Rezolvarea orală a ecuațiilor pătratice și teorema lui Vieta. teorema lui Vieta. Exemple de utilizare online a teoremei Inverse Vieta

În clasa a VIII-a, elevii sunt introduși în ecuațiile pătratice și cum să le rezolve. În același timp, după cum arată experiența, majoritatea studenților, atunci când rezolvă ecuații pătratice complete, folosesc o singură metodă - formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice. Pentru studenții care au abilități bune de aritmetică mentală, această metodă este în mod clar irațională. Elevii trebuie adesea să rezolve ecuații patratice chiar și în liceu și acolo este pur și simplu păcat să petreci timp calculând discriminantul. După părerea mea, când studiez ecuații pătratice, trebuie acordată mai mult timp și atenție aplicării teoremei lui Vieta (conform programului Algebra-8 al lui A.G. Mordkovich, sunt planificate doar două ore pentru studierea subiectului „Teorema lui Vieta. Descompunerea unui trinom pătratic în factori liniari”).

În majoritatea manualelor de algebră, această teoremă este formulată pentru ecuația pătratică redusă și afirmă că dacă ecuația are rădăcini și , atunci egalitățile , , sunt satisfăcute pentru ele. Apoi, se formulează o afirmație conversată cu teorema lui Vieta și se oferă o serie de exemple pentru a lucra pe această temă.

Să luăm exemple specifice și să urmărim logica soluției folosind teorema lui Vieta.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația.

Să presupunem că această ecuație are rădăcini, și anume și . Apoi, conform teoremei lui Vieta, egalitățile trebuie să aibă loc simultan:

Vă rugăm să rețineți că produsul rădăcinilor este un număr pozitiv. Aceasta înseamnă că rădăcinile ecuației sunt de același semn. Și deoarece suma rădăcinilor este și un număr pozitiv, concluzionăm că ambele rădăcini ale ecuației sunt pozitive. Să revenim din nou la produsul rădăcinilor. Să presupunem că rădăcinile ecuației sunt numere întregi pozitive. Atunci prima egalitate corectă poate fi obținută numai în două moduri (până la ordinea factorilor): sau . Să verificăm pentru perechile de numere propuse fezabilitatea celei de-a doua afirmații a teoremei lui Vieta: . Astfel, numerele 2 și 3 satisfac ambele egalități și, prin urmare, sunt rădăcinile ecuației date.

Răspuns: 2; 3.

Să evidențiem principalele etape ale raționamentului atunci când rezolvăm ecuația pătratică de mai sus folosind teorema lui Vieta:

notează enunţul teoremei lui Vieta

(*)

determinați semnele rădăcinilor ecuației (Dacă produsul și suma rădăcinilor sunt pozitive, atunci ambele rădăcini sunt numere pozitive. Dacă produsul rădăcinilor este un număr pozitiv, iar suma rădăcinilor este negativă, atunci ambele rădăcini sunt numere negative Dacă produsul rădăcinilor este un număr negativ, atunci rădăcinile au semne diferite.
Mai mult, dacă suma rădăcinilor este pozitivă, atunci rădăcina cu un modul mai mare este un număr pozitiv, iar dacă suma rădăcinilor este mai mică decât zero, atunci rădăcina cu un modul mai mare este un număr negativ);
selectați perechi de numere întregi al căror produs dă prima egalitate corectă în notația (*);
din perechile de numere găsite, selectați perechea care, atunci când este înlocuită în a doua egalitate din notația (*), va da egalitatea corectă;

indicați în răspunsul dvs. rădăcinile găsite ale ecuației.

Să dăm mai multe exemple. .

Exemplul 2: Rezolvați ecuația

Soluţie.

Fie și rădăcinile ecuației date. Apoi, prin teorema lui Vieta, observăm că produsul este pozitiv, iar suma este un număr negativ. Aceasta înseamnă că ambele rădăcini sunt numere negative. Selectăm perechi de factori care dau un produs de 10 (-1 și -10; -2 și -5). A doua pereche de numere adună până la -7. Aceasta înseamnă că numerele -2 și -5 sunt rădăcinile acestei ecuații. -2; -5.

Răspuns: .

Exemplul 2: Rezolvați ecuația

Exemplul 3: Rezolvați ecuația

Fie și rădăcinile ecuației date. Apoi, prin teorema lui Vieta, observăm că produsul este negativ. Aceasta înseamnă că rădăcinile au semne diferite. Suma rădăcinilor este, de asemenea, un număr negativ. Aceasta înseamnă că rădăcina cu cel mai mare modul este negativă. Selectăm perechi de factori care dau produsul -10 (1 și -10; 2 și -5). A doua pereche de numere adună până la -3. Aceasta înseamnă că numerele 2 și -5 sunt rădăcinile acestei ecuații. Rețineți că teorema lui Vieta poate fi formulată, în principiu, pentru o ecuație pătratică completă: dacă ecuația pătratică are rădăcini și , atunci egalitățile , , sunt satisfăcute pentru ei.

Cu toate acestea, aplicarea acestei teoreme este destul de problematică, deoarece într-o ecuație pătratică completă cel puțin una dintre rădăcini (dacă există, desigur) este un număr fracționar. Și lucrul cu selectarea fracțiilor este lung și dificil. Dar totuși există o cale de ieșire. Luați în considerare ecuația pătratică completă . Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu primul coeficient O și scrieți ecuația sub forma . Să introducem o nouă variabilă și să obținem ecuația pătratică redusă, ale cărei rădăcini și (dacă sunt disponibile) pot fi găsite folosind teorema lui Vieta. Atunci rădăcinile ecuației inițiale vor fi . Vă rugăm să rețineți că este foarte simplu să creați o ecuație redusă auxiliară: al doilea coeficient este păstrat, iar al treilea coeficient egal cu produsul. Cu o anumită abilitate, elevii creează imediat o ecuație auxiliară, îi găsesc rădăcinile folosind teorema lui Vieta și indică rădăcinile ecuației complete date. Să dăm exemple.

Exemplul 4: Rezolvați ecuația .

Să creăm o ecuație auxiliară iar folosind teorema lui Vieta îi vom găsi rădăcinile. Aceasta înseamnă că rădăcinile ecuației originale .

Exemplul 5: Rezolvați ecuația .

Ecuația auxiliară are forma . Conform teoremei lui Vieta, rădăcinile sale sunt . Găsirea rădăcinilor ecuației inițiale .

Și încă un caz când aplicarea teoremei lui Vieta vă permite să găsiți verbal rădăcinile unei ecuații pătratice complete. Nu este greu să demonstrezi asta numărul 1 este rădăcina ecuației , dacă și numai dacă. A doua rădăcină a ecuației este găsită de teorema lui Vieta și este egală cu . Inca o afirmatie: astfel încât numărul –1 este rădăcina ecuației necesar si suficient pentru. Atunci a doua rădăcină a ecuației conform teoremei lui Vieta este egală cu . Afirmații similare pot fi formulate pentru ecuația pătratică dată.

Exemplul 6: Rezolvați ecuația.

Rețineți că suma coeficienților ecuației este zero. Deci, rădăcinile ecuației .

Exemplul 7. Rezolvați ecuația.

Coeficienții acestei ecuații satisfac proprietatea (într-adevăr, 1-(-999)+(-1000)=0). Deci, rădăcinile ecuației .

Exemple de aplicare a teoremei lui Vieta

Sarcina 1. Rezolvați ecuația pătratică dată folosind teorema lui Vieta.

1. 6. 11. 16.
2. 7. 12. 17.
3. 8. 13. 18.
4. 9. 14. 19.
5. 10. 15. 20.

Sarcina 2. Rezolvați ecuația pătratică completă trecând la ecuația pătratică redusă auxiliară.

1. 6. 11. 16.
2. 7. 12. 17.
3. 8. 13. 18.
4. 9. 14. 19.
5. 10. 15. 20.

Sarcina 3. Rezolvați o ecuație pătratică folosind proprietatea.

Formularea și demonstrarea teoremei lui Vieta pentru ecuații patratice. Teorema inversă a lui Vieta. Teorema lui Vieta pentru ecuații cubice și ecuații de ordin arbitrar.

Conţinut

Vezi și: Rădăcinile unei ecuații pătratice

Ecuații cuadratice

teorema lui Vieta

Fie și notăm rădăcinile ecuației pătratice reduse
(1) .
Apoi suma rădăcinilor este egală cu coeficientul lui , luat cu semnul opus. Produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber:
;
.

O notă despre mai multe rădăcini

Dacă discriminantul ecuației (1) este zero, atunci această ecuație are o rădăcină. Dar, pentru a evita formulările greoaie, se acceptă în general că, în acest caz, ecuația (1) are două rădăcini multiple sau egale:
.

Dovada unu

Să găsim rădăcinile ecuației (1). Pentru a face acest lucru, aplicați formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice:
;
;
.

Aflați suma rădăcinilor:
.

Pentru a găsi produsul, aplicați formula:
.
Apoi

.

Teorema a fost demonstrată.

Dovada a doua

Dacă numerele sunt rădăcinile ecuației pătratice (1), atunci
.
Deschiderea parantezelor.

.
Astfel, ecuația (1) va lua forma:
.
Comparând cu (1) găsim:
;
.

Teorema a fost demonstrată.

Teorema inversă a lui Vieta

Să fie numere arbitrare. Atunci și sunt rădăcinile ecuației pătratice
,
Unde
(2) ;
(3) .

Dovada teoremei inverse a lui Vieta

Luați în considerare ecuația pătratică
(1) .
Trebuie să demonstrăm că dacă și , atunci și sunt rădăcinile ecuației (1).

Să înlocuim (2) și (3) în (1):
.
Grupăm termenii din partea stângă a ecuației:
;
;
(4) .

Să înlocuim în (4):
;
.

Să înlocuim în (4):
;
.
Ecuația este valabilă. Adică, numărul este rădăcina ecuației (1).

Teorema a fost demonstrată.

Teorema lui Vieta pentru o ecuație pătratică completă

Acum luați în considerare ecuația pătratică completă
(5) ,
unde , și sunt câteva numere. În plus.

Să împărțim ecuația (5) la:
.
Adică, am obținut ecuația dată
,
Unde ; .

Atunci teorema lui Vieta pentru o ecuație pătratică completă are următoarea formă.

Fie și notăm rădăcinile ecuației pătratice complete
.
Apoi suma și produsul rădăcinilor sunt determinate de formulele:
;
.

Teorema lui Vieta pentru ecuația cubică

Într-un mod similar, putem stabili conexiuni între rădăcinile unei ecuații cubice. Luați în considerare ecuația cubică
(6) ,
unde , , , sunt unele numere. În plus.
Să împărțim această ecuație la:
(7) ,
Unde , , .
Fie , , rădăcinile ecuației (7) (și ecuației (6)). Apoi

.

Comparând cu ecuația (7) găsim:
;
;
.

Teorema lui Vieta pentru o ecuație de gradul al n-lea

În același mod, puteți găsi legături între rădăcinile , , ... , , pentru a n-a ecuații grade
.

Teorema lui Vieta pentru ecuație gradul al n-lea are următoarea formă:
;
;
;

.

Pentru a obține aceste formule, scriem ecuația după cum urmează:
.
Apoi echivalăm coeficienții pentru , , , ... , și comparăm termenul liber.

Literatura folosita:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Algebra: un manual pentru clasa a 8-a în instituțiile de învățământ general, Moscova, Educație, 2006.

Vezi și:

Când se studiază metode de rezolvare a ecuațiilor de ordinul doi într-un curs de algebră școlară, se iau în considerare proprietățile rădăcinilor rezultate. Ele sunt cunoscute în prezent ca teorema lui Vieta. Exemple de utilizare a acestuia sunt date în acest articol.

Ecuație cuadratică

Ecuația de ordinul doi este egalitatea prezentată în fotografia de mai jos.

Aici simbolurile a, b, c sunt niște numere numite coeficienți ai ecuației luate în considerare. Pentru a rezolva o egalitate, trebuie să găsiți valorile lui x care o fac adevărată.

Rețineți că, deoarece puterea maximă la care poate fi ridicat x este de două, atunci și numărul de rădăcini în cazul general este de asemenea două.

Există mai multe modalități de a rezolva acest tip de egalități. În acest articol vom lua în considerare una dintre ele, care implică utilizarea așa-numitei teoreme Vieta.

Formularea teoremei lui Vieta

La sfârșitul secolului al XVI-lea, celebrul matematician Francois Viète (francez) a observat, în timp ce analiza proprietățile rădăcinilor diferitelor ecuații pătratice, că anumite combinații ale acestora satisfac relații specifice. În special, aceste combinații sunt produsul și suma lor.

Teorema lui Vieta stabilește următoarele: rădăcinile unei ecuații pătratice, însumate, dau raportul dintre coeficienții liniari și pătratici luați cu semnul opus, iar atunci când sunt înmulțiți duc la raportul dintre termenul liber și coeficientul pătratic. .

Dacă vedere generală ecuația este scrisă așa cum se arată în fotografia din secțiunea anterioară a articolului, apoi matematic această teoremă poate fi scrisă sub forma a două egalități:

r2 + r1 = -b/a;
r 1 x r 2 = c / a.

Unde r 1, r 2 este valoarea rădăcinilor ecuației în cauză.

Cele două egalități de mai sus pot fi folosite pentru a rezolva o serie de probleme matematice diferite. Utilizarea teoremei lui Vieta în exemple cu soluții este dată în următoarele secțiuni ale articolului.

Una dintre metodele de rezolvare a unei ecuații pătratice este utilizarea formule VIET, care a fost numit după FRANCOIS VIETTE.

A fost un avocat celebru care l-a servit pe regele francez în secolul al XVI-lea. ÎN timp liber a studiat astronomia și matematica. El a stabilit o legătură între rădăcinile și coeficienții unei ecuații pătratice.

Avantajele formulei:

1 . Prin aplicarea formulei, puteți găsi rapid o soluție. Pentru că nu este nevoie să introduceți al doilea coeficient în pătrat, apoi să scădeți 4ac din el, să găsiți discriminantul și să înlocuiți valoarea acestuia în formulă pentru a găsi rădăcinile.

2 . Fără o soluție, puteți determina semnele rădăcinilor și puteți selecta valorile rădăcinilor.

3 . După ce am rezolvat un sistem de două înregistrări, nu este dificil să găsiți rădăcinile în sine. În ecuația pătratică de mai sus, suma rădăcinilor este egală cu valoarea celui de-al doilea coeficient cu semnul minus. Produsul rădăcinilor din ecuația pătratică de mai sus este egal cu valoarea celui de-al treilea coeficient.

4 . Folosind aceste rădăcini, scrieți o ecuație pătratică, adică rezolvați problema inversă. De exemplu, această metodă este utilizată la rezolvarea problemelor de mecanică teoretică.

5 . Este convenabil să folosiți formula atunci când coeficientul de conducere este egal cu unu.

Defecte:

1 . Formula nu este universală.

Teorema lui Vieta clasa a VIII-a

Formula
Dacă x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice reduse x 2 + px + q = 0, atunci:

Exemple
x 1 = -1; x 2 = 3 - rădăcinile ecuației x 2 - 2x - 3 = 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Teorema inversă

Formula
Dacă numerele x 1, x 2, p, q sunt legate prin condițiile:

Atunci x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației x 2 + px + q = 0.

Exemplu
Să creăm o ecuație pătratică folosind rădăcinile sale:

X 1 = 2 - ? 3 și x 2 = 2 + ? 3.

P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q = x 1 x 2 = (2 - ? 3 )(2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.

Ecuația necesară are forma: x 2 - 4x + 1 = 0.

Există o serie de relații în ecuațiile pătratice. Principalele sunt relațiile dintre rădăcini și coeficienți. De asemenea, în ecuațiile pătratice există o serie de relații care sunt date de teorema lui Vieta.

În acest subiect, vom prezenta teorema lui Vieta în sine și demonstrația ei pentru o ecuație pătratică, teorema inversă teoremei lui Vieta, și vom analiza o serie de exemple de rezolvare a problemelor. În material vom acorda o atenție deosebită luării în considerare a formulelor lui Vieta, care definesc legătura dintre rădăcinile reale ale unei ecuații algebrice de grad nși coeficienții săi.

Formularea și demonstrarea teoremei lui Vieta

Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice a x 2 + b x + c = 0 de forma x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a, unde D = b 2 − 4 a c, stabilește relații x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a. Acest lucru este confirmat de teorema lui Vieta.

Teorema 1

Într-o ecuație pătratică a x 2 + b x + c = 0, Unde x 1Şi x 2– rădăcini, suma rădăcinilor va fi egală cu raportul coeficienților bŞi o, care a fost luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor va fi egal cu raportul coeficienților cŞi o, adică x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a.

Dovada 1

Vă oferim următoarea schemă de realizare a demonstrației: luați formula rădăcinilor, compuneți suma și produsul rădăcinilor ecuației pătratice și apoi transformați expresiile rezultate pentru a vă asigura că sunt egale. -b aŞi c a respectiv.

Să facem suma rădăcinilor x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a. Să reducem fracțiile la numitor comun- b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a . Să deschidem parantezele din numărătorul fracției rezultate și să prezentăm termeni similari: - b + D + - b - D 2 · a = - b + D - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a . Să reducem fracția cu: 2 - b a = - b a.

Așa am demonstrat prima relație a teoremei lui Vieta, care se referă la suma rădăcinilor unei ecuații pătratice.

Acum să trecem la a doua relație.

Pentru a face acest lucru, trebuie să compunem produsul rădăcinilor ecuației pătratice: x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a.

Să ne amintim de regula de înmulțire a fracțiilor și să notăm ultimul produs după cum urmează: - b + D · - b - D 4 · a 2 .

Să înmulțim o paranteză cu o paranteză în numărătorul fracției sau să folosim formula diferenței de pătrate pentru a transforma mai repede acest produs: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .

Să folosim definiția rădăcină pătrată pentru a face următoarea tranziție: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2. Formula D = b 2 − 4 a c corespunde discriminantului unei ecuații pătratice, prin urmare, într-o fracție în loc de D poate fi înlocuit b 2 − 4 a c:

b 2 - D 4 a 2 = b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2

Să deschidem parantezele, să adăugăm termeni similari și să obținem: 4 · a · c 4 · a 2 . Dacă o scurtăm la 4 a, atunci ce rămâne este c a . Așa am demonstrat a doua relație a teoremei lui Vieta pentru produsul rădăcinilor.

Dovada teoremei lui Vieta poate fi scrisă într-o formă foarte laconică dacă omitem explicațiile:

x 1 + x 2 = - b + D 2 a + - b - D 2 a = - b + D + - b - D 2 a = - 2 b 2 a = - b a , x 1 x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a = - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 = = D = b 2 - 4 · a · c = b 2 - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .

Când discriminantul unei ecuații pătratice este egal cu zero, ecuația va avea o singură rădăcină. Pentru a putea aplica teorema lui Vieta unei astfel de ecuații, putem presupune că ecuația, cu un discriminant egal cu zero, are două rădăcini identice. Într-adevăr, când D=0 rădăcina ecuației pătratice este: - b 2 · a, atunci x 1 + x 2 = - b 2 · a + - b 2 · a = - b + (- b) 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a și x 1 · x 2 = - b 2 · a · - b 2 · a = - b · - b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2 , și deoarece D = 0, adică b 2 - 4 · a · c = 0, de unde b 2 = 4 · a · c, apoi b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a.

Cel mai adesea în practică, teorema lui Vieta este aplicată ecuației pătratice reduse a formei x 2 + p x + q = 0, unde coeficientul principal a este egal cu 1. În acest sens, teorema lui Vieta este formulată special pentru ecuații de acest tip. Acest lucru nu limitează generalitatea datorită faptului că orice ecuație pătratică poate fi înlocuită cu o ecuație echivalentă. Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțiți ambele părți la un număr diferit de zero.

Să dăm o altă formulare a teoremei lui Vieta.

Teorema 2

Suma rădăcinilor din ecuația pătratică dată x 2 + p x + q = 0 va fi egal cu coeficientul lui x, care se ia cu semnul opus, produsul rădăcinilor va fi egal cu termenul liber, adică. x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q.

Conversați teorema cu teorema lui Vieta

Dacă te uiți cu atenție la a doua formulare a teoremei lui Vieta, poți vedea că pentru rădăcini x 1Şi x 2 ecuație pătratică redusă x 2 + p x + q = 0 vor fi valabile următoarele relaţii: x 1 + x 2 = − p, x 1 · x 2 = q. Din aceste relații x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q rezultă că x 1Şi x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice x 2 + p x + q = 0. Așa că ajungem la o afirmație care este inversul teoremei lui Vieta.

Ne propunem acum să formalizăm această afirmație ca o teoremă și să realizăm demonstrația ei.

Teorema 3

Dacă numerele x 1Şi x 2 sunt astfel încât x 1 + x 2 = − pŞi x 1 x 2 = q, Asta x 1Şi x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice reduse x 2 + p x + q = 0.

Dovada 2

Înlocuirea cotelor pŞi q la exprimarea lor prin x 1Şi x 2 vă permite să transformați ecuația x 2 + p x + q = 0într-un echivalent .

Dacă înlocuim numărul în ecuația rezultată x 1în loc de x, atunci obținem egalitatea x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Aceasta este egalitate pentru orice x 1Şi x 2 se transformă într-o adevărată egalitate numerică 0 = 0 , pentru că x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Aceasta înseamnă că x 1– rădăcina ecuației x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, Şi ce dacă x 1 este, de asemenea, rădăcina ecuației echivalente x 2 + p x + q = 0.

Înlocuirea în ecuație x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 numere x 2în loc de x ne permite să obținem egalitate x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Această egalitate poate fi considerată adevărată, deoarece x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Se dovedește că x 2 este rădăcina ecuației x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, și de aici ecuațiile x 2 + p x + q = 0.

Reversul teoremei lui Vieta a fost dovedit.

Exemple de utilizare a teoremei lui Vieta

Să începem acum să analizăm cele mai tipice exemple pe această temă. Să începem prin a analiza problemele care necesită aplicarea teoremei inverse teoremei lui Vieta. Poate fi folosit pentru a verifica numerele produse de calcule pentru a vedea dacă sunt rădăcinile unei ecuații pătratice date. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculați suma și diferența lor, apoi verificați validitatea relațiilor x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = a c.

Îndeplinirea ambelor relații indică faptul că numerele obținute în timpul calculelor sunt rădăcinile ecuației. Dacă vedem că cel puțin una dintre condiții nu este îndeplinită, atunci aceste numere nu pot fi rădăcinile ecuației pătratice date în enunțul problemei.

Exemplul 1

Care dintre perechile de numere 1) x 1 = − 5, x 2 = 3 sau 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3 sau 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 este o pereche de rădăcini ale unei ecuații pătratice 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?

Soluţie

Să găsim coeficienții ecuației pătratice 4 x 2 − 16 x + 9 = 0. Acesta este a = 4, b = − 16, c = 9. Conform teoremei lui Vieta, suma rădăcinilor unei ecuații pătratice trebuie să fie egală cu -b a, adică 16 4 = 4 , iar produsul rădăcinilor trebuie să fie egal c a, adică 9 4 .

Să verificăm numerele obținute calculând suma și produsul numerelor din trei perechi date și comparându-le cu valorile obținute.

In primul caz x 1 + x 2 = − 5 + 3 = − 2. Această valoare este diferită de 4, prin urmare, verificarea nu trebuie continuată. Conform teoremei inverse cu teorema lui Vieta, putem concluziona imediat că prima pereche de numere nu sunt rădăcinile acestei ecuații pătratice.

În al doilea caz, x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Vedem că prima condiție este îndeplinită. Dar a doua condiție nu este: x 1 · x 2 = 1 - 3 · 3 + 3 = 3 + 3 - 3 · 3 - 3 = - 2 · 3. Valoarea pe care o obținem este diferită de 9 4 . Aceasta înseamnă că a doua pereche de numere nu sunt rădăcinile ecuației pătratice.

Să trecem la a treia pereche. Aici x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 și x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4. Ambele condiții sunt îndeplinite, ceea ce înseamnă că x 1Şi x 2 sunt rădăcinile unei ecuații pătratice date.

De asemenea, putem folosi inversul teoremei lui Vieta pentru a găsi rădăcinile unei ecuații pătratice. Cel mai simplu mod este de a selecta rădăcini întregi ale ecuațiilor pătratice date cu coeficienți întregi. Alte opțiuni pot fi luate în considerare. Dar acest lucru poate complica semnificativ calculele.

Pentru a selecta rădăcini, folosim faptul că, dacă suma a două numere este egală cu al doilea coeficient al unei ecuații pătratice, luată cu semnul minus, iar produsul acestor numere este egal cu termenul liber, atunci aceste numere sunt rădăcinile acestei ecuații pătratice.

Exemplul 2

Ca exemplu, folosim ecuația pătratică x 2 − 5 x + 6 = 0. Numerele x 1Şi x 2 pot fi rădăcinile acestei ecuații dacă sunt îndeplinite două egalități x 1 + x 2 = 5Şi x 1 x 2 = 6. Să selectăm aceste numere. Acestea sunt numerele 2 și 3, deoarece 2 + 3 = 5 Şi 2 3 = 6. Se pare că 2 și 3 sunt rădăcinile acestei ecuații pătratice.

Reversul teoremei lui Vieta poate fi folosit pentru a găsi a doua rădăcină atunci când prima este cunoscută sau evidentă. Pentru a face acest lucru, putem folosi relațiile x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = c a.

Exemplul 3

Luați în considerare ecuația pătratică 512 x 2 − 509 x − 3 = 0. Este necesar să găsiți rădăcinile acestei ecuații.

Soluţie

Prima rădăcină a ecuației este 1, deoarece suma coeficienților acestei ecuații pătratice este zero. Se dovedește că x 1 = 1.

Acum să găsim a doua rădăcină. Pentru aceasta puteți folosi relația x 1 x 2 = c a. Se dovedește că 1 x 2 = − 3.512, unde x 2 = - 3.512.

Este posibil să selectați rădăcini folosind teorema inversă teoremei lui Vieta numai în cazuri simple. În alte cazuri, este mai bine să căutați folosind formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice printr-un discriminant.

Datorită inversului teoremei lui Vieta, putem construi și ecuații pătratice folosind rădăcinile existente. x 1Şi x 2. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculăm suma rădăcinilor, care dă coeficientul pt x cu semnul opus al ecuației pătratice date și produsul rădăcinilor, care dă termenul liber.

Exemplul 4

Scrieți o ecuație pătratică ale cărei rădăcini sunt numere − 11 Şi 23 .

Soluţie

Să presupunem că x 1 = − 11Şi x 2 = 23. Suma și produsul acestor numere vor fi egale: x 1 + x 2 = 12Şi x 1 x 2 = − 253. Aceasta înseamnă că al doilea coeficient este 12, termenul liber − 253.

Să facem o ecuație: x 2 − 12 x − 253 = 0.

Răspuns: x 2 − 12 x − 253 = 0 .

Putem folosi teorema lui Vieta pentru a rezolva probleme care implică semnele rădăcinilor ecuațiilor pătratice. Legătura dintre teorema lui Vieta este legată de semnele rădăcinilor ecuației pătratice reduse x 2 + p x + q = 0 după cum urmează:

dacă ecuaţia pătratică are rădăcini reale şi dacă termenul de interceptare q este un număr pozitiv, atunci aceste rădăcini vor avea același semn „+” sau „-”;
dacă ecuaţia pătratică are rădăcini şi dacă termenul de interceptare q este un număr negativ, atunci o rădăcină va fi „+”, iar a doua „-”.

Ambele afirmații sunt o consecință a formulei x 1 x 2 = qși reguli pentru înmulțirea numerelor pozitive și negative, precum și a numerelor cu semne diferite.

Exemplul 5

Sunt rădăcinile unei ecuații pătratice x 2 − 64 x − 21 = 0 pozitiv?

Soluţie

Conform teoremei lui Vieta, rădăcinile acestei ecuații nu pot fi ambele pozitive, deoarece trebuie să satisfacă egalitatea x 1 x 2 = − 21. Acest lucru este imposibil cu pozitiv x 1Şi x 2.

Exemplul 6

La ce valori ale parametrilor r ecuație pătratică x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0 va avea două rădăcini reale cu semne diferite.

Soluţie

Să începem prin a găsi valorile cărora r, pentru care ecuația va avea două rădăcini. Să găsim discriminantul și să vedem ce r el va accepta valori pozitive. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. Valoarea expresiei r2+8 pozitiv pentru orice real r, prin urmare, discriminantul va fi mai mare decât zero pentru orice real r. Aceasta înseamnă că ecuația pătratică originală va avea două rădăcini pentru orice valoare reală a parametrului r.

Acum să vedem când rădăcinile au semne diferite. Acest lucru este posibil dacă produsul lor este negativ. Conform teoremei lui Vieta, produsul rădăcinilor ecuației pătratice reduse este egal cu termenul liber. Aceasta înseamnă că soluția corectă va fi acele valori r, pentru care termenul liber r − 1 este negativ. Să decidem inegalitatea liniară r - 1< 0 , получаем r < 1 .

formule Vieta

Există o serie de formule care sunt aplicabile pentru a efectua operații cu rădăcinile și coeficienții nu numai a ecuațiilor pătratice, ci și cubice și a altor tipuri de ecuații. Se numesc formulele lui Vieta.

Pentru o ecuație algebrică a gradului n de forma a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 se consideră că are ecuația n rădăcini adevărate x 1 , x 2 , … , x n, printre care pot fi aceleași:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n = - a 1 a 0 , x 1 · x 2 + x 1 · x 3 + . . . + x n - 1 · x n = a 2 a 0 , x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 · x 4 + . . . + x n - 2 · x n - 1 · x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 · x 2 · x 3 · . . . · x n = (- 1) n · a n a 0

Definiția 1

Formulele lui Vieta ne ajută să obținem:

teorema despre descompunerea unui polinom în factori liniari;
determinarea polinoamelor egale prin egalitatea tuturor coeficienților lor corespunzători.

Astfel, polinomul a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n și extinderea lui în factori liniari de forma a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) sunt egale.

Dacă deschidem parantezele din ultimul produs și echivalăm coeficienții corespunzători, obținem formulele lui Vieta. Luând n = 2, putem obține formula lui Vieta pentru ecuația pătratică: x 1 + x 2 = - a 1 a 0, x 1 · x 2 = a 2 a 0.

Definiția 2

Formula lui Vieta pentru ecuația cubică:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0 , x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0 , x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0

Partea stângă a formulei Vieta conține așa-numitele polinoame simetrice elementare.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.