Creșterea funcției. Bibliotecă deschisă - bibliotecă deschisă de informații educaționale Increment de funcție

Lasă X– argument (variabilă independentă); y=y(x)– funcția.

Să luăm o valoare fixă a argumentului x=x 0 și calculați valoarea funcției y 0 =y(x 0 ) . Acum să setăm în mod arbitrar creştere (schimbarea) argumentului și denotă-l  X ( X poate fi de orice semn).

Argumentul de creștere este un punct X 0 +  X. Să presupunem că conține și o valoare a funcției y=y(x 0 +  X)(vezi poza).

Astfel, cu o modificare arbitrară a valorii argumentului, se obține o modificare a funcției, care este numită creştere valorile functiei:

și nu este arbitrară, ci depinde de tipul funcției și de valoare
.

Argumentul și incrementele de funcție pot fi final, adică exprimate ca numere constante, caz în care sunt numite uneori diferențe finite.

În economie, incrementele finite sunt considerate destul de des. De exemplu, tabelul prezintă date despre lungimea rețelei feroviare a unui anumit stat. Evident, creșterea în lungime a rețelei se calculează scăzând valoarea anterioară din cea ulterioară.

Vom considera lungimea rețelei feroviare ca o funcție, al cărei argument va fi timpul (ani).

Lungimea căii ferate la 31 decembrie, mii km.	Creştere	Creștere medie anuală

În sine, creșterea unei funcții (în acest caz, lungimea rețelei feroviare) nu caracterizează bine schimbarea funcției. În exemplul nostru, din faptul că 2,5>0,9 nu se poate concluziona că rețeaua a crescut mai rapid în 2000-2003 ani decât în 2004 ex., deoarece incrementul 2,5 se referă la o perioadă de trei ani și 0,9 - în doar un an. Prin urmare, este destul de natural ca o creștere a unei funcții să conducă la o schimbare de unitate a argumentului. Incrementul argumentului aici este puncte: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

Obținem ceea ce se numește în literatura economică crestere medie anuala.

Puteți evita operația de reducere a incrementului la unitatea de modificare a argumentului dacă luați valorile funcției pentru valorile argumentului care diferă cu unul, ceea ce nu este întotdeauna posibil.

În analiza matematică, în special în calculul diferențial, sunt considerate incremente infinitezimale (IM) ale argumentului și funcției.

Diferențierea unei funcții a unei variabile (derivată și diferențială) Derivată a unei funcții

Creșteri de argument și funcție la un punct X 0 pot fi considerate mărimi infinitezimale comparabile (vezi subiectul 4, compararea BM), adică. BM este de aceeași ordine.

Atunci raportul lor va avea o limită finită, care este definită ca derivată a funcției în t X 0 .

Limita raportului dintre incrementul unei funcții și incrementul BM al argumentului la un punct x=x 0 numit derivat funcţionează la un punct dat.

Desemnarea simbolică a unui derivat printr-o contur (sau mai bine zis, cu cifra romană I) a fost introdusă de Newton. De asemenea, puteți utiliza un indice, care arată cu ce variabilă este calculată derivata, de exemplu, . O altă notație propusă de fondatorul calculului derivatelor, matematicianul german Leibniz, este de asemenea utilizată pe scară largă:
. Veți afla mai multe despre originea acestei denumiri în secțiune Diferenţial de funcţie şi diferenţial de argument.

Acest număr este estimat viteză modificări ale funcției care trec printr-un punct
.

Hai să instalăm sens geometric derivata unei functii intr-un punct. În acest scop, vom reprezenta grafic funcția y=y(x)și marcați pe el punctele care determină schimbarea y(x) intre ele

Tangenta la graficul unei functii intr-un punct M 0
vom avea în vedere poziţia limită a secantei M 0 M dat fiind
(punct M alunecă de-a lungul graficului unei funcții până la un punct M 0 ).

Să luăm în considerare
. Evident,
.

Dacă punctul M direct de-a lungul graficului funcției spre punct M 0 , apoi valoarea
va tinde către o anumită limită, pe care o notăm
. În același timp.

Unghiul limită  coincide cu unghiul de inclinare al tangentei trasate la graficul functiei incl. M 0 , deci derivata
egal numeric panta tangenta în punctul specificat.

semnificația geometrică a derivatei unei funcții într-un punct.

Astfel, putem scrie ecuațiile tangente și normale ( normal - aceasta este o dreaptă perpendiculară pe tangenta) pe graficul funcției la un moment dat X 0 :

Tangenta - .

Normal -
.

Interesante sunt cazurile în care aceste linii sunt situate orizontal sau vertical (vezi Subiectul 3, cazuri speciale de poziție a unei linii pe un plan). Apoi,

Dacă
;

Dacă
.

Definiția derivatei se numește diferenţiere funcții.

 Dacă funcţia este într-un punct X 0 are o derivată finită, atunci se numește diferentiabilîn acest moment. O funcție care este diferențiabilă în toate punctele unui anumit interval se numește diferențiabilă pe acest interval.

 Teorema . Dacă funcţia y=y(x) diferentiabil incl. X 0 , atunci este continuă în acest moment.

Astfel, continuitate– o condiție necesară (dar nu suficientă) pentru diferențiabilitatea unei funcții.

în fizica medicală și biologică

PRELEGERE Nr. 1

FUNCȚII DERIVATE ȘI DIFERENȚIALE.

DERIVATE PARȚIALE.

1. Conceptul de derivat, sensul său mecanic și geometric.

O ) Creșterea argumentului și a funcției.

Fie dată o funcție y=f(x), unde x este valoarea argumentului din domeniul de definiție al funcției. Dacă selectați două valori ale argumentului x o și x dintr-un anumit interval al domeniului de definire a funcției, atunci diferența dintre cele două valori ale argumentului se numește increment al argumentului: x - x o = ∆x.

Valoarea argumentului x poate fi determinată prin x 0 și incrementul acestuia: x = x o + ∆x.

Diferența dintre două valori ale funcției se numește incrementul funcției: ∆y =∆f = f(x o +∆x) – f(x o).

Incrementul unui argument și al unei funcții poate fi reprezentat grafic (Fig. 1). Creșterea argumentului și a funcției pot fi pozitive sau negative. După cum reiese din Fig. 1, geometric, incrementul argumentului ∆х este reprezentat de incrementul abscisei, iar incrementul funcţiei ∆у prin incrementul ordonatei. Creșterea funcției trebuie calculată în următoarea ordine:

dăm argumentului un increment ∆x și obținem valoarea – x+Δx;

2) găsiți valoarea funcției pentru valoarea argumentului (x+∆x) – f(x+∆x);

3) găsiți incrementul funcției ∆f=f(x + ∆x) - f(x).

Exemplu: Determinați incrementul funcției y=x 2 dacă argumentul s-a schimbat de la x o =1 la x=3. Pentru punctul x o valoarea funcției f(x o) = x² o; pentru punctul (x o +∆x) valoarea funcției f(x o +∆x) = (x o +∆x) 2 = x² o +2x o ∆x+∆x 2, de unde ∆f = f(x o + ∆x)–f(x o) = (x o +∆x) 2 –x² o = x² o +2x o ∆x+∆x 2 –x² o = 2x o ∆x+∆x 2; ∆f = 2x o ∆x+∆x 2 ;

∆х = 3–1 = 2; ∆f =2·1·2+4 = 8.b)

Probleme care duc la conceptul de derivată. Definiția derivată, sensul său fizic.

Conceptul de increment de argument și funcție este necesar pentru a introduce conceptul de derivată, care a apărut istoric pe baza necesității de a determina viteza anumitor procese.

Să luăm în considerare modul în care puteți determina viteza mișcării rectilinie. Lăsați corpul să se miște rectiliniu conform legii: ∆S= ·∆t. Pentru mișcare uniformă:= ∆S/∆t.

Pentru mișcarea alternativă, valoarea ∆Ѕ/∆t determină valoarea  medie. , adică medie. =∆S/∆t Dar viteza medie nu face posibilă reflectarea caracteristicilor mișcării corpului și să ofere o idee despre viteza adevărată la momentul t. Când perioada de timp scade, de ex. la ∆t→0 viteza medie tinde spre limita sa – viteza instantanee:
 instant =
 medie. =

∆S/∆t.

∆х/∆t,

Fie dată o funcție continuă f(x), definită pe intervalul ]a, în[adică incrementul ei ∆f=f(x+∆x)–f(x).
este o funcție a lui ∆x și exprimă rata medie de modificare a funcției.

Limita raportului , când ∆х→0, cu condiția ca această limită să existe, se numește derivată a funcției :

y" x =

.

Derivata se noteaza:
– (trăsă Yigree de X);f " (x) – (eff accident pe x) ; y" – (streacă greacă); dy/dх – (de igrek by de x); - (greacă cu punct).

Pe baza definiției derivatei, putem spune că viteza instantanee a mișcării rectilinie este derivata în timp a căii:

 instant = S" t = f " (t).

Astfel, putem concluziona că derivata unei funcții față de argumentul x este rata instantanee de modificare a funcției f(x):

y" x =f " (x)= instant.

Acesta este sensul fizic al derivatului. Procesul de găsire a derivatei se numește diferențiere, deci expresia „diferențiază o funcție” este echivalentă cu expresia „găsește derivata unei funcții”.

V)Sensul geometric al derivatului.

P
derivata funcției y = f(x) are o semnificație geometrică simplă asociată conceptului de tangentă la o dreaptă curbă într-un punct M. În același timp, tangentă, adică. o linie dreaptă se exprimă analitic ca y = kx = tan· x, unde – unghiul de înclinare al tangentei (linia dreaptă) la axa X Să ne imaginăm o curbă continuă ca funcție y = f(x), luăm un punct M1 pe curbă și un punct M1 apropiat de acesta și desenăm o secantă. prin ele. Panta sa la sec =tg β = .Dacă aducem punctul M 1 mai aproape de M, atunci incrementul în argument ∆х va tinde spre zero, iar secanta la β=α va lua poziția unei tangente. Din fig. 2 rezultă: tgα =
tgβ =
=y" x. Dar tgα este egală cu panta tangentei la graficul funcției:

k = tgα =
=y" x = f " (X). Deci, coeficientul unghiular al unei tangente la graficul unei funcții într-un punct dat este egal cu valoarea derivatei sale în punctul de tangență. Acesta este sensul geometric al derivatului.

G)Regula generală pentru găsirea derivatei.

Pe baza definiției derivatei, procesul de diferențiere a unei funcții poate fi reprezentat astfel:

f(x+∆x) = f(x)+∆f;

aflați incrementul funcției: ∆f= f(x + ∆x) - f(x);

formează raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului:

;

Exemplu: f(x)=x2; " f

(x)=?.

Cu toate acestea, după cum se poate vedea chiar și din acest exemplu simplu, utilizarea secvenței specificate atunci când se iau derivate este un proces complex și care necesită forță de muncă. Prin urmare, pentru diferite funcții, sunt introduse formule generale de diferențiere, care sunt prezentate sub forma unui tabel cu „Formule de bază pentru diferențierea funcțiilor”.

Dacă pentru fiecare pereche $(x,y)$ de valori a două variabile independente dintr-un domeniu este asociată o anumită valoare $z$, atunci $z$ se spune că este o funcție a două variabile $(x,y) $. Notație: $z=f(x,y)$.

În raport cu funcția $z=f(x,y)$, să luăm în considerare conceptele de incrementări generale (totale) și parțiale ale unei funcții.

Fie dată o funcție $z=f(x,y)$ din două variabile independente $(x,y)$.

Nota 1

Deoarece variabilele $(x,y)$ sunt independente, una dintre ele se poate schimba, în timp ce cealaltă rămâne constantă.

Să dăm variabilei $x$ un increment de $\Delta x$, păstrând în același timp valoarea variabilei $y$ neschimbată.

Atunci funcția $z=f(x,y)$ va primi un increment, care va fi numit increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ față de variabila $x$. Desemnare:

În mod similar, vom da variabilei $y$ un increment de $\Delta y$, păstrând în același timp valoarea variabilei $x$ neschimbată.

Atunci funcția $z=f(x,y)$ va primi un increment, care va fi numit increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ față de variabila $y$. Desemnare:

Dacă argumentului $x$ i se dă un increment $\Delta x$, iar argumentului $y$ îi este dat un increment $\Delta y$, atunci incrementul complet al funcției date $z=f(x,y)$ se obtine. Desemnare:

Astfel avem:

$\Delta _(x) z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ cu $x$;

$\Delta _(y) z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ cu $y$;

$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - increment total al funcției $z=f(x,y)$.

Exemplul 1

Soluţie:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$ - increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ peste $x$;

$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ - increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ față de $y$.

$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - increment total al funcției $z=f(x,y)$.

Exemplul 2

Calculați incrementul parțial și total al funcției $z=xy$ în punctul $(1;2)$ pentru $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1$.

Soluţie:

Prin definiția incrementului parțial găsim:

$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ - increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ peste $x$

$\Delta _(y) z=x\cdot (y+\Delta y)$ - increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ cu $y$;

Prin definiția incrementului total găsim:

$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - increment total al funcției $z=f(x,y)$.

Prin urmare,

\[\Delta _(x) z=(1+0.1)\cdot 2=2.2\] \[\Delta _(y) z=1\cdot (2+0.1)=2.1 \] \[\Delta z= (1+0,1)\cdot (2+0,1)=1,1\cdot 2,1=2,31.\]

Nota 2

Creșterea totală a unei anumite funcții $z=f(x,y)$ nu este egală cu suma incrementelor sale parțiale $\Delta _(x) z$ și $\Delta _(y) z$. Notație matematică: $\Delta z\ne \Delta _(x) z+\Delta _(y) z$.

Exemplul 3

Verificați observațiile de afirmație pentru funcție

Soluţie:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$; $\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (obținut în exemplul 1)

Să găsim suma incrementelor parțiale ale unei funcții date $z=f(x,y)$

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z\ne \Delta z.\]

Definiția 2

Dacă pentru fiecare triplă $(x,y,z)$ de valori a trei variabile independente dintr-un domeniu este asociată o anumită valoare $w$, atunci $w$ este o funcție a trei variabile $(x, y,z)$ în această zonă.

Notație: $w=f(x,y,z)$.

Definiția 3

Dacă pentru fiecare set $(x,y,z,...,t)$ de valori ale variabilelor independente dintr-o anumită regiune este asociată o anumită valoare $w$, atunci se spune că $w$ este o funcție a variabilele $(x,y,z,...,t)$ din această zonă.

Notație: $w=f(x,y,z,...,t)$.

Pentru o funcție de trei sau mai multe variabile, în același mod ca și pentru o funcție de două variabile, se determină incremente parțiale pentru fiecare dintre variabile:

$\Delta _(z) w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - increment parțial al funcției $w=f(x,y,z,... ,t )$ cu $z$;

$\Delta _(t) w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - increment parțial al funcției $w =f (x,y,z,...,t)$ cu $t$.

Exemplul 4

Scrieți funcții de creștere parțială și totală

Soluţie:

Prin definiția incrementului parțial găsim:

$\Delta _(x) w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - increment parțial al funcției $w=f(x,y,z)$ peste $x$

$\Delta _(y) w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - increment parțial al funcției $w=f(x,y,z)$ peste $y$;

$\Delta _(z) w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - increment parțial al funcției $w=f(x,y,z)$ peste $z$;

Prin definiția incrementului total găsim:

$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - increment total al funcției $w=f(x,y,z)$.

Exemplul 5

Calculați incrementul parțial și total al funcției $w=xyz$ în punctul $(1;2;1)$ pentru $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\, \, \Delta z=0,1$.

Soluţie:

Prin definiția incrementului parțial găsim:

$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - increment parțial al funcției $w=f(x,y,z)$ peste $x$

$\Delta _(y) w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - increment parțial al funcției $w=f(x,y,z)$ peste $y$;

$\Delta _(z) w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - increment parțial al funcției $w=f(x,y,z)$ peste $z$;

Prin definiția incrementului total găsim:

$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - increment total al funcției $w=f(x,y,z)$.

Prin urmare,

\[\Delta _(x) w=(1+0.1)\cdot 2\cdot 1=2.2\] \[\Delta _(y) w=1\cdot (2+0.1)\ cdot 1=2.1\] \[\Delta _(y) w=1\cdot 2\cdot (1+0.1)=2.2\] \[\Delta z=(1+0.1) \cdot (2+0.1)\cdot (1+0.1) =1.1\cdot 2.1\cdot 1.1=2.541.\]

Din punct de vedere geometric, incrementul total al funcției $z=f(x,y)$ (prin definiție $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) $) este egal cu incrementul aplicației funcției grafice $z=f(x,y)$ când treceți de la punctul $M(x,y)$ la punctul $M_(1) (x+\Delta x,y+ \Delta y)$ (Fig. 1).

Figura 1.

Foarte ușor de reținut.

Ei bine, să nu mergem departe, să luăm imediat în considerare funcția inversă. Care funcție este inversul funcției exponențiale? Logaritm:

În cazul nostru, baza este numărul:

Un astfel de logaritm (adică un logaritm cu bază) se numește „natural” și folosim o notație specială pentru el: scriem în schimb.

Cu ce este egal? Desigur.

Derivata logaritmului natural este, de asemenea, foarte simplă:

Exemple:

Aflați derivata funcției.
Care este derivata functiei?

Raspunsuri: Logaritmul exponențial și natural sunt funcții unice simple dintr-o perspectivă derivată. Funcțiile exponențiale și logaritmice cu orice altă bază vor avea o derivată diferită, pe care o vom analiza mai târziu, după ce vom parcurge regulile de diferențiere.

Reguli de diferențiere

Reguli de ce? Din nou un nou termen, din nou?!...

Diferenţiere este procesul de găsire a derivatei.

Asta e tot. Ce altceva poți numi acest proces într-un singur cuvânt? Nu derivată... Matematicienii numesc diferenţialul acelaşi increment al unei funcţii la. Acest termen provine din latinescul diferentia - diferenta. Aici.

Când derivăm toate aceste reguli, vom folosi două funcții, de exemplu, și. De asemenea, vom avea nevoie de formule pentru incrementele lor:

Sunt 5 reguli în total.

Constanta este scoasă din semnul derivatului.

Dacă - un număr constant (constant), atunci.

Evident, această regulă funcționează și pentru diferența: .

Să demonstrăm. Să fie, sau mai simplu.

Exemple.

Aflați derivatele funcțiilor:

la un punct;
la un punct;
la un punct;
la punct.

Solutii:

(derivata este aceeași în toate punctele, deoarece aceasta funcţie liniară, îți amintești?);

Derivat al produsului

Totul este similar aici: să introducem o nouă funcție și să găsim incrementul acesteia:

Derivat:

Exemple:

Aflați derivatele funcțiilor și;
Aflați derivata funcției într-un punct.

Solutii:

Derivată a unei funcții exponențiale

Acum cunoștințele tale sunt suficiente pentru a învăța cum să găsești derivata oricărei funcții exponențiale și nu doar exponenți (ai uitat încă ce este asta?).

Deci, unde este un număr.

Știm deja derivata funcției, așa că să încercăm să aducem funcția noastră la o nouă bază:

Pentru aceasta vom folosi regula simpla: . Apoi:

Ei bine, a funcționat. Acum încercați să găsiți derivata și nu uitați că această funcție este complexă.

A funcționat?

Iată, verifică-te:

Formula s-a dovedit a fi foarte asemănătoare cu derivata unui exponent: așa cum a fost, rămâne aceeași, a apărut doar un factor, care este doar un număr, dar nu o variabilă.

Exemple:
Aflați derivatele funcțiilor:

Raspunsuri:

Acesta este doar un număr care nu poate fi calculat fără un calculator, adică nu mai poate fi notat în formă simplă. Prin urmare, îl lăsăm în această formă în răspuns.

Rețineți că aici este un coeficient de două funcții, așa că aplicăm regula de diferențiere corespunzătoare:

În acest exemplu, produsul a două funcții:

Derivată a unei funcții logaritmice

Este similar și aici: știți deja derivata logaritmului natural:

Prin urmare, pentru a găsi un logaritm arbitrar cu o bază diferită, de exemplu:

Trebuie să reducem acest logaritm la bază. Cum schimbi baza unui logaritm? Sper să vă amintiți această formulă:

Abia acum vom scrie în schimb:

Numitorul este pur și simplu o constantă (un număr constant, fără o variabilă). Derivata se obține foarte simplu:

Derivate ale funcțiilor exponențiale și logaritmice nu se găsesc aproape niciodată în examenul de stat unificat, dar nu va fi de prisos să le cunoaștem.

Derivată a unei funcții complexe.

Ce s-a întâmplat " functie complexa"? Nu, acesta nu este un logaritm și nu o arctangentă. Aceste funcții pot fi greu de înțeles (deși dacă ți se pare dificil logaritmul, citește subiectul „Logaritmi” și vei fi bine), dar din punct de vedere matematic, cuvântul „complex” nu înseamnă „dificil”.

Imaginați-vă o bandă rulantă mică: două persoane stau și fac niște acțiuni cu unele obiecte. De exemplu, primul învelește un baton de ciocolată într-un ambalaj, iar al doilea îl leagă cu o panglică. Rezultatul este un obiect compozit: un baton de ciocolată înfășurat și legat cu o panglică. Pentru a mânca batonul de ciocolată, trebuie să faceți pașii inversați în ordine inversă.

Să creăm o conductă matematică similară: mai întâi vom găsi cosinusul unui număr, apoi vom pătrat numărul rezultat. Așadar, ni se dă un număr (ciocolată), îi găsesc cosinus (înveliș), iar apoi pătrați ceea ce am primit (legați-l cu o panglică). Ce s-a întâmplat? Funcţie. Acesta este un exemplu de funcție complexă: când, pentru a-i găsi valoarea, executăm prima acțiune direct cu variabila, iar apoi o a doua acțiune cu ceea ce a rezultat din prima.

Cu alte cuvinte, o funcție complexă este o funcție al cărei argument este o altă funcție: .

Pentru exemplul nostru, .

Putem face cu ușurință aceiași pași în ordine inversă: mai întâi îl pătrați, iar apoi caut cosinusul numărului rezultat: . Este ușor de ghicit că rezultatul va fi aproape întotdeauna diferit. O caracteristică importantă a funcțiilor complexe: atunci când ordinea acțiunilor se schimbă, funcția se schimbă.

Al doilea exemplu: (același lucru). .

Acțiunea pe care o facem ultima va fi numită funcția „externă”., iar acțiunea efectuată prima - în consecință funcția „internă”.(acestea sunt nume informale, le folosesc doar pentru a explica materialul într-un limbaj simplu).

Încercați să determinați singur ce funcție este externă și care este internă:

Raspunsuri: Separarea funcțiilor interioare și exterioare este foarte asemănătoare cu schimbarea variabilelor: de exemplu, într-o funcție

Ce acțiune vom efectua mai întâi? Mai întâi, să calculăm sinusul și abia apoi să-l cubăm. Aceasta înseamnă că este o funcție internă, dar una externă.
Iar funcția inițială este compoziția lor: .
Intern: ; extern: .
Examinare: .
Intern: ; extern: .
Examinare: .
Intern: ; extern: .
Examinare: .
Intern: ; extern: .
Examinare: .

Schimbăm variabilele și obținem o funcție.

Ei bine, acum ne vom extrage batonul de ciocolată și vom căuta derivatul. Procedura este întotdeauna inversată: mai întâi căutăm derivata funcției exterioare, apoi înmulțim rezultatul cu derivata funcției interioare. În raport cu exemplul original, arată astfel:

Un alt exemplu:

Deci, să formulăm în sfârșit regula oficială:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

Pare simplu, nu?

Să verificăm cu exemple:

Solutii:

1) Intern: ;

Extern: ;

2) Intern: ;

(doar nu încercați să o tăiați până acum! Nu iese nimic de sub cosinus, vă amintiți?)

3) Intern: ;

Extern: ;

Este imediat clar că aceasta este o funcție complexă pe trei niveluri: la urma urmei, aceasta este deja o funcție complexă în sine și extragem și rădăcina din ea, adică efectuăm a treia acțiune (punem ciocolata într-un ambalaj iar cu o panglică în servietă). Dar nu există niciun motiv să ne fie frică: vom „despacheta” această funcție în aceeași ordine ca de obicei: de la sfârșit.

Adică, mai întâi diferențiem rădăcina, apoi cosinusul și abia apoi expresia dintre paranteze. Și apoi înmulțim totul.

În astfel de cazuri, este convenabil să numerotați acțiunile. Adică să ne imaginăm ce știm. În ce ordine vom efectua acțiuni pentru a calcula valoarea acestei expresii? Să ne uităm la un exemplu:

Cu cât acțiunea este efectuată mai târziu, cu atât funcția corespunzătoare va fi mai „externă”. Secvența acțiunilor este aceeași ca înainte:

Aici cuibărirea este în general pe 4 niveluri. Să stabilim cursul acțiunii.

1. Exprimarea radicală. .

2. Rădăcină. .

3. Sine. .

4. Pătrat. .

5. Punând totul împreună:

DERIVAT. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Derivată a unei funcții- raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului pentru o creștere infinitezimală a argumentului:

Derivate de bază:

Reguli de diferentiere:

Constanta este scoasă din semnul derivat:

Derivată a sumei:

Derivat al produsului:

Derivată a coeficientului:

Derivata unei functii complexe:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

Definim funcția „internă” și găsim derivata ei.
Definim funcția „externă” și găsim derivata ei.
Înmulțim rezultatele primului și celui de-al doilea punct.

În raport cu funcția $z=f(x,y)$, să luăm în considerare conceptele de incrementări generale (totale) și parțiale ale unei funcții.

Fie dată o funcție $z=f(x,y)$ din două variabile independente $(x,y)$.

Nota 1

Deoarece variabilele $(x,y)$ sunt independente, una dintre ele se poate schimba, în timp ce cealaltă rămâne constantă.

Să dăm variabilei $x$ un increment de $\Delta x$, păstrând în același timp valoarea variabilei $y$ neschimbată.

Atunci funcția $z=f(x,y)$ va primi un increment, care va fi numit increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ față de variabila $x$. Desemnare:

În mod similar, vom da variabilei $y$ un increment de $\Delta y$, păstrând în același timp valoarea variabilei $x$ neschimbată.

Atunci funcția $z=f(x,y)$ va primi un increment, care va fi numit increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ față de variabila $y$. Desemnare:

Dacă argumentului $x$ i se dă un increment $\Delta x$, iar argumentului $y$ îi este dat un increment $\Delta y$, atunci incrementul complet al funcției date $z=f(x,y)$ se obtine. Desemnare:

Astfel avem:

$\Delta _(x) z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ cu $x$;

$\Delta _(y) z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ cu $y$;

$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - increment total al funcției $z=f(x,y)$.

Exemplul 1

Soluţie:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$ - increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ peste $x$;

$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ - increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ față de $y$.

$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - increment total al funcției $z=f(x,y)$.

Exemplul 2

Calculați incrementul parțial și total al funcției $z=xy$ în punctul $(1;2)$ pentru $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1$.

Soluţie:

Prin definiția incrementului parțial găsim:

$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ - increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ peste $x$

$\Delta _(y) z=x\cdot (y+\Delta y)$ - increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ cu $y$;

Prin definiția incrementului total găsim:

$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - increment total al funcției $z=f(x,y)$.

Prin urmare,

\[\Delta _(x) z=(1+0.1)\cdot 2=2.2\] \[\Delta _(y) z=1\cdot (2+0.1)=2.1 \] \[\Delta z= (1+0,1)\cdot (2+0,1)=1,1\cdot 2,1=2,31.\]

Nota 2

Exemplul 3

Verificați observațiile de afirmație pentru funcție

Soluţie:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$; $\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (obținut în exemplul 1)

Să găsim suma incrementelor parțiale ale unei funcții date $z=f(x,y)$

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z\ne \Delta z.\]

Definiția 2

Notație: $w=f(x,y,z)$.

Definiția 3

Notație: $w=f(x,y,z,...,t)$.

Pentru o funcție de trei sau mai multe variabile, în același mod ca și pentru o funcție de două variabile, se determină incremente parțiale pentru fiecare dintre variabile:

$\Delta _(z) w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - increment parțial al funcției $w=f(x,y,z,... ,t )$ cu $z$;

$\Delta _(t) w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - increment parțial al funcției $w =f (x,y,z,...,t)$ cu $t$.

Exemplul 4

Scrieți funcții de creștere parțială și totală

Soluţie:

Prin definiția incrementului parțial găsim:

$\Delta _(x) w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - increment parțial al funcției $w=f(x,y,z)$ peste $x$

$\Delta _(y) w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - increment parțial al funcției $w=f(x,y,z)$ peste $y$;

$\Delta _(z) w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - increment parțial al funcției $w=f(x,y,z)$ peste $z$;

Prin definiția incrementului total găsim:

$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - increment total al funcției $w=f(x,y,z)$.

Exemplul 5

Calculați incrementul parțial și total al funcției $w=xyz$ în punctul $(1;2;1)$ pentru $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\, \, \Delta z=0,1$.

Soluţie:

Prin definiția incrementului parțial găsim:

$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - increment parțial al funcției $w=f(x,y,z)$ peste $x$

$\Delta _(y) w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - increment parțial al funcției $w=f(x,y,z)$ peste $y$;

$\Delta _(z) w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - increment parțial al funcției $w=f(x,y,z)$ peste $z$;

Prin definiția incrementului total găsim:

$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - increment total al funcției $w=f(x,y,z)$.

Prin urmare,

Figura 1.