Derivată a unei funcții a unei variabile.

Introducere.

Real evoluții metodologice destinat studenților Facultății de Inginerie Industrială și Civilă. Acestea au fost compilate în legătură cu programul cursului de matematică în secțiunea „Calcul diferențial al funcțiilor unei variabile”.

Dezvoltarile reprezinta un singur ghid metodologic, care include: scurte informatii teoretice; probleme și exerciții „standard” cu soluții detaliate și explicații pentru aceste soluții; opțiuni de testare.

Există exerciții suplimentare la sfârșitul fiecărui paragraf. Această structură a dezvoltărilor le face potrivite pentru stăpânirea independentă a secțiunii cu asistență minimă din partea profesorului.

§1. Definiţia derivative.

Semnificație mecanică și geometrică

derivat.

Conceptul de derivat este unul dintre cele mai importante concepte din analiza matematică. A apărut în secolul al XVII-lea. Formarea conceptului de derivată este asociată istoric cu două probleme: problema vitezei mișcării alternative și problema tangentei la o curbă.

Aceste probleme, în ciuda conținutului lor diferit, duc la aceeași operație matematică care trebuie efectuată asupra unei funcții. Această operație a primit o denumire specială în matematică. Se numește operația de diferențiere a unei funcții. Rezultatul operației de diferențiere se numește derivată.

Deci, derivata funcției y=f(x) în punctul x0 este limita (dacă există) a raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului
la
.

Derivatul este de obicei notat după cum urmează:
.

Astfel, prin definiție

Simbolurile sunt, de asemenea, folosite pentru a desemna derivate
.

Sensul mecanic al derivatului.

Dacă s=s(t) este legea mișcării rectilinie a unui punct material, atunci
este viteza acestui punct la momentul t.

Sensul geometric al derivatului.

Dacă funcția y=f(x) are o derivată în punct , apoi coeficientul unghiular al tangentei la graficul funcției în punctul
egală
.

Exemplu.

Aflați derivata funcției
la punct =2:

1) Să-i dăm un punct =2 increment
. Rețineți că.

2) Găsiți incrementul funcției în punct =2:

3) Să creăm raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului:

Să găsim limita raportului la
:

.

Astfel,
.

§ 2. Derivatele unora

cele mai simple funcții.

Elevul trebuie să învețe cum să calculeze derivatele unor funcții specifice: y=x,y= si in general= .

Să găsim derivata funcției y=x.

aceste. (x)′=1.

Să găsim derivata funcției

Derivat

Lasă
Apoi

Este ușor de observat un model în expresiile pentru derivatele unei funcții de putere
cu n=1,2,3.

Prin urmare,

. (1)

Această formulă este valabilă pentru orice n real.

În special, folosind formula (1), avem:

;

.

Exemplu.

Aflați derivata funcției

.

.

Această funcție este un caz special al unei funcții de formă

la
.

Folosind formula (1), avem

.

Derivate ale funcțiilor y=sin x și y=cos x.

Fie y=sinx.

Împărțiți cu ∆x, obținem

Trecând la limita la ∆x→0, avem

Fie y=cosx.

Trecând la limita la ∆x→0, obținem

;
. (2)

§3. Reguli de bază de diferențiere.

Să luăm în considerare regulile de diferențiere.

Teorema1 . Dacă funcțiile u=u(x) și v=v(x) sunt diferențiabile la un punct datx, atunci în acest moment suma lor este și ea diferențiabilă, iar derivata sumei este egală cu suma derivatelor termenilor : (u+v)"=u"+v".(3)

Dovada: se consideră funcția y=f(x)=u(x)+v(x).

Creșterea ∆x a argumentului x corespunde incrementelor ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) ale funcțiilor u și v. Apoi funcția y va crește

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Prin urmare,

Deci, (u+v)"=u"+v".

Teorema2. Dacă funcțiile u=u(x) și v=v(x) sunt diferențiabile într-un punct datx, atunci produsul lor este diferențiabil în același punct. În acest caz, derivata produsului se găsește prin următoarea formulă: (. uv)"=u"v+uv". (4)

Demonstrație: Fie y=uv, unde u și v sunt câteva funcții diferențiabile ale lui x. Să dăm lui x un increment de ∆x, atunci u va primi un increment de ∆u, v va primi un increment de ∆v, iar y va primi un increment de ∆y.

Avem y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), sau

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Prin urmare, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

De aici

Trecând la limita la ∆x→0 și ținând cont că u și v nu depind de ∆x, vom avea

Teorema 3. Derivata coeficientului a doua functii este egala cu o fractiune, al carei numitor este egal cu patratul divizorului, iar numaratorul este diferenta dintre produsul derivatei dividendului si divizor si produsul lui. dividend și derivata divizorului, adică

Dacă
Că
(5)

Teorema 4. Derivata unei constante este zero, i.e. dacă y=C, unde C=const, atunci y"=0.

Teorema 5. Factorul constant poate fi scos din semnul derivatei, i.e. dacă y=Cu(x), unde С=const, atunci y"=Cu"(x).

Exemplul 1.

Aflați derivata funcției

.

Această funcție are forma
, unde u=x,v=cosx. Aplicând regula de diferențiere (4), aflăm

.

Exemplul 2.

Aflați derivata funcției

.

Să aplicăm formula (5).

Aici
;
.

Sarcini.

Găsiți derivatele următoarelor funcții:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

La rezolvarea diferitelor probleme de geometrie, mecanică, fizică și alte ramuri ale cunoașterii, a apărut necesitatea folosind același proces analitic din această funcție. y=f(x) obține o nouă funcție numită funcţie derivată(sau doar derivata) a unei functii date f(x)și este desemnată prin simbol

Procesul prin care dintr-o funcție dată f(x) obține o funcție nouă f" (x), numit diferenţiereși constă din următorii trei pași: 1) dați argumentul x creştere  xși determinați incrementul corespunzător al funcției  y = f(x+ x) -f(x);

2) alcătuiește o relație x 3) numărarea  x constantă şi
0, găsim f" (x), pe care o notăm prin x, ca și cum ar sublinia că funcția rezultată depinde doar de valoare , la care mergem la limită.: Definiţie Derivată y " =f " (x) funcția dată y=f(x) pentru un x dat
se numește limita raportului dintre incrementul unei funcții și incrementul argumentului, cu condiția ca incrementul argumentului să tinde spre zero, dacă, desigur, această limită există, i.e. finit. Astfel,

, sau x Rețineți că dacă la o anumită valoare , de exemplu când x=a
, atitudine  x la f(x)0 nu tinde spre limita finită, atunci în acest caz se spune că funcția , de exemplu când la , de exemplu când(sau la punctul , de exemplu când.

) nu are derivată sau nu este diferențiabilă la punct

2. Sensul geometric al derivatului.

f(x)

Se consideră graficul funcției y = f (x), diferențiabilă în vecinătatea punctului x 0

Să considerăm o dreaptă arbitrară care trece printr-un punct de pe graficul unei funcții - punctul A(x 0, f (x 0)) și care intersectează graficul într-un punct B(x;f(x)). O astfel de dreaptă (AB) se numește secantă. Din ∆ABC: ​​​​AC = ∆x;

ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.

Din moment ce AC || Ox, apoi ALO = BAC = β (așa cum corespunde pentru paralel). Dar ALO este unghiul de înclinare al secantei AB față de direcția pozitivă a axei Ox. Aceasta înseamnă că tanβ = k este panta dreptei AB.
Acum vom reduce ∆х, i.e. ∆х→ 0. În acest caz, punctul B se va apropia de punctul A conform graficului, iar secanta AB se va roti. Poziția limită a secantei AB la ∆x→ 0 va fi o dreaptă (a), numită tangentă la graficul funcției y = f (x) în punctul A.
Dacă mergem la limita ca ∆x → 0 în egalitatea tgβ =∆y/∆x, obținem
ortg =f "(x 0), deoarece

-unghiul de înclinare a tangentei la direcția pozitivă a axei Ox

, prin definiția unui derivat. Dar tg = k este coeficientul unghiular al tangentei, ceea ce înseamnă k = tg = f "(x 0). 0 Deci, semnificația geometrică a derivatei este următoarea: 0 .

Derivata unei functii in punctul x

Luați în considerare mișcarea unui punct de-a lungul unei linii drepte. Fie dat coordonatele unui punct în orice moment x(t). Se știe (dintr-un curs de fizică) că viteza medie pe o perioadă de timp este egală cu raportul dintre distanța parcursă în această perioadă de timp și timpul, adică.

Vav = ∆x/∆t. Să mergem la limita din ultima egalitate ca ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - viteza instantanee la momentul t 0, ∆t → 0.

și lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (prin definiția derivatei).

Deci, (t) =x"(t).

Semnificația fizică a derivatei este următoarea: derivată a funcțieiy = f(x) la un moment datx 0 este rata de schimbare a funcțieif(x) la punctulx 0

Derivata este folosită în fizică pentru a găsi viteza dintr-o funcție cunoscută de coordonate în funcție de timp, accelerația dintr-o funcție cunoscută a vitezei în funcție de timp.

(t) = x"(t) - viteza,

a(f) = "(t) - accelerație sau

Dacă legea mișcării unui punct material dintr-un cerc este cunoscută, atunci se poate găsi viteza unghiulară și accelerația unghiulară în timpul mișcării de rotație:

φ = φ(t) - modificarea unghiului în timp,

ω = φ"(t) - viteza unghiulara,

ε = φ"(t) - accelerația unghiulară, sau ε = φ"(t).

Dacă legea distribuției masei unei tije neomogene este cunoscută, atunci densitatea liniară a tijei neomogene poate fi găsită:

m = m(x) - masa,

x  , l - lungimea tijei,

p = m"(x) - densitatea liniară.

Folosind derivata se rezolva problemele din teoria elasticitatii si vibratiilor armonice. Deci, conform legii lui Hooke

F = -kx, x – coordonată variabilă, k – coeficient de elasticitate a arcului. Punând ω 2 =k/m, obținem ecuația diferențială a pendulului elastic x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

unde ω = √k/√m frecvența de oscilație (l/c), k - rigiditatea arcului (H/m).

O ecuație de forma y" + ω 2 y = 0 se numește ecuația oscilațiilor armonice (mecanice, electrice, electromagnetice). Soluția unor astfel de ecuații este funcția

y = Asin(ωt + φ 0) sau y = Acos(ωt + φ 0), unde

A - amplitudinea oscilațiilor, ω - frecvența ciclică,

φ 0 - faza initiala.

Procesul de găsire a derivatei unei funcții se numește diferenţiere. Derivata trebuie găsită într-un număr de probleme în cursul analizei matematice. De exemplu, atunci când găsiți puncte extreme și puncte de inflexiune ale unui grafic al funcției.

Cum să găsești?

Pentru a găsi derivata unei funcții trebuie să cunoașteți tabelul derivatelor funcțiilor elementare și să aplicați regulile de bază de diferențiere:

1. Deplasarea constantei dincolo de semnul derivatei: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. Derivată a sumei/diferenței de funcții: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. Derivată a produsului a două funcții: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. Derivată a unei fracții: $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv"))(v^2) $$
5. Derivată a unei funcții complexe: $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

Exemple de soluții

Exemplul 1

Aflați derivata funcției $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $

Soluţie

Derivata sumei/diferenței de funcții este egală cu suma/diferenței derivatelor: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ Folosind regula pentru derivata unei funcții de putere $ (x^p)" = px^(p-1) $ avem: $$ y" = 3x^(3-1) - 2 \cdot 2 x^(2-1) + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ S-a mai ținut cont de faptul că derivata unei constante este egală cu zero. Dacă nu vă puteți rezolva problema, trimiteți-ne-o. Vom oferi o soluție detaliată. Veți putea vizualiza progresul calculului și veți obține informații. Acest lucru vă va ajuta să obțineți nota de la profesorul dvs. în timp util!

Răspuns

$$y" = 3x^2 - 4x + 7 $$

Conceptul de derivat

Lasă funcția f(x) este definită pe un anumit interval X. Să dăm valoarea argumentului la punct x 0 X increment arbitrar Δ x astfel încât punctul x 0 + Δ x a aparținut și lui X. Apoi corespunzătoare creșterea funcției f(x) va fi Δ la = f(x 0 + Δ x) - f(x 0).

Definiția 1. Derivată a funcției f(x) la punct x 0 se numește limita raportului dintre incrementul funcției în acest punct și incrementul argumentului la Δ x 0 (dacă există această limită).

Pentru a desemna derivata unei funcții, folosim simbolurile y" (x 0) sau f"(x 0):

Dacă la un moment dat x 0 limita (4.1) este infinită:

apoi spun că la punctul x 0 funcţie f(x) are derivat infinit.

Dacă funcţia f(x) are o derivată în fiecare punct al mulțimii X, apoi derivatul f"(x) este, de asemenea, o funcție a argumentului X, definite pe X.

Sensul geometric al derivatului

Pentru a clarifica semnificația geometrică a derivatei, trebuie să determinăm tangenta la graficul funcției într-un punct dat.

Definiția 2. Tangentă la graficul funcției y = f(x) la un moment dat M numită poziție limită a secantei MN, când este ideea N tinde spre un punct M de-a lungul curbei f(x).

Lasă punctul M pe curbă f(x) corespunde valorii argumentului x 0, și punct N- valoarea argumentului x 0 + Δ x(Fig. 4.1). Din definiția unei tangente rezultă că pentru existența ei într-un punct x 0 este necesar să existe o limită care egal cu unghiulînclinarea tangentei la ax Oh. Din triunghi M.N.A. rezultă că

Dacă derivata funcţiei f(x) la un moment dat x 0 există, atunci conform (4.1), obținem

De aici rezultă o concluzie clară că derivat f"(x 0) egal cu coeficientul unghiular (tangente a unghiului de înclinare la direcția pozitivă a axei Ox) al tangentei la graficul funcției y = f(x) V punctul M(x 0, f(x 0)). În acest caz, unghiul tangentei este determinat din formula (4.2):

Sensul fizic al derivatului

Să presupunem că funcția l = f(t) descrie legea mișcării unui punct material într-o linie dreaptă ca dependență de cale l din când în când t. Apoi diferența Δ l = f(t +Δ t) - f(t) - este calea parcursă în intervalul de timp Δ t, și raportul Δ l/Δ t- viteza medie în timp Δ t. Apoi limita defineste viteza punctului instantaneu la un moment dat t ca derivată a căii în raport cu timpul.

Într-un anumit sens, derivata funcției la = f(x) poate fi interpretat și ca rata de modificare a unei funcții: cu cât valoarea este mai mare f"(x), cu cât unghiul de înclinare al tangentei la curbă este mai mare, cu atât graficul este mai abrupt f(x) și funcția crește mai repede.

Derivate din dreapta și din stânga

Prin analogie cu conceptele de limite unilaterale ale unei funcții, sunt introduse conceptele de derivate din dreapta și stânga ale unei funcții într-un punct.

Definiția 3. dreapta (stânga) derivata unei functii la = f(x) la punct x 0 se numește limita dreaptă (stânga) a relației (4.1) pentru Δ x 0 dacă această limită există.

Următorul simbolism este folosit pentru a desemna derivate unilaterale:

Dacă funcţia f(x) are la punct x 0 derivată, atunci are derivate din stânga și din dreapta în acest punct, care coincid.

Să dăm un exemplu de funcție care are derivate unilaterale într-un punct care nu sunt egale între ele. Acest f(x) = |x|. Într-adevăr, la punctul x = 0 avem f' +(0) = 1, f" -(0) = -1 (Fig. 4.2) și f' +(0) ≠ f’ -(0), adică funcția nu are derivată la X = 0.

Operația de găsire a derivatei unei funcții se numește ea diferenţiere; se numește o funcție care are o derivată într-un punct diferentiabil.

Legătura dintre diferențiabilitatea și continuitatea unei funcții într-un punct se stabilește prin următoarea teoremă.

TEOREMA 1 . Dacă o funcție este diferențiabilă într-un punct x 0, atunci este continuă în acest punct.

Reversul nu este adevărat: funcția f(x), continuă într-un punct, poate să nu aibă o derivată în acel punct. Un astfel de exemplu este funcția la = |x|; este continuă într-un punct x= 0, dar nu are nicio derivată în acest moment.

Astfel, cerința de diferențiabilitate a unei funcții este mai puternică decât cerința de continuitate, deoarece a doua decurge automat din prima.

Ecuația tangentei la graficul unei funcții într-un punct dat

După cum sa menționat în Secțiunea 3.9, ecuația unei drepte care trece printr-un punct M(x 0, y 0) cu panta k arata ca

Să fie dată funcția la = f(x). Apoi, de la derivatul său la un moment dat M(x 0, y 0) este panta tangentei la graficul acestei funcții în punctul M, atunci rezultă că ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f(x) în acest moment are forma

Găsiți o expresie pentru derivata funcției exponențiale \(y = (e^x)\), folosind definiția derivatei.

Soluţie.

Pașii inițiali sunt standard: mai întâi notăm incrementul funcției \(\Delta y\), corespunzător incrementului argumentului \(\Delta x\): \[ (\Delta y = y\left(( x + \Delta x) \right) - y\left(x \right) ) = ((e^(x + \Delta x)) - (e^x) ) = ((e^x)(e^( \Delta x)) - (e^x ) ) = ((e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \right).) \] Derivata este calculată ca limită a raportul de incremente: \[ (y"\left(x \right ) = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta y))((\Delta x)) ) = (\ lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((( e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \right)))((\Delta x)).) \] Funcția \(y = (e^x)\) în numărător nu depinde de Δ xși poate fi dus dincolo de semnul limită. Atunci derivata ia următoarea formă: \[ (y"\left(x \right) = (\left(((e^x)) \right)^\prime ) ) = ((e^x)\lim\ limite_( \Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)).) \] Să notăm limita rezultată cu \(L\) și se calculează separat, că \((e^0) = 1\) și, prin urmare, putem scrie \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(). \Delta x)) - 1))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - (e^0) ))((\ Delta x)) = e"\left(0 \right),) \] adică această limită reprezintă valoarea derivatei funcției exponențiale la zero. În consecință, \ Am obținut o relație în care derivata dorită este exprimată prin funcția însăși \(y = (e^x)\) și derivata ei în punctul \(x = 0\). Să demonstrăm că \ Pentru a face acest lucru, reamintim că numărul \(e\) este definit sub forma unei limite infinite ca \ și numărul \(e\) la puterea \(\Delta x\) va, în consecință. , fie egal cu \[(e^(\ Delta x)) = \lim\limits_(n \to \infty ) (\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \right) ^n).\] În continuare aplicăm celebra formulă Binomul lui Newton și extindeți expresia sub semnul limită serie binomială: \[(\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \right)^n) = \sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left( (\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) .\] Aici \((C_n^k)\) denotă numărul de combinații de \(n\) elemente prin \( k\). În manualele europene și americane, numărul de combinații este notat ca \ Să revenim la limita noastră \(L\), care poate fi acum scrisă sub această formă: \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) ) \frac((( e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n) \la \infty ) \ left[ (\sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k) ) ) \right] - 1))((\Delta x)).) \] Ne este convenabil să izolam primii doi termeni din seria binomială: pentru \(k = 0\) și \(k = 1 \). Ca rezultat, obținem \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (\sum\limits_(k = 0) )^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))((\Delta x))) ) = (\ lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (C_n^0((\left((\frac((\Delta x)) )(n )) \right))^0) + C_n^1((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^1) + \sum\limits_(k = 2)^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))((\Delta x)) ) = ( \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (1 + n \cdot \frac((\Delta x))(n ) + \ sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1 ))( (\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta x + \lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k = 2)^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ))((\Delta x)) ) = (\lim\ limits_(\ Delta x \to 0) \left[ (1 + \frac(1)((\Delta x))\lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k = 2)^n ( C_n^k ((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] ) = (1 + \lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \left((\sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k\frac((((\left((\Delta x)) \ dreapta)) ^(k - 1))))(((n^k)))) ) \right)) \right].) \] Evident, suma seriei tinde spre zero ca \(\Delta x \la 0\) . Prin urmare, \(L = 1\). Aceasta înseamnă că derivata funcției exponențiale \(y = (e^x)\) este egală cu funcția în sine: \