităm la un exemplu.

Demonstrați că limita șirului dată de formulă este zero.

Conform regulii discutate mai sus, pentru orice succesiune inegalitatea |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Să exprimăm n prin „epsilon” pentru a arăta existența unui anumit număr și a demonstra prezența unei limite a șirului.

În acest moment, este important să ne amintim că „epsilon” și „en” sunt numere pozitive și nu sunt egale cu zero. Acum este posibilă continuarea transformărilor ulterioare folosind cunoștințele despre inegalități dobândite în liceu.

Cum se dovedește că n > -3 + 1/ε. Deoarece merită să ne amintim că vorbim despre numere naturale, rezultatul poate fi rotunjit punându-l între paranteze drepte. Astfel, s-a dovedit că pentru orice valoare a vecinătății „epsilon” a punctului a = 0 s-a găsit o valoare astfel încât inegalitatea inițială să fie satisfăcută. De aici putem spune cu siguranță că numărul a este limita unei secvențe date. Q.E.D.

Această metodă convenabilă poate fi folosită pentru a demonstra limita unei secvențe numerice, indiferent cât de complexă ar fi aceasta la prima vedere. Principalul lucru este să nu intrați în panică când vedeți sarcina.

Sau poate nu este acolo?

Existența unei limite de consistență nu este necesară în practică. Puteți întâlni cu ușurință serii de numere care într-adevăr nu au sfârșit. De exemplu, aceeași „lumină intermitentă” x n = (-1) n. este evident că o succesiune formată din doar două cifre, repetată ciclic, nu poate avea o limită.

Aceeași poveste se repetă cu secvențe formate dintr-un număr, fracțional, având incertitudinea oricărei ordine în timpul calculelor (0/0, ∞/∞, ∞/0 etc.). Cu toate acestea, trebuie amintit că apar și calcule incorecte. Uneori, verificarea propriei soluții vă va ajuta să găsiți limita de secvență.

Secvență monotonă

Mai sus au fost discutate mai multe exemple de secvențe și metode de rezolvare a acestora, iar acum să încercăm să luăm un caz mai specific și să-l numim „secvență monotonă”.

Definiție: orice succesiune poate fi numită pe bună dreptate crescătoare dacă inegalitatea strictă x n este valabilă pentru ea< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

Alături de aceste două condiții, există și inegalități similare nestrictive. În consecință, x n ≤ x n +1 (secvență nedescrescătoare) și x n ≥ x n +1 (secvență necrescătoare).

Dar este mai ușor de înțeles acest lucru cu exemple.

Secvența dată de formula x n = 2+n formează următoarea serie de numere: 4, 5, 6 etc. Aceasta este o succesiune crescătoare monoton.

Și dacă luăm x n =1/n, obținem seria: 1/3, ¼, 1/5 etc. Aceasta este o succesiune monotonă descrescătoare.

Limita unei secvențe convergente și mărginite

O secvență mărginită este o secvență care are o limită. O secvență convergentă este o serie de numere care are o limită infinitezimală.

Astfel, limita unei secvențe mărginite este orice număr real sau complex. Amintiți-vă că poate exista o singură limită.

Limita unei secvențe convergente este o mărime infinitezimală (reala sau complexă). Dacă desenați o diagramă de secvență, atunci la un anumit punct va părea că converge, tinde să se transforme într-o anumită valoare. De aici și numele - succesiune convergentă.

Limita unei secvențe monotone

Poate fi sau nu o limită pentru o astfel de secvență. În primul rând, este util să înțelegeți când există, de aici puteți începe când dovediți absența unei limite.

Dintre secvențele monotone se disting convergente și divergente. Convergent este o secvență care este formată din mulțimea x și are o limită reală sau complexă în această mulțime. Divergent este o secvență care nu are limită în mulțimea sa (nici reală, nici complexă).

Mai mult, șirul converge dacă, într-o reprezentare geometrică, limitele ei superioare și inferioare converg.

Limita unei secvențe convergente poate fi zero în multe cazuri, deoarece orice succesiune infinitezimală are o limită cunoscută (zero).

Indiferent de secvența convergentă pe care o luați, toate sunt mărginite, dar nu toate secvențele mărginite converg.

Suma, diferența, produsul a două secvențe convergente este, de asemenea, o secvență convergentă. Totuși, coeficientul poate fi și convergent dacă este definit!

Diverse acțiuni cu limite

Limitele secvenței sunt la fel de semnificative (în majoritatea cazurilor) ca cifrele și numerele: 1, 2, 15, 24, 362 etc. Se dovedește că unele operații pot fi efectuate cu limite.

În primul rând, ca și numerele și numerele, limitele oricărei secvențe pot fi adăugate și scăzute. Pe baza celei de-a treia teoreme privind limitele șirurilor, se respectă următoarea egalitate: limita sumei șirurilor este egală cu suma limitelor lor.

În al doilea rând, pe baza celei de-a patra teoreme privind limitele șirurilor, următoarea egalitate este adevărată: limita produsului celui de-al n-lea număr de secvențe este egală cu produsul limitelor acestora. Același lucru este valabil și pentru împărțire: limita câtului a două secvențe este egală cu câtul limitelor lor, cu condiția ca limita să nu fie zero. La urma urmei, dacă limita secvențelor este egală cu zero, atunci va rezulta împărțirea la zero, ceea ce este imposibil.

Proprietăți ale mărimilor de succesiune

S-ar părea că limita șirului numeric a fost deja discutată în detaliu, dar expresii precum numere „infinit de mici” și „infinit de mari” sunt menționate de mai multe ori. Evident, dacă există o secvență 1/x, unde x→∞, atunci o astfel de fracție este infinitezimală, iar dacă aceeași secvență, dar limita tinde spre zero (x→0), atunci fracția devine o valoare infinit de mare. Și astfel de cantități au propriile lor caracteristici. Proprietățile limitei unei secvențe având orice valori mici sau mari sunt următoarele:

1. Suma oricărui număr din orice număr de cantități mici va fi, de asemenea, o cantitate mică.
2. Suma oricărui număr de cantități mari va fi o cantitate infinit de mare.
3. Produsul unor cantități arbitrar mici este infinitezimal.
4. Produsul oricărui număr de numere mari este infinit de mare.
5. Dacă șirul inițial tinde către un număr infinit de mare, atunci inversul său va fi infinitezimal și tinde spre zero.

De fapt, calcularea limitei unei secvențe nu este o sarcină atât de dificilă dacă cunoașteți un algoritm simplu. Dar limitele consecvenței sunt un subiect care necesită atenție și perseverență maximă. Desigur, este suficient să înțelegem pur și simplu esența soluției la astfel de expresii. Începând de la mic, poți atinge înălțimi mari în timp.

Introducere……………………………………………………………………………… 3

1. Partea teoretică……………………………………………………………………….4

Concepte și termeni de bază………………………………………………………………………..4

1.1 Tipuri de secvențe…………………………………………………………………………6

1.1.1.Secvențe de numere limitate și nelimitate…..6

1.1.2.Monotonitatea secvenţelor……………………………………………6

1.1.3.Secvențe infinit de mari și infinitezimale…….7

1.1.4.Proprietățile secvențelor infinitezimale…………8

1.1.5.Secvențe convergente și divergente și proprietățile lor.....9

1.2 Limita secvenței………………………………………………………….11

1.2.1.Teoreme privind limitele secvenţelor………………………………15

1.3. Progresia aritmetică………………………………………………17

1.3.1. Proprietățile progresiei aritmetice……………………………………………..17

1.4 Progresia geometrică………………………………………………………………………..19

1.4.1. Proprietăţi ale progresiei geometrice……………………………………………….19

1.5. Numerele Fibonacci…………………………………………………………………..21

1.5.1 Legătura numerelor Fibonacci cu alte domenii de cunoaștere………….22

1.5.2. Utilizarea seriei de numere Fibonacci pentru a descrie natura vie și neînsuflețită………………………………………………………………………………………………………….23

2. Cercetare proprie…………………………………………………….28

Concluzie……………………………………………………………………………………………….30

Lista referințelor………………………………………………………………………....31

Introducere.

Secvențele de numere sunt un subiect foarte interesant și educativ. Această temă se regăsește în sarcini de complexitate crescută care sunt oferite studenților de către autorii materialelor didactice, în problemele olimpiadelor de matematică, examenele de admitere la Instituțiile de Învățământ Superior și Examenul Unificat de Stat. Sunt interesat să învăț modul în care secvențele matematice se raportează la alte domenii de cunoaștere.

Scopul lucrării de cercetare: extinderea cunoștințelor despre succesiunea de numere.

1. Luați în considerare șirul;

2. Luați în considerare proprietățile sale;

3. Luați în considerare sarcina analitică a secvenței;

4. Demonstrează rolul său în dezvoltarea altor domenii de cunoaștere.

5. Demonstrați utilizarea seriei de numere Fibonacci pentru a descrie natura vie și neînsuflețită.

1. Partea teoretică.

Concepte și termeni de bază.

Definiţie. O secvență numerică este o funcție de forma y = f(x), x О N, unde N este mulțimea numerelor naturale (sau o funcție a unui argument natural), notată y = f(n) sau y1, y2, …, da,…. Valorile y1, y2, y3,... se numesc primul, al doilea, al treilea,... membru al secvenței.

Un număr a se numește limita șirului x = (x n ), dacă pentru un număr pozitiv arbitrar predeterminat arbitrar mic ε există o astfel de număr natural N că pentru tot n>N inegalitatea |x n - a|< ε.

Dacă numărul a este limita șirului x = (x n ), atunci ei spun că x n tinde spre a și scrie

.

Se spune că o secvență (yn) este în creștere dacă fiecare membru (cu excepția primului) este mai mare decât precedentul:

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

O secvență (yn) se numește descrescătoare dacă fiecare membru (cu excepția primului) este mai mic decât cel anterior:

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .

Secvențele crescătoare și descrescătoare sunt combinate sub termenul comun - secvențe monotone.

O secvență se numește periodică dacă există un număr natural T astfel încât, pornind de la un n, să fie valabilă egalitatea yn = yn+T. Numărul T se numește lungimea perioadei.

O progresie aritmetică este o succesiune (an), al cărei termen, începând cu al doilea, este egal cu suma termenului anterior și același număr d, se numește progresie aritmetică, iar numărul d este diferența unei progresie aritmetică.

Astfel, progresie aritmetică este o secvență numerică (an) definită recursiv prin relații

a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)

O progresie geometrică este o succesiune în care toți termenii sunt diferiți de zero și fiecare termen, începând cu al doilea, se obține din termenul anterior prin înmulțirea cu același număr q.

Astfel, o progresie geometrică este o succesiune numerică (bn) definită recurent de relații

b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).

1.1 Tipuri de secvențe.

1.1.1 Secvențe restricționate și nerestricționate.

Se spune că o secvență (bn) este mărginită mai sus dacă există un număr M astfel încât pentru orice număr n inegalitatea bn≤ M să fie valabilă;

O secvență (bn) se numește mărginită mai jos dacă există un număr M astfel încât pentru orice număr n inegalitatea bn≥ M să fie valabilă;

De exemplu:

1.1.2 Monotonitatea secvenţelor.

O secvență (bn) se numește necrescătoare (nedescrescătoare) dacă pentru orice număr n inegalitatea bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1) este adevărată;

O secvență (bn) se numește descrescător (crescător) dacă pentru orice număr n inegalitatea bn> bn+1 (bn

Secvențele descrescătoare și crescătoare se numesc strict monotone, secvențele care nu cresc sunt numite monotone în sens larg.

Secvențele care sunt mărginite atât deasupra cât și dedesubt se numesc mărginite.

Secvența tuturor acestor tipuri se numește monotonă.

1.1.3 Secvențe infinit de mari și mici.

O secvență infinitezimală este o funcție numerică sau o secvență care tinde spre zero.

Se spune că o secvență an este infinitezimală dacă

O funcție se numește infinitezimală într-o vecinătate a punctului x0 dacă ℓimx→x0 f(x)=0.

O funcție se numește infinitezimală la infinit dacă ℓimx→.+∞ f(x)=0 sau ℓimx→-∞ f(x)=0

De asemenea, infinitezimală este o funcție care este diferența dintre o funcție și limita ei, adică dacă ℓimx→.+∞ f(x)=a, atunci f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f((x)-a)=0.

O secvență infinit de mare este o funcție numerică sau o secvență care tinde spre infinit.

Se spune că o secvență an este infinit de mare dacă

ℓimn→0 an=∞.

Se spune că o funcție este infinit de mare într-o vecinătate a punctului x0 dacă ℓimx→x0 f(x)= ∞.

Se spune că o funcție este infinit de mare la infinit dacă

ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ sau ℓimx→-∞ f(x)= ∞ .

1.1.4 Proprietăţi ale secvenţelor infinitezimale.

Suma a două secvențe infinitezimale este ea însăși o secvență infinitezimală.

Diferența dintre două secvențe infinitezimale este ea însăși o secvență infinitezimală.

Suma algebrică a oricărui număr finit de secvențe infinitezimale este ea însăși o secvență infinitezimală.

Produsul unei secvențe mărginite și o secvență infinitezimală este o secvență infinitezimală.

Produsul oricărui număr finit de secvențe infinitezimale este o secvență infinitezimală.

Orice succesiune infinitezimală este mărginită.

Dacă o secvență staționară este infinitezimală, atunci toate elementele sale, începând de la un anumit punct, sunt egale cu zero.

Dacă întreaga secvență infinitezimală constă din elemente identice, atunci aceste elemente sunt zerouri.

Dacă (xn) este o secvență infinit de mare care nu conține termeni zero, atunci există o secvență (1/xn) care este infinitezimală. Dacă, totuși, (xn) conține zero elemente, atunci secvența (1/xn) poate fi încă definită pornind de la un număr n și va fi totuși infinitezimală.

Dacă (an) este o secvență infinitezimală care nu conține termeni zero, atunci există o secvență (1/an) care este infinit de mare. Dacă (an) conține totuși zero elemente, atunci secvența (1/an) poate fi încă definită pornind de la un număr n și va fi totuși infinit de mare.

1.1.5 Secvențe convergente și divergente și proprietățile lor.

O secvență convergentă este o secvență de elemente ale unei mulțimi X care are o limită în această mulțime.

O secvență divergentă este o secvență care nu este convergentă.

Fiecare succesiune infinitezimală este convergentă. Limita sa este zero.

Eliminarea oricărui număr finit de elemente dintr-o secvență infinită nu afectează nici convergența, nici limita acelei secvențe.

Orice șir convergent este mărginit. Cu toate acestea, nu toate șirurile mărginite converg.

Dacă șirul (xn) converge, dar nu este infinitezimal, atunci, pornind de la un anumit număr, se definește o secvență (1/xn), care este mărginită.

Suma secvențelor convergente este, de asemenea, o secvență convergentă.

Diferența secvențelor convergente este, de asemenea, o secvență convergentă.

Produsul secvențelor convergente este, de asemenea, o secvență convergentă.

Coeficientul a două secvențe convergente este definit începând de la un element, cu excepția cazului în care a doua secvență este infinitezimală. Dacă este definit câtul a două secvențe convergente, atunci este o secvență convergentă.

Dacă o secvență convergentă este mărginită mai jos, atunci niciunul dintre infimii ei nu își depășește limita.

Dacă o secvență convergentă este mărginită mai sus, atunci limita sa nu depășește niciuna dintre limitele sale superioare.

Dacă pentru orice număr termenii unei secvențe convergente nu depășesc termenii unei alte secvențe convergente, atunci limita primei secvențe nu depășește nici limita celei de-a doua.