liniile l1 și l2 se numesc înclinate dacă nu se află în același plan. Fie a și b vectorii de direcție ai acestor drepte, iar punctele M1 și M2 aparțin dreptelor l1 și, respectiv, l2

Atunci vectorii a, b, M1M2> nu sunt coplanari și, prin urmare, lor munca mixta nu este egal cu zero, adică (a, b, M1M2>) =/= 0. Afirmația inversă este de asemenea adevărată: dacă (a, b, M1M2>) =/= 0, atunci vectorii a, b, M1M2> nu sunt coplanare și, prin urmare, dreptele l1 și l2 nu se află în același plan, adică se intersectează. Astfel, două drepte se intersectează dacă și numai dacă condiția (a, b, M1M2>) =/= 0 este îndeplinită. , unde a și b sunt vectorii de direcție ai dreptelor, iar M1 și M2 sunt punctele aparținând, respectiv, acestor drepte. Condiția (a, b, M1M2>) = 0 este o condiție necesară și suficientă pentru faptul că dreptele se află în același plan. Dacă dreptele sunt date de ecuaţiile lor canonice

atunci a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), M1 (x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2) și condiția (2) se scrie după cum urmează:

Distanța dintre liniile de trecere

aceasta este distanța dintre una dintre liniile care se intersectează și un plan paralel cu acesta, care trece printr-o altă linie. linia.

26.Definiția unei elipse, ecuație canonică. Derivarea ecuației canonice. Proprietăți.

O elipsă este locul geometric al punctelor dintr-un plan pentru care suma distanțelor la două puncte focalizate F1 și F2 ale acestui plan, numite focare, este o valoare constantă. În acest caz, coincidența focarelor elipsei este nu exclus. Dacă aromele coincid, atunci elipsa este un cerc.

Descrie o elipsă centrată la origine, ale cărei axe coincid cu axele de coordonate.

Dacă în partea dreaptă există o unitate cu semnul minus, atunci ecuația rezultată este:

descrie o elipsă imaginară. Este imposibil să descriem o astfel de elipsă în planul real Să notăm focarele cu F1 și F2, iar distanța dintre ele cu 2c și suma distanțelor de la un punct arbitrar al elipsei la focare cu 2a.

Pentru a deriva ecuația elipsei, alegem sistemul de coordonate Oxy astfel încât focarele F1 și F2 să se afle pe axa Ox, iar originea să coincidă cu mijlocul segmentului F1F2. Atunci focarele vor avea următoarele coordonate: și Fie M(x;y) un punct arbitrar al elipsei. Apoi, conform definiției unei elipse, i.e.

Aceasta, în esență, este ecuația unei elipse.

27. Definiția unei hiperbole, ecuație canonică. Derivarea ecuației canonice. Proprietăți

O hiperbolă este un loc geometric al punctelor dintr-un plan pentru care valoarea absolută a diferenței de distanță față de două puncte fixe F1 și F2 ale acestui plan, numite focare, este o valoare constantă Fie M(x;y). punctul hiperbolei. Apoi, conform definiției hiperbolei |MF 1 – MF 2 |=2a sau MF 1 – MF 2 =±2a,

28. Definiția unei parabole, ecuație canonică. Derivarea ecuației canonice. Proprietăți. O parabolă este HMT a unui plan pentru care distanța până la un punct fix F al acestui plan este egală cu distanța până la o dreaptă fixă, situată de asemenea în planul în cauză. F – focarul parabolei; linia fixă ​​este directricea parabolei. r=d,

r=; d=x+p/2; (x-p/2) 2 +y 2 =(x+p/2) 2; x 2 -xp+p 2 /4+y 2 =x 2 +px+p 2 /4; y 2 =2px;

Proprietăți: 1. O parabolă are o axă de simetrie (axa parabolei); 2.Toate

parabola este situată în semiplanul drept al planului Oxy la p>0, iar în stânga

dacă p<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.

"

Teorema. Dacă o dreaptă se află într-un plan dat și o altă linie intersectează acest plan într-un punct care nu aparține primei linii, atunci aceste două linii se intersectează. Semn de trecere a liniilor Dovada. Fie că linia a se află în plan, iar linia b intersectează planul în punctul B, care nu aparține dreptei a. Dacă liniile a și b se află în același plan, atunci și punctul B s-ar afla în acest plan Deoarece există un singur plan care trece prin linie și un punct în afara acestei linii, atunci acest plan trebuie să fie un plan. Dar apoi linia dreaptă b s-ar afla în plan, ceea ce contrazice condiția. În consecință, liniile drepte a și b nu se află în același plan, adică se încrucișează.

Câte perechi de linii oblice există care conțin marginile unei prisme triunghiulare regulate? Soluție: Pentru fiecare muchie a bazelor există trei muchii care se intersectează cu ea. Pentru fiecare margine laterală există două nervuri care se intersectează cu ea. Prin urmare, numărul necesar de perechi de linii oblice este Exercițiul 5

Câte perechi de linii oblice există care conțin marginile unei prisme hexagonale obișnuite? Soluție: Fiecare margine a bazei participă la 8 perechi de linii de încrucișare. Fiecare margine laterală participă la 8 perechi de linii de încrucișare. Prin urmare, numărul necesar de perechi de linii oblice este Exercițiul 6

AG.40. Distanța dintre două linii de trecere

În coordonate

FMP.3. INCREMENT COMPLET

funcții ale mai multor variabile - incrementul câștigat de o funcție atunci când toate argumentele primesc incremente (în general, diferite de zero). Mai precis, să fie definită funcția f într-o vecinătate a punctului

spațiu n-dimensional al variabilelor x 1,. . ., x p. Creştere

funcția f în punctul x (0), unde

numit increment complet dacă este considerat ca o funcție a n incremente posibile D x 1, . . ., D x n argumente x 1,. .., x p, numai cu condiția ca punctul x (0) + Dx să aparțină domeniului de definire al funcției f. Împreună cu incrementele parțiale ale funcției, sunt luate în considerare incrementele parțiale ale lui D x k f funcția f în punctul x (0) în variabilă xk, adică astfel de incremente Df, pentru care Dx уj =0, j=1, 2, . . ., k- 1, k+1, . . ., p, k - fix (k=1, 2,..., n).

FMP.4. R: Creșterea parțială a funcției z = (x, y) față de x este diferența cu creșterea parțială față de

A: Derivata parțială față de x a funcției z = (x, y) este limita raportului dintre incrementul parțial și incrementul Ax, deoarece acesta din urmă tinde spre zero:

Alte notații: Similar pentru variabile -

noah tu.

Observând că este determinată pentru o constantă y și pentru o constantă x, putem formula o regulă: derivata parțială față de x a funcției z = (x, y) este derivata obișnuită față de x, calculată sub ipoteza că y = const. În mod similar, pentru a calcula derivata parțială față de y, trebuie să presupunem x = const. Astfel, regulile de calcul a derivatelor parțiale sunt aceleași ca și în cazul unei funcții a unei variabile.

FMP.5. Continuitatea funcțiilor. Definiția continuității unei funcții

O funcție se numește continuă într-un punct dacă una dintre condițiile echivalente este îndeplinită:

2) pentru o secvență arbitrară ( x n) valori care converg la n→ ∞ până la obiect x 0 , secvența corespunzătoare ( f(x n)) valorile funcției converg la n→ ∞ k f(x 0);

3) sau f(x) - f(x 0) → 0 la x - x 0 → 0;

4) astfel încât sau, care este același lucru,

f: ]x 0 - δ , x 0 + δ [ → ]f(x 0) - ε , f(x 0) + ε [.

Din definiția continuității unei funcții f la punct x 0 rezultă că

Dacă funcţia f continuă în fiecare punct al intervalului] o, b[, apoi funcția f numit continuu pe acest interval.

FMP.6. În analiza matematică, derivat parțial- una dintre generalizările conceptului de derivată la cazul unei funcţii a mai multor variabile.

În mod explicit derivata parțială a funcției f este definită după cum urmează:

Graficul unei funcții z = x² + xy + y². Derivată parțială la punctul (1, 1, 3) la constantă y corespunde unghiului de înclinare a unei linii tangente paralele cu planul xz.

Secțiuni ale graficului prezentate mai sus în plan y= 1

Vă rugăm să rețineți că desemnarea trebuie înțeleasă ca întreg simbol, spre deosebire de derivata obișnuită a unei funcții a unei variabile, care poate fi reprezentată ca raportul dintre diferențele funcției și argument. Totuși, derivata parțială poate fi reprezentată și ca raport al diferențialelor, dar în acest caz este necesar să se indice cu ce variabilă este incrementată funcția: , unde d x f- diferenţa parţială a funcţiei f faţă de variabila x. Adesea, lipsa de înțelegere a faptului integrității unui simbol este cauza erorilor și a neînțelegerilor, cum ar fi o abreviere în expresie. (pentru mai multe detalii, vezi Fichtenholtz, „Curs de calcul diferențial și integral”).

Geometric, derivata parțială este derivata față de direcția uneia dintre axele de coordonate. Derivată parțială a unei funcții fîntr-un punct de-a lungul coordonatei x k este egală cu derivata față de direcția în care unitatea este pornită k-locul al-lea.

LA 76) Syst. Ecuația se numește Cramer dacă numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute.

LA 77-78) Syst. se numește articulație dacă are cel puțin o soluție, iar în caz contrar inconsistent.

LA 79-80) Sistem articular. numit definit dacă are o singură soluție, iar nedefinit în caz contrar.

LA 81) ...determinantul sistemului Cramer era diferit de zero

LA 169) Pentru ca sistemul să fie consistent, este necesar și suficient ca rangul matricei să fie egal cu rangul matricei extinse = .

LA 170) Dacă determinantul sistemului Cramer este diferit de zero, atunci sistemul este definit, iar soluția acestuia poate fi găsită folosind formulele

LA 171) 1. Găsiți soluția sistemului de ecuații Cramer folosind metoda matricei; 2.. Să scriem sistemul sub formă de matrice; 3. Să calculăm determinantul sistemului folosind proprietăţile acestuia: 4. Apoi scrie matricea inversă A-1; 5. Prin urmare

LA 172) Sistem omogen de ecuații liniare AX = 0. Un sistem omogen este întotdeauna consistent deoarece are cel puțin o soluție

LA 173) Dacă cel puțin unul dintre determinanții , , nu este egal cu zero, atunci toate soluțiile sistemului (1) vor fi determinate prin formulele , , , unde t este un număr arbitrar. Fiecare soluție individuală se obține la o anumită valoare a lui t.

LA 174) Mulțimea soluțiilor este omogenă. sistemele se numesc sistem fundamental de soluții dacă: 1) liniar independente; 2) orice soluție a sistemului este o combinație liniară de soluții.

AG118. Ecuația generală a planului este...

Ecuația unui plan de formă se numește ecuația planului general.

AG119.Dacă planul a este descris de ecuația Ax+D=0, atunci...

PR 10.Ce este o mărime infinitezimală și care sunt proprietățile ei de bază?

PR 11. Ce cantitate se numește infinit mare? Care este legătura ei

cu infinitezimal?

PR12.K Ce relație limitativă se numește prima limită remarcabilă? Prima limită remarcabilă este înțeleasă ca relație limitativă

PR 13 Ce relație limitativă se numește a doua limită remarcabilă?

PR 14 Ce perechi de funcții echivalente cunoașteți?

CR64 Care serie se numește armonică? În ce condiție converge?

Se numește o serie a formei armonic.

CR 65.Care este suma unei progresii descrescătoare infinite?

CR66. Ce afirmație se înțelege prin prima teoremă de comparație?

Să fie date două serii pozitive

Dacă, cel puțin dintr-un punct (să zicem, pentru ), inegalitatea: , atunci din convergența seriei rezultă convergența seriei, sau - ceea ce este același lucru - din divergența seriei rezultă divergența seriei. serie.

CR67. Ce afirmație se înțelege prin a doua teoremă de comparație?

Să presupunem că. Dacă există o limită

apoi când ambele serii converg sau diverg simultan.

CR 45 Formulați criteriul necesar pentru convergența unei serii.

Dacă o serie are o sumă finită, atunci se numește convergentă.

CR 29 O serie armonică este o serie de forma... Converge când

Se numește o serie a formei armonic. Astfel, seria armonică converge la și diverge la .

AG 6. Un sistem ordonat de vectori liniar independenți care se află pe o dreaptă dată (într-un plan dat, în spațiu) se numește bază pe această dreaptă (pe acest plan, în spațiu) dacă vreun vector situat pe o dreaptă dată (într-un plan dat, în spațiu ) poate fi reprezentat ca o combinație liniară de vectori ai acestui sistem liniar independent.

Orice pereche de vectori necoliniari situati intr-un plan dat formeaza o baza pe acest plan.

AG 7. Un sistem ordonat de vectori liniar independenți care se află pe o dreaptă dată (într-un plan dat, în spațiu) se numește bază pe această dreaptă (pe acest plan, în spațiu) dacă vreun vector situat pe o dreaptă dată (într-un plan dat, spațiu ) poate fi reprezentat ca o combinație liniară de vectori ai acestui sistem liniar independent.

Orice triplu de vectori necoplanari formează o bază în spațiu.

AG 8, Coeficienții expansiunii unui vector pe o bază se numesc coordonatele acestui vector într-o bază dată. Pentru a găsi coordonatele unui vector cu un început și un sfârșit dat, trebuie să scădeți coordonatele începutului său din coordonatele sfârșitului vectorului: dacă , , atunci .

AG 9.a) Să construim un vector (se numește un vector cu un început într-un punct și un sfârșit într-un punct vector raza punctului ).

AG 10. Nu, pentru că Măsura radianilor unghiului dintre doi vectori este întotdeauna între și

AG 11. Un scalar este orice număr real. Produs punctual doi vectori și numărul se numește egal cu produsul modulelor lor și cosinusul unghiului dintre ei.

AG 12. putem calcula distanța dintre puncte, vectorii de bază, unghiul dintre vectori.

AG 13. Produsul vectorial al unui vector și al unui vector este al treilea vector care are următoarele proprietăți:

Lungimea sa este

Vectorul este perpendicular pe planul în care vectorii și

Liniile de trecere sunt ușor de recunoscut după aceste caracteristici. Semnul 1. Dacă există patru puncte pe două drepte care nu se află în același plan, atunci aceste drepte se intersectează (Fig. 1.21).

Într-adevăr, dacă aceste drepte s-ar intersecta sau ar fi paralele, atunci ele s-ar afla în același plan și atunci punctele date s-ar afla în același plan, ceea ce contrazice condiția.

Semnul 2. Dacă dreapta O se află în plan și dreapta b intersectează planul a la un moment dat

M nu se află pe linia a, apoi liniile a și b se intersectează (fig. 1.22).

Într-adevăr, luând oricare două puncte de pe linia a și oricare două puncte de pe linia b, ajungem la criteriul 1, adică. a și b sunt încrucișate.

Exemple reale de linii de trecere sunt oferite de nodurile de transport (Fig. 1.23).

În spațiu, există, într-un anumit sens, mai multe perechi de drepte care se intersectează decât perechi de linii paralele sau care se intersectează. Se poate explica astfel.

Să luăm în spațiu un punct A și o dreaptă a care nu trece prin punctul A. Pentru a trasa o dreaptă paralelă cu dreapta a prin punctul A, trebuie să desenăm un plan a prin punctul A și dreapta a (Propunerea 2 din clauza 1.1). ), apoi în plan și trasați o dreaptă b paralelă cu linia a (Fig. 1.24).

Există o singură astfel de linie b. Toate liniile care trec prin punctul A și linia de intersectare O se află, de asemenea, în planul a și le umple pe toate, cu excepția dreptei b. Toate celelalte linii care trec prin A și umplu tot spațiul, cu excepția planului a, se vor intersecta cu linia a. Putem spune că liniile care se intersectează în spațiu sunt un caz general, iar liniile care se intersectează și paralele sunt cazuri speciale. „Mișcările mici” ale liniilor de trecere le lasă să se traverseze. Dar proprietățile de a fi paralel sau de a se intersecta cu „mișcări mici” în spațiu nu sunt păstrate.