teorema lui Vieta. Exemple de soluții. Teorema lui Vieta: exemple de utilizare a acesteia atunci când lucrați cu ecuații pătratice Teorema lui Vieta

În această prelegere ne vom familiariza cu curioasele relații dintre rădăcini ecuație pătraticăși coeficienții săi. Aceste relații au fost descoperite pentru prima dată de matematicianul francez François Viète (1540-1603).

De exemplu, pentru ecuația 3x 2 - 8x - 6 = 0, fără a-i găsi rădăcinile, puteți, folosind teorema lui Vieta, să spuneți imediat că suma rădăcinilor este egală cu , iar produsul rădăcinilor este egal cu
adică - 2. Și pentru ecuația x 2 - 6x + 8 = 0 concluzionăm: suma rădăcinilor este 6, produsul rădăcinilor este 8; Apropo, nu este greu de ghicit cu ce sunt egale rădăcinile: 4 și 2.
Dovada teoremei lui Vieta. Rădăcinile x 1 și x 2 ale ecuației pătratice ax 2 + bx + c = 0 se găsesc prin formulele

Unde D = b 2 - 4ac este discriminantul ecuației. După ce a pus aceste rădăcini împreună,
primim

Acum să calculăm produsul rădăcinilor x 1 și x 2. Avem

A doua relație a fost dovedită:
Comentariu. Teorema lui Vieta este valabilă și în cazul în care ecuația pătratică are o rădăcină (adică când D = 0), pur și simplu se presupune în acest caz că ecuația are două rădăcini identice, cărora li se aplică relațiile de mai sus.
Relațiile dovedite pentru ecuația pătratică redusă x 2 + px + q = 0 iau o formă deosebit de simplă În acest caz, obținem:

x 1 = x 2 = -p, x 1 x 2 =q
aceste. suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse este egală cu al doilea coeficient luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber.
Folosind teorema lui Vieta, puteți obține alte relații între rădăcinile și coeficienții unei ecuații pătratice. Fie, de exemplu, x 1 și x 2 rădăcinile ecuației pătratice reduse x 2 + px + q = 0. Atunci

Totuși, scopul principal al teoremei lui Vieta nu este că ea exprimă unele relații între rădăcinile și coeficienții unei ecuații pătratice. Mult mai important este că, folosind teorema lui Vieta, se derivă o formulă de factorizare a unui trinom pătratic, de care nu ne vom putea lipsi în viitor.

Dovada. Avem

Exemplul 1. Factorizați trinomul pătratic 3x 2 - 10x + 3.
Soluţie. După ce am rezolvat ecuația 3x 2 - 10x + 3 = 0, găsim rădăcinile trinomului pătrat 3x 2 - 10x + 3: x 1 = 3, x2 = .
Folosind teorema 2, obținem

În schimb, are sens să scriem 3x - 1. Apoi obținem în sfârșit 3x 2 - 10x + 3 = (x - 3)(3x - 1).
Rețineți că un trinom pătratic dat poate fi factorizat fără a aplica teorema 2, folosind metoda de grupare:

3x 2 - 10x + 3 = 3x 2 - 9x - x + 3 =
= 3x (x - 3) - (x - 3) = (x - 3) (3x - 1).

Dar, după cum puteți vedea, succesul cu această metodă depinde dacă reușim să găsim o grupare de succes sau nu, în timp ce cu prima metodă succesul este garantat.
Exemplul 1. Reduceți o fracție

Soluţie. Din ecuația 2x 2 + 5x + 2 = 0 găsim x 1 = - 2,

Din ecuația x2 - 4x - 12 = 0 găsim x 1 = 6, x 2 = -2. De aceea
x 2 - 4x - 12 = (x - 6) (x - (- 2)) = (x - 6) (x + 2).
Acum să reducem fracția dată:

Exemplul 3. Factorizați expresiile:
a)x4 + 5x 2 +6; b)2x+-3
Rezolvare a) Să introducem o nouă variabilă y = x2. Acest lucru vă va permite să rescrieți expresia dată sub forma unui trinom pătratic față de variabila y, și anume sub forma y 2 + by + 6.
După ce am rezolvat ecuația y 2 + bу + 6 = 0, găsim rădăcinile trinomului pătratic y 2 + 5у + 6: y 1 = - 2, y 2 = -3. Acum să folosim teorema 2; primim

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Rămâne să ne amintim că y = x 2, adică revenirea la expresia dată. Aşa,
x 4 + 5x 2 + 6 = (x 2 + 2)(x 2 + 3).
b) Să introducem o nouă variabilă y = . Acest lucru vă va permite să rescrieți expresia dată sub forma unui trinom pătratic față de variabila y și anume sub forma 2y 2 + y - 3. După ce am rezolvat ecuația
2y 2 + y - 3 = 0, găsiți rădăcinile trinomului pătrat 2y 2 + y - 3:
y 1 = 1, y 2 = . În continuare, folosind teorema 2, obținem:

Rămâne să ne amintim că y = , adică revenirea la expresia dată. Aşa,

La sfârșitul secțiunii - un raționament, din nou legat de teorema lui Vieta, sau mai degrabă, de afirmația inversă:
dacă numerele x 1, x 2 sunt astfel încât x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 = q, atunci aceste numere sunt rădăcinile ecuației
Folosind această afirmație, puteți rezolva multe ecuații pătratice pe cale orală, fără a utiliza formule greoaie ale rădăcinilor și, de asemenea, puteți compune ecuații pătratice cu rădăcini date. Să dăm exemple.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. Aici x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. Este ușor de ghicit că x 1 = 8, x 2 = 3.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. Aici x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. Este ușor de ghicit că x 1 = -5, x 2 = -6.
Rețineți că dacă termenul inactiv al ecuației este un număr pozitiv, atunci ambele rădăcini sunt fie pozitive, fie negative; Acest lucru este important de luat în considerare atunci când alegeți rădăcini.

3) x 2 + x - 12 = 0. Aici x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. Este ușor de ghicit că x 1 = 3, x2 = -4.
Vă rugăm să rețineți: dacă termenul liber al ecuației este un număr negativ, atunci rădăcinile au semne diferite; Acest lucru este important de luat în considerare atunci când alegeți rădăcini.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. Este ușor de observat că x = 1 satisface ecuația, adică. x 1 = 1 este rădăcina ecuației. Deoarece x 1 x 2 = - și x 1 = 1, obținem că x 2 = -.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Aici x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Dacă acordați atenție faptului că 2830 = 283. 10 și 293 = 283 + 10, atunci devine clar că x 1 = 283, x 2 = 10 (acum imaginați-vă ce calcule ar trebui efectuate pentru a rezolva această ecuație pătratică folosind formule standard).

6) Să compunem o ecuație pătratică astfel încât rădăcinile ei să fie numerele x 1 = 8, x 2 = - 4. De obicei, în astfel de cazuri alcătuim ecuația pătratică redusă x 2 + px + q = 0.
Avem x 1 + x 2 = -p, deci 8 - 4 = -p, adică p = -4. În plus, x 1 x 2 = q, adică. 8 «(-4) = q, din care obținem q = -32. Deci, p = -4, q = -32, ceea ce înseamnă că ecuația pătratică necesară are forma x 2 -4x-32 = 0.

În clasa a VIII-a, elevii sunt introduși în ecuațiile pătratice și cum să le rezolve. În același timp, după cum arată experiența, majoritatea studenților, atunci când rezolvă ecuații pătratice complete, folosesc o singură metodă - formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice. Pentru studenții care au abilități bune de aritmetică mentală, această metodă este în mod clar irațională. Elevii trebuie adesea să rezolve ecuații patratice chiar și în liceu și acolo este pur și simplu păcat să petreci timp calculând discriminantul. După părerea mea, atunci când studiem ecuațiile pătratice, ar trebui să se acorde mai mult timp și atenție aplicării teoremei lui Vieta (conform programului A.G. Mordkovich Algebra-8, sunt planificate doar două ore pentru studierea temei „Teorema lui Vieta. Descompunerea unui pătratic. trinom în factori liniari”).

În majoritatea manualelor de algebră, această teoremă este formulată pentru ecuația pătratică redusă și afirmă că dacă ecuația are rădăcini și , atunci egalitățile , , sunt satisfăcute pentru ele. Apoi, se formulează o afirmație conversată cu teorema lui Vieta și se oferă o serie de exemple pentru a lucra pe această temă.

Să luăm exemple specifice și să urmărim logica soluției folosind teorema lui Vieta.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația.

Să presupunem că această ecuație are rădăcini, și anume și . Apoi, conform teoremei lui Vieta, egalitățile trebuie să aibă loc simultan:

Vă rugăm să rețineți că produsul rădăcinilor este un număr pozitiv. Aceasta înseamnă că rădăcinile ecuației sunt de același semn. Și deoarece suma rădăcinilor este și un număr pozitiv, concluzionăm că ambele rădăcini ale ecuației sunt pozitive. Să revenim din nou la produsul rădăcinilor. Să presupunem că rădăcinile ecuației sunt numere întregi pozitive. Atunci prima egalitate corectă poate fi obținută numai în două moduri (până la ordinea factorilor): sau . Să verificăm pentru perechile de numere propuse fezabilitatea celei de-a doua afirmații a teoremei lui Vieta: . Astfel, numerele 2 și 3 satisfac ambele egalități și, prin urmare, sunt rădăcinile ecuației date.

Răspuns: 2; 3.

Să evidențiem principalele etape ale raționamentului atunci când rezolvăm ecuația pătratică de mai sus folosind teorema lui Vieta:

notează enunţul teoremei lui Vieta

(*)

determinați semnele rădăcinilor ecuației (Dacă produsul și suma rădăcinilor sunt pozitive, atunci ambele rădăcini sunt numere pozitive. Dacă produsul rădăcinilor este un număr pozitiv, iar suma rădăcinilor este negativă, atunci ambele rădăcini sunt numere negative Dacă produsul rădăcinilor este un număr negativ, atunci rădăcinile au semne diferite.
Mai mult, dacă suma rădăcinilor este pozitivă, atunci rădăcina cu un modul mai mare este un număr pozitiv, iar dacă suma rădăcinilor este mai mică decât zero, atunci rădăcina cu un modul mai mare este un număr negativ);
selectați perechi de numere întregi al căror produs dă prima egalitate corectă în notația (*);
din perechile de numere găsite, selectați perechea care, atunci când este înlocuită în a doua egalitate din notația (*), va da egalitatea corectă;

indicați în răspunsul dvs. rădăcinile găsite ale ecuației.

Să dăm mai multe exemple. .

Exemplul 2: Rezolvați ecuația

Soluţie.

Fie și rădăcinile ecuației date. Apoi, prin teorema lui Vieta, observăm că produsul este pozitiv, iar suma este un număr negativ. Aceasta înseamnă că ambele rădăcini sunt numere negative. Selectăm perechi de factori care dau un produs de 10 (-1 și -10; -2 și -5). A doua pereche de numere adună până la -7. Aceasta înseamnă că numerele -2 și -5 sunt rădăcinile acestei ecuații. -2; -5.

Răspuns: .

Exemplul 2: Rezolvați ecuația

Exemplul 3: Rezolvați ecuația

Fie și rădăcinile ecuației date. Apoi, prin teorema lui Vieta, observăm că produsul este negativ. Aceasta înseamnă că rădăcinile au semne diferite. Suma rădăcinilor este, de asemenea, un număr negativ. Aceasta înseamnă că rădăcina cu cel mai mare modul este negativă. Selectăm perechi de factori care dau produsul -10 (1 și -10; 2 și -5). A doua pereche de numere adună până la -3. Aceasta înseamnă că numerele 2 și -5 sunt rădăcinile acestei ecuații. Rețineți că teorema lui Vieta poate fi formulată, în principiu, pentru o ecuație pătratică completă: are rădăcini și , atunci egalitățile , , sunt satisfăcute pentru ei. Cu toate acestea, aplicarea acestei teoreme este destul de problematică, deoarece într-o ecuație pătratică completă cel puțin una dintre rădăcini (dacă există, desigur) este un număr fracționar. Și lucrul cu selectarea fracțiilor este lung și dificil. Dar totuși există o cale de ieșire.

Luați în considerare ecuația pătratică completă . Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu primul coeficient Oși scrieți ecuația sub forma . Să introducem o nouă variabilă și să obținem ecuația pătratică redusă, ale cărei rădăcini și (dacă sunt disponibile) pot fi găsite folosind teorema lui Vieta. Atunci rădăcinile ecuației inițiale vor fi . Vă rugăm să rețineți că este foarte simplu să creați o ecuație redusă auxiliară: al doilea coeficient este păstrat, iar al treilea coeficient egal cu produsul ac. Cu o anumită abilitate, elevii creează imediat o ecuație auxiliară, îi găsesc rădăcinile folosind teorema lui Vieta și indică rădăcinile ecuației complete date. Să dăm exemple.

Exemplul 4: Rezolvați ecuația .

Să creăm o ecuație auxiliară iar folosind teorema lui Vieta îi vom găsi rădăcinile. Aceasta înseamnă că rădăcinile ecuației originale .

Exemplul 5: Rezolvați ecuația .

Ecuația auxiliară are forma . Conform teoremei lui Vieta, rădăcinile sale sunt . Găsirea rădăcinilor ecuației inițiale .

Și încă un caz când aplicarea teoremei lui Vieta vă permite să găsiți verbal rădăcinile unei ecuații pătratice complete. Nu este greu să demonstrezi asta numărul 1 este rădăcina ecuației , dacă și numai dacă. A doua rădăcină a ecuației este găsită de teorema lui Vieta și este egală cu . Inca o afirmatie: astfel încât numărul –1 este rădăcina ecuației necesar si suficient pentru. Atunci a doua rădăcină a ecuației conform teoremei lui Vieta este egală cu . Afirmații similare pot fi formulate pentru ecuația pătratică dată.

Exemplul 6: Rezolvați ecuația.

Rețineți că suma coeficienților ecuației este zero. Deci, rădăcinile ecuației .

Exemplul 7. Rezolvați ecuația.

Coeficienții acestei ecuații satisfac proprietatea (într-adevăr, 1-(-999)+(-1000)=0). Deci, rădăcinile ecuației .

Exemple de aplicare a teoremei lui Vieta

Sarcina 1. Rezolvați ecuația pătratică dată folosind teorema lui Vieta.

1. 6. 11. 16.
2. 7. 12. 17.
3. 8. 13. 18.
4. 9. 14. 19.
5. 10. 15. 20.

Sarcina 2. Rezolvați ecuația pătratică completă trecând la ecuația pătratică redusă auxiliară.

1. 6. 11. 16.
2. 7. 12. 17.
3. 8. 13. 18.
4. 9. 14. 19.
5. 10. 15. 20.

Sarcina 3. Rezolvați o ecuație pătratică folosind proprietatea.

François Viète (1540-1603) – matematician, creatorul celebrelor formule Viète

teorema lui Vieta necesare pentru solutie rapida ecuații pătratice (în cuvinte simple).

Mai detaliat, atunci Teorema lui Vieta este că suma rădăcinilor unei ecuații pătratice date este egală cu al doilea coeficient, care este luat cu semnul opus, iar produsul este egal cu termenul liber. Orice ecuație pătratică redusă care are rădăcini are această proprietate.

Folosind teorema lui Vieta, puteți rezolva cu ușurință ecuații patratice prin selecție, așa că să-i spunem „mulțumesc” acestui matematician cu o sabie în mână pentru fericita noastră clasă a VII-a.

Dovada teoremei lui Vieta

Pentru a demonstra teorema, puteți folosi formule de rădăcină binecunoscute, datorită cărora vom compune suma și produsul rădăcinilor unei ecuații pătratice. Abia după aceasta ne putem asigura că sunt egale și, în consecință, .

Să presupunem că avem o ecuație: . Această ecuație are următoarele rădăcini: și . Să demonstrăm că , .

Conform formulelor pentru rădăcinile unei ecuații pătratice:

1. Aflați suma rădăcinilor:

Să ne uităm la această ecuație, cum am obținut-o exact așa:

= .

Pasul 1. Reducem fracțiile la numitor comun, se dovedește:

= = .

Pasul 2. Avem o fracție în care trebuie să deschidem parantezele:

Reducem fracția cu 2 și obținem:

Am demonstrat relația pentru suma rădăcinilor unei ecuații pătratice folosind teorema lui Vieta.

2. Aflați produsul rădăcinilor:

= = = = = .

Să demonstrăm această ecuație:

Pasul 1. Există o regulă pentru înmulțirea fracțiilor, conform căreia înmulțim această ecuație:

Acum să ne amintim definiția rădăcină pătratăși luați în considerare:

= .

Pasul 3. Să reamintim discriminantul ecuației pătratice: . Prin urmare, în loc de D (discriminant), înlocuim în ultima fracție, apoi rezultă:

= .

Pasul 4. Deschidem parantezele și reducem termeni similari cu fracția:

Pasul 5. Scurtăm „4a” și obținem .

Deci am demonstrat relația pentru produsul rădăcinilor folosind teorema lui Vieta.

IMPORTANT!Dacă discriminantul este zero, atunci ecuația pătratică are o singură rădăcină.

Conversați teorema cu teorema lui Vieta

Folosind teorema inversă teoremei lui Vieta, putem verifica dacă ecuația noastră este rezolvată corect. Pentru a înțelege teorema în sine, trebuie să o luați în considerare mai detaliat.

Dacă numerele sunt așa:

Și atunci ele sunt rădăcinile ecuației pătratice.

Dovada teoremei inverse a lui Vieta

Pasul 1.Să substituim expresii pentru coeficienții săi în ecuație:

Pasul 2.Să transformăm partea stângă a ecuației:

Pasul 3. Să găsim rădăcinile ecuației și pentru aceasta folosim proprietatea că produsul este egal cu zero:

Sau . De unde vine: sau .

Exemple cu soluții folosind teorema lui Vieta

Exemplul 1

Exercita

Aflați suma, produsul și suma pătratelor rădăcinilor unei ecuații pătratice fără a găsi rădăcinile ecuației.

Soluţie

Pasul 1. Să ne amintim formula discriminantă. Înlocuim literele cu numerele noastre. Adică , – aceasta înlocuiește , și . Din aceasta rezultă:

Se dovedește:

Title="Redată de QuickLaTeX.com" height="13" width="170" style="vertical-align: -1px;">. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение . !}

Să exprimăm suma pătratelor rădăcinilor prin suma și produsul lor:

Răspuns

7; 12; 25.

Exemplul 2

Exercita

Rezolvați ecuația. Cu toate acestea, nu utilizați formule de ecuație pătratică.

Soluţie

Această ecuație are rădăcini al căror discriminant (D) este mai mare decât zero. În consecință, conform teoremei lui Vieta, suma rădăcinilor acestei ecuații este egală cu 4, iar produsul este 5. În primul rând, determinăm divizorii numărului, a căror sumă este egală cu 4. Acestea sunt numerele „ 5” și „-1”. Produsul lor este egal cu 5, iar suma lor este 4. Aceasta înseamnă că, conform teoremei inverse teoremei lui Vieta, ele sunt rădăcinile acestei ecuații.

Răspuns

ŞI Exemplul 4

Exercita

Scrieți o ecuație în care fiecare rădăcină este de două ori mai mare decât rădăcina corespunzătoare a ecuației:

Soluţie

Conform teoremei lui Vieta, suma rădăcinilor acestei ecuații este egală cu 12, iar produsul = 7. Aceasta înseamnă că două rădăcini sunt pozitive.

Suma rădăcinilor noii ecuații va fi egală cu:

Și munca.

Prin teorema inversă teoremei lui Vieta, noua ecuație are forma:

Răspuns

Rezultatul este o ecuație, fiecare rădăcină a cărei rădăcină este de două ori mai mare:

Deci, ne-am uitat la cum să rezolvăm ecuația folosind teorema lui Vieta. Este foarte convenabil să folosiți această teoremă dacă rezolvați probleme care implică semnele rădăcinilor ecuațiilor pătratice. Adică, dacă termenul liber din formulă este un număr pozitiv și dacă ecuația pătratică are rădăcini reale, atunci ambele pot fi fie negative, fie pozitive.

Și dacă termenul liber este un număr negativ și dacă ecuația pătratică are rădăcini reale, atunci ambele semne vor fi diferite. Adică, dacă o rădăcină este pozitivă, atunci cealaltă rădăcină va fi doar negativă.

Surse utile:

Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A Algebra clasa a VIII-a: Moscova „Iluminismul”, 2016 – 318 p.
Rubin A.G., Chulkov P.V – manual Algebră clasa a VIII-a: Moscova „Balass”, 2015 – 237 p.
Nikolsky S. M., Potopav M. K., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. – Algebră clasa a VIII-a: Moscova „Iluminismul”, 2014 – 300

Teorema lui Vieta, formula inversă a lui Vieta și exemple cu soluții pentru manechine actualizat: 22 noiembrie 2019 de: Articole stiintifice.Ru

Teorema lui Vieta este adesea folosită pentru a verifica rădăcinile care au fost deja găsite. Dacă ați găsit rădăcinile, puteți utiliza formulele \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) pentru a calcula valorile \(p \) și \(q\ ). Și dacă se dovedesc a fi la fel ca în ecuația originală, atunci rădăcinile sunt găsite corect.

De exemplu, să rezolvăm, folosind , ecuația \(x^2+x-56=0\) și să obținem rădăcinile: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Să verificăm dacă am făcut o greșeală în procesul de rezolvare. În cazul nostru, \(p=1\) și \(q=-56\). După teorema lui Vieta avem:

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

Ambele afirmații au convergit, ceea ce înseamnă că am rezolvat corect ecuația.

Această verificare se poate face pe cale orală. Va dura 5 secunde și te va scuti de greșeli stupide.

Teorema inversă a lui Vieta

Dacă \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), atunci \(x_1\) și \(x_2\) sunt rădăcinile ecuației pătratice \ (x^ 2+px+q=0\).

Sau într-un mod simplu: dacă aveți o ecuație de forma \(x^2+px+q=0\), atunci rezolvând sistemul \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(cases)\) îi vei găsi rădăcinile.

Datorită acestei teoreme, puteți găsi rapid rădăcinile unei ecuații pătratice, mai ales dacă aceste rădăcini sunt . Această abilitate este importantă pentru că economisește mult timp.

Exemplu . Rezolvați ecuația \(x^2-5x+6=0\).

Soluţie : Folosind teorema inversă a lui Vieta, constatăm că rădăcinile îndeplinesc condițiile: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Priviți a doua ecuație a sistemului \(x_1 \cdot x_2=6\). În ce două poate fi descompus numărul \(6\)? Pe \(2\) și \(3\), \(6\) și \(1\) sau \(-2\) și \(-3\), și \(-6\) și \(- 1\). Prima ecuație a sistemului vă va spune ce pereche să alegeți: \(x_1+x_2=5\). \(2\) și \(3\) sunt similare, deoarece \(2+3=5\).
Răspuns : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Exemple . Folosind inversul teoremei lui Vieta, găsiți rădăcinile ecuației pătratice:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Soluţie :
a) \(x^2-15x+14=0\) – în ce factori se descompune \(14\)? \(2\) și \(7\), \(-2\) și \(-7\), \(-1\) și \(-14\), \(1\) și \(14\). ). Ce perechi de numere însumează \(15\)? Răspuns: \(1\) și \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) – în ce factori se descompune \(-4\)? \(-2\) și \(2\), \(4\) și \(-1\), \(1\) și \(-4\). Ce perechi de numere însumează \(-3\)? Răspuns: \(1\) și \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – în ce factori se descompune \(20\)? \(4\) și \(5\), \(-4\) și \(-5\), \(2\) și \(10\), \(-2\) și \(-10\ ), \(-20\) și \(-1\), \(20\) și \(1\). Ce perechi de numere însumează \(-9\)? Răspuns: \(-4\) și \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) – în ce factori se descompune \(780\)? \(390\) și \(2\). Se vor aduna la \(88\)? Nu. Ce alți multiplicatori are \(780\)? \(78\) și \(10\). Se vor aduna la \(88\)? Da. Răspuns: \(78\) și \(10\).

Nu este necesar să extindem ultimul termen în toți factorii posibili (ca în ultimul exemplu). Puteți verifica imediat dacă suma lor dă \(-p\).

Important! Teorema lui Vieta și teorema inversă funcționează numai cu , adică cu una pentru care coeficientul lui \(x^2\) este egal cu unu. Dacă inițial ni s-a dat o ecuație neredusă, atunci o putem reduce prin simpla împărțire la coeficientul din fața lui \(x^2\).

De exemplu, să fie dată ecuația \(2x^2-4x-6=0\) și vrem să folosim una dintre teoremele lui Vieta. Dar nu putem, deoarece coeficientul lui \(x^2\) este egal cu \(2\). Să scăpăm de ea împărțind întreaga ecuație la \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Gata. Acum puteți folosi ambele teoreme.

Răspunsuri la întrebările frecvente

Întrebare: Folosind teorema lui Vieta, puteți rezolva oricare?
Fie și rădăcinile ecuației date. Apoi, prin teorema lui Vieta, observăm că produsul este pozitiv, iar suma este un număr negativ. Aceasta înseamnă că ambele rădăcini sunt numere negative. Selectăm perechi de factori care dau un produs de 10 (-1 și -10; -2 și -5). A doua pereche de numere adună până la -7. Aceasta înseamnă că numerele -2 și -5 sunt rădăcinile acestei ecuații. Din pacate nu. Dacă ecuația nu conține numere întregi sau ecuația nu are deloc rădăcini, atunci teorema lui Vieta nu va ajuta. În acest caz, trebuie să utilizați discriminant . Din fericire, 80% dintre ecuațiile din matematica școlară au soluții întregi.

Între rădăcinile și coeficienții unei ecuații pătratice, pe lângă formulele rădăcinilor, există și alte relații utile care sunt date teorema lui Vieta. În acest articol vom oferi o formulare și o demonstrație a teoremei lui Vieta pentru o ecuație pătratică. În continuare considerăm teorema inversă cu teorema lui Vieta. După aceasta, vom analiza cele mai multe soluții exemple tipice. În cele din urmă, notăm formulele Vieta care definesc relația dintre rădăcinile reale ecuație algebrică gradul n și coeficienții săi.

Navigare în pagină.

Teorema lui Vieta, formulare, demonstrație

Din formulele pentru rădăcinile ecuației pătratice a·x 2 +b·x+c=0 de forma, unde D=b 2 −4·a·c, urmează următoarele relații: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a . Aceste rezultate sunt confirmate teorema lui Vieta:

Teorema.

Dacă x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice a x 2 +b x+c=0, atunci suma rădăcinilor este egală cu raportul dintre coeficienții b și a, luați cu semnul opus, și produsul dintre rădăcinile este egală cu raportul dintre coeficienții c și a, adică .

Dovada.

Vom efectua demonstrația teoremei lui Vieta după următoarea schemă: vom compune suma și produsul rădăcinilor ecuației pătratice folosind formule de rădăcină cunoscute, apoi vom transforma expresiile rezultate și ne vom asigura că acestea sunt egale cu − b/a și, respectiv, c/a.

Să începem cu suma rădăcinilor și să o alcătuim. Acum aducem fracțiile la un numitor comun, avem . În numărătorul fracției rezultate, după care:. În cele din urmă, după 2, obținem . Aceasta dovedește prima relație a teoremei lui Vieta pentru suma rădăcinilor unei ecuații pătratice. Să trecem la al doilea.

Compunem produsul rădăcinilor ecuației pătratice: . Conform regulii înmulțirii fracțiilor, ultimul produs poate fi scris ca . Acum înmulțim o paranteză cu o paranteză în numărător, dar este mai rapid să restrângem acest produs cu formula diferenței pătrate, Deci . Apoi, amintindu-ne, efectuăm următoarea tranziție. Și întrucât discriminantul ecuației pătratice corespunde formulei D=b 2 −4·a·c, atunci în loc de D în ultima fracție putem înlocui b 2 −4·a·c, obținem. După ce deschidem parantezele și aducem termeni similari, ajungem la fracția , iar reducerea ei cu 4·a dă . Aceasta dovedește a doua relație a teoremei lui Vieta pentru produsul rădăcinilor.

Dacă omitem explicațiile, demonstrația teoremei lui Vieta va lua o formă laconică:
,
.

Rămâne doar de observat că dacă discriminantul este egal cu zero, ecuația pătratică are o rădăcină. Cu toate acestea, dacă presupunem că ecuația în acest caz are două rădăcini identice, atunci sunt valabile și egalitățile din teorema lui Vieta. Într-adevăr, când D=0 rădăcina ecuației pătratice este egală cu , atunci și , și deoarece D=0, adică b 2 −4·a·c=0, de unde b 2 =4·a·c, atunci .

În practică, teorema lui Vieta este folosită cel mai adesea în raport cu ecuația pătratică redusă (cu coeficientul de conducere a egal cu 1) de forma x 2 +p·x+q=0. Uneori se formulează doar pentru ecuații pătratice de acest tip, ceea ce nu limitează generalitatea, deoarece orice ecuație pătratică poate fi înlocuită cu o ecuație echivalentă prin împărțirea ambelor părți la un număr diferit de zero a. Să dăm formularea corespunzătoare a teoremei lui Vieta:

Teorema.

Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse x 2 +p x+q=0 este egală cu coeficientul lui x luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber, adică x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.

Conversați teorema cu teorema lui Vieta

A doua formulare a teoremei lui Vieta, dată în paragraful precedent, indică faptul că dacă x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice reduse x 2 +p x+q=0, atunci relațiile x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. Pe de altă parte, din relațiile scrise x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q rezultă că x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice x 2 +p x+q=0. Cu alte cuvinte, inversul teoremei lui Vieta este adevărat. Să o formulăm sub forma unei teoreme și să o demonstrăm.

Teorema.

Dacă numerele x 1 și x 2 sunt astfel încât x 1 +x 2 =−p și x 1 · x 2 =q, atunci x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice reduse x 2 +p · x+q =0.

Dovada.

După înlocuirea coeficienților p și q din ecuația x 2 +p·x+q=0 cu expresiile lor prin x 1 și x 2, se transformă într-o ecuație echivalentă.

Să substituim numărul x 1 în loc de x în ecuația rezultată și avem egalitatea x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, care pentru orice x 1 și x 2 reprezintă egalitatea numerică corectă 0=0, deoarece x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Prin urmare, x 1 este rădăcina ecuației x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, ceea ce înseamnă că x 1 este rădăcina ecuației echivalente x 2 +p·x+q=0.

Dacă în ecuație x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0înlocuiți numărul x 2 în loc de x, obținem egalitatea x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Aceasta este o adevărată egalitate, deoarece x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Prin urmare, x 2 este, de asemenea, o rădăcină a ecuației x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, și deci ecuațiile x 2 +p·x+q=0.

Aceasta completează demonstrația teoremei inverse la teorema lui Vieta.

Exemple de utilizare a teoremei lui Vieta

Este timpul să vorbim despre aplicarea practică a teoremei lui Vieta și a teoremei sale inverse. În această secțiune vom analiza soluții la câteva dintre cele mai tipice exemple.

Să începem prin a aplica teorema inversă la teorema lui Vieta. Este convenabil de utilizat pentru a verifica dacă două numere date sunt rădăcini ale unei ecuații pătratice date. În acest caz, se calculează suma și diferența lor, după care se verifică valabilitatea relațiilor. Dacă ambele dintre aceste relații sunt satisfăcute, atunci, în virtutea teoremei converse cu teorema lui Vieta, se ajunge la concluzia că aceste numere sunt rădăcinile ecuației. Dacă cel puțin una dintre relații nu este satisfăcută, atunci aceste numere nu sunt rădăcinile ecuației pătratice. Această abordare poate fi folosită la rezolvarea ecuațiilor pătratice pentru a verifica rădăcinile găsite.

Exemplu.

Care dintre perechile de numere 1) x 1 =−5, x 2 =3 sau 2) sau 3) este o pereche de rădăcini a ecuației pătratice 4 x 2 −16 x+9=0?

Exemplul 2: Rezolvați ecuația

Coeficienții ecuației pătratice date 4 x 2 −16 x+9=0 sunt a=4, b=−16, c=9. Conform teoremei lui Vieta, suma rădăcinilor unei ecuații pătratice ar trebui să fie egală cu −b/a, adică 16/4=4, iar produsul rădăcinilor să fie egal cu c/a, adică 9 /4.

Acum să calculăm suma și produsul numerelor din fiecare dintre cele trei perechi date și să le comparăm cu valorile pe care tocmai le-am obținut.

În primul caz avem x 1 +x 2 =−5+3=−2. Valoarea rezultată este diferită de 4, deci nu poate fi efectuată nicio verificare ulterioară, dar folosind teorema inversă teoremei lui Vieta, se poate concluziona imediat că prima pereche de numere nu este o pereche de rădăcini ale ecuației pătratice date.

Să trecem la al doilea caz. Aici, adică prima condiție este îndeplinită. Verificăm a doua condiție: valoarea rezultată este diferită de 9/4. În consecință, a doua pereche de numere nu este o pereche de rădăcini ale ecuației pătratice.

A mai rămas un ultim caz. Aici și. Ambele condiții sunt îndeplinite, astfel încât aceste numere x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice date.

Reversul teoremei lui Vieta poate fi folosit în practică pentru a găsi rădăcinile unei ecuații pătratice. De obicei, sunt selectate rădăcini întregi ale ecuațiilor pătratice date cu coeficienți întregi, deoarece în alte cazuri acest lucru este destul de dificil de realizat. În acest caz, ei folosesc faptul că, dacă suma a două numere este egală cu al doilea coeficient al ecuației pătratice, luată cu semnul minus, iar produsul acestor numere este egal cu termenul liber, atunci aceste numere sunt rădăcinile acestei ecuații pătratice. Să înțelegem asta cu un exemplu.

Să luăm ecuația pătratică x 2 −5 x+6=0. Pentru ca numerele x 1 și x 2 să fie rădăcinile acestei ecuații, trebuie îndeplinite două egalități: x 1 + x 2 =5 și x 1 · x 2 =6. Tot ce rămâne este să selectezi astfel de numere. În acest caz, acest lucru este destul de simplu de făcut: astfel de numere sunt 2 și 3, deoarece 2+3=5 și 2·3=6. Astfel, 2 și 3 sunt rădăcinile acestei ecuații pătratice.

Teorema inversă teoremei lui Vieta este deosebit de convenabilă de utilizat pentru a găsi a doua rădăcină a unei ecuații pătratice date atunci când una dintre rădăcini este deja cunoscută sau evidentă. În acest caz, a doua rădăcină poate fi găsită din oricare dintre relații.

De exemplu, să luăm ecuația pătratică 512 x 2 −509 x −3=0. Aici este ușor de observat că unitatea este rădăcina ecuației, deoarece suma coeficienților acestei ecuații pătratice este egală cu zero. Deci x 1 =1. A doua rădăcină x 2 poate fi găsită, de exemplu, din relația x 1 ·x 2 =c/a. Avem 1 x 2 =−3/512, din care x 2 =−3/512. Așa am determinat ambele rădăcini ale ecuației pătratice: 1 și −3/512.

Este clar că selecția rădăcinilor este recomandată doar în cele mai simple cazuri. În alte cazuri, pentru a găsi rădăcini, puteți folosi formule pentru rădăcinile unei ecuații pătratice printr-un discriminant.

Încă un lucru aplicare practică Teorema, invers cu teorema lui Vieta, constă în alcătuirea ecuațiilor pătratice având în vedere rădăcinile x 1 și x 2. Pentru a face acest lucru, este suficient să calculați suma rădăcinilor, care dă coeficientul lui x cu semnul opus al ecuației pătratice date, și produsul rădăcinilor, care dă termenul liber.

Exemplu.

Scrieți o ecuație pătratică ale cărei rădăcini sunt −11 și 23.

Exemplul 2: Rezolvați ecuația

Să notăm x 1 =−11 și x 2 =23. Calculăm suma și produsul acestor numere: x 1 +x 2 =12 și x 1 ·x 2 =−253. Prin urmare, numerele indicate sunt rădăcinile ecuației pătratice reduse cu un al doilea coeficient de −12 și un termen liber de −253. Adică, x 2 −12·x−253=0 este ecuația necesară.

x 2 −12·x−253=0 .

Teorema lui Vieta este foarte des folosită la rezolvarea problemelor legate de semnele rădăcinilor ecuațiilor pătratice. Cum este teorema lui Vieta legată de semnele rădăcinilor ecuației pătratice reduse x 2 +p·x+q=0? Iată două afirmații relevante:

Dacă termenul liber q este un număr pozitiv și dacă ecuația pătratică are rădăcini reale, atunci fie ambele sunt pozitive, fie ambele negative.
Dacă termenul liber q este un număr negativ și dacă ecuația pătratică are rădăcini reale, atunci semnele acestora sunt diferite, cu alte cuvinte, o rădăcină este pozitivă și cealaltă negativă.

Aceste afirmații rezultă din formula x 1 · x 2 =q, precum și din regulile de înmulțire a numerelor pozitive, negative și a numerelor cu semne diferite. Să ne uităm la exemple de aplicare a acestora.

Exemplu.

R este pozitiv. Folosind formula discriminantă găsim D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, valoarea expresiei r 2 +8 este pozitivă pentru orice r real, deci D>0 pentru orice r real. În consecință, ecuația pătratică originală are două rădăcini pentru orice valoare reală a parametrului r.

Acum să aflăm când rădăcinile au semne diferite. Dacă semnele rădăcinilor sunt diferite, atunci produsul lor este negativ și, conform teoremei lui Vieta, produsul rădăcinilor ecuației pătratice reduse este egal cu termenul liber. Prin urmare, ne interesează acele valori ale lui r pentru care termenul liber r−1 este negativ. Astfel, pentru a găsi valorile lui r care ne interesează, avem nevoie decide inegalitatea liniară r−1<0 , откуда находим r<1 .

la r<1 .

formule Vieta

Mai sus am vorbit despre teorema lui Vieta pentru o ecuație pătratică și am analizat relațiile pe care le afirmă. Dar există formule care conectează rădăcinile și coeficienții reale nu numai a ecuațiilor pătratice, ci și a ecuațiilor cubice, a ecuațiilor de gradul al patrulea și, în general, ecuații algebrice gradul n. Sunt numiti formulele lui Vieta.

Să scriem formula Vieta pentru o ecuație algebrică de grad n a formei și vom presupune că are n rădăcini reale x 1, x 2, ..., x n (printre ele pot fi și unele care coincid):

Se pot obține formulele lui Vieta teorema despre descompunerea unui polinom în factori liniari, precum și definirea polinoamelor egale prin egalitatea tuturor coeficienților corespunzători acestora. Deci polinomul și expansiunea lui în factori liniari de formă sunt egale. Deschizând parantezele din ultimul produs și echivalând coeficienții corespunzători, obținem formulele lui Vieta.

În special, pentru n=2 avem formulele Vieta deja familiare pentru o ecuație pătratică.

Pentru o ecuație cubică, formulele lui Vieta au forma

Rămâne doar de observat că în partea stângă a formulelor lui Vieta se află așa-numitele elementare polinoame simetrice.

Referințe.

Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 8-a. În 2 ore. Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
Algebrăși începutul analizei matematice. Clasa a X-a: manual. pentru învăţământul general instituţii: de bază şi de profil. niveluri / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; editat de A. B. Jiţcenko. - Ed. a 3-a. - M.: Educație, 2010.- 368 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-022771-1.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.