Exemplul 1 . Calculați aria figurii delimitată de liniile: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 și x = 2

Să construim o figură (vezi figura) Construim o dreaptă x + 2y – 4 = 0 folosind două puncte A(4;0) și B(0;2). Exprimând y prin x, obținem y = -0,5x + 2. Folosind formula (1), unde f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, găsim

S = = [-0,25=11,25 sq. unitati

Exemplul 2. Calculați aria figurii delimitată de liniile: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 și y = 0.

Soluţie. Să construim figura.

Să construim o dreaptă x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Să construim o dreaptă x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Să găsim punctul de intersecție al dreptelor rezolvând sistemul de ecuații:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Pentru a calcula aria necesară, împărțim triunghiul AMC în două triunghiuri AMN și NMC, deoarece atunci când x se schimbă de la A la N, aria este limitată de o linie dreaptă, iar când x se schimbă de la N la C - de o linie dreaptă

Pentru triunghiul AMN avem: ; y = 0,5x + 2, adică f(x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.

Pentru triunghiul NMC avem: y = - x + 5, adică f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Calculând aria fiecărui triunghi și adunând rezultatele, găsim:

mp unitati

mp unitati

9 + 4, 5 = 13,5 mp. unitati Verificați: = 0,5AC = 0,5 sq. unitati

Exemplul 3. Calculați aria unei figuri mărginite de drepte: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

În acest caz, trebuie să calculați aria unui trapez curbat mărginit de parabola y = x 2 , linii drepte x = 2 și x = 3 și axa Ox (vezi figura) Utilizând formula (1) găsim aria trapezului curbiliniu

= = 6 mp. unitati

Exemplul 4. Calculați aria figurii delimitată de liniile: y = - x 2 + 4 și y = 0

Să construim figura. Aria necesară este închisă între parabola y = - x 2 + 4 și axa Ox.

Să găsim punctele de intersecție ale parabolei cu axa Ox. Presupunând y = 0, găsim x = Deoarece această cifră este simetrică față de axa Oy, calculăm aria figurii situate în dreapta axei Oy și dublăm rezultatul obținut: = +4x]sq. unitati 2 = 2 mp. unitati

Exemplul 5. Calculați aria unei figuri delimitate de drepte: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Aici trebuie să calculați aria unui trapez curbiliniu delimitat de ramura superioară a parabolei 2 = x, axa Ox și linii drepte x = 1 și x = 4 (vezi figura)

Conform formulei (1), unde f(x) = a = 1 și b = 4, avem = (= unități pătrate.

Exemplul 6 . Calculați aria figurii mărginite de drepte: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Suprafața necesară este limitată de semi-undă a sinusoidei și de axa Ox (vezi figura).

Avem - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 sq. unitati

Exemplul 7. Calculați aria figurii delimitată de liniile: y = - 6x, y = 0 și x = 4.

Figura este situată sub axa Ox (vezi figura).

Prin urmare, găsim aria sa folosind formula (3)

= =

Exemplul 8. Calculați aria figurii delimitată de liniile: y = și x = 2. Construiți curba y = din puncte (vezi figura). Astfel, găsim aria figurii folosind formula (4)

Exemplul 9 .

X 2 + y 2 = r 2 .

Aici trebuie să calculați aria cuprinsă de cercul x 2 + y 2 = r 2 , adică aria unui cerc cu raza r cu centrul la origine. Să găsim a patra parte a acestei zone luând limitele integrării de la 0

înainte; avem: 1 = = [

Prin urmare, 1 =

Exemplul 10. Calculați aria unei figuri mărginite de drepte: y= x 2 și y = 2x

Această cifră este limitată de parabola y = x 2 iar dreapta y = 2x (vezi figura) Pentru a determina punctele de intersecție ale dreptelor date, rezolvăm sistemul de ecuații: x 2 – 2x = 0 x = 0 și x = 2

Folosind formula (5) pentru a găsi aria, obținem

= , în fiecare dintre care funcția își păstrează semnul.

Conform regulii semnelor, pe segmentul [ π , 2π ] zona este luată cu semnul minus.

Ca urmare, aria necesară este egală cu

Determinați volumul unui corp delimitat de o suprafață obținută din rotația unei elipseîn jurul axei majoreo .

Soluţie.

Având în vedere că elipsa este simetrică față de axele de coordonate, este suficient să găsim volumul format prin rotație în jurul axei Bou zonă OAB, egal cu un sfert din aria elipsei și dublu rezultatul.

Să notăm volumul unui corp de rotație cu V x; apoi pe baza formulei avem , unde 0 și o- abscisele punctelor BŞi O. Din ecuația elipsei găsim . De aici

Astfel, volumul necesar este egal cu . (Când elipsa se rotește în jurul axei minore b, volumul corpului este egal cu )

Aflați aria delimitată de paraboley 2 = 2 px Şix 2 = 2 py .

Soluţie.

Mai întâi, să găsim coordonatele punctelor de intersecție ale parabolelor pentru a determina segmentul de integrare. Transformând ecuațiile originale, obținem și . Echivalând aceste valori, obținem sau x 4 - 8p 3 x = 0.

x 4 - 8p 3 x = x(x 3 - 8p 3) = x(x - 2p)(x 2 + 2px + 4p 2) = 0.

Găsirea rădăcinilor ecuațiilor:

Având în vedere faptul că punctul O intersecția parabolelor este în primul trimestru, apoi limitele integrării x= 0 și x = 2p.

Găsim aria necesară folosind formula

Aplicarea integralei la rezolvarea problemelor aplicate

Calculul suprafeței

Integrala definită a unei funcții continue nenegative f(x) este numeric egală cu aria unui trapez curbiliniu delimitată de curba y = f(x), axa O x și liniile drepte x = a și x = b. În conformitate cu aceasta, formula ariei este scrisă după cum urmează:

Să ne uităm la câteva exemple de calculare a ariilor figurilor plane.

Sarcina nr. 1. Calculați aria delimitată de liniile y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Soluţie. Să construim o figură a cărei arie va trebui să o calculăm.

y = x 2 + 1 este o parabolă ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus, iar parabola este deplasată în sus cu o unitate în raport cu axa O y (Figura 1).

Figura 1. Graficul funcției y = x 2 + 1

Sarcina nr. 2. Calculați aria delimitată de liniile y = x 2 – 1, y = 0 în intervalul de la 0 la 1.

Soluţie. Graficul acestei funcții este o parabolă de ramuri care sunt îndreptate în sus, iar parabola este deplasată în jos față de axa O y cu o unitate (Figura 2).

Figura 2. Graficul funcției y = x 2 – 1

Sarcina nr. 3. Faceți un desen și calculați aria figurii delimitată de linii

y = 8 + 2x – x 2 și y = 2x – 4.

Soluţie. Prima dintre aceste două linii este o parabolă cu ramurile sale îndreptate în jos, deoarece coeficientul lui x 2 este negativ, iar a doua linie este o dreaptă care intersectează ambele axe de coordonate.

Pentru a construi o parabolă, găsim coordonatele vârfului acesteia: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – abscisa vârfului; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 este ordonata sa, N(1;9) este vârful său.

Acum să găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei prin rezolvarea sistemului de ecuații:

Echivalarea părților drepte ale unei ecuații ale cărei părți stângi sunt egale.

Se obține 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 sau x 2 – 12 = 0, de unde .

Deci, punctele sunt punctele de intersecție ale unei parabole și ale unei linii drepte (Figura 1).

Figura 3 Grafice ale funcțiilor y = 8 + 2x – x 2 și y = 2x – 4

Să construim o dreaptă y = 2x – 4. Ea trece prin punctele (0;-4), (2;0) de pe axele de coordonate.

Pentru a construi o parabolă, puteți folosi și punctele sale de intersecție cu axa 0x, adică rădăcinile ecuației 8 + 2x – x 2 = 0 sau x 2 – 2x – 8 = 0. Folosind teorema lui Vieta, este ușor pentru a-i găsi rădăcinile: x 1 = 2, x 2 = 4.

Figura 3 prezintă o figură (segment parabolic M 1 N M 2) delimitată de aceste drepte.

A doua parte a problemei este să găsiți zona acestei figuri. Zona sa poate fi găsită folosind integrală definită conform formulei .

În raport cu această condiție, obținem integrala:

2 Calculul volumului unui corp de rotație

Volumul corpului obținut din rotirea curbei y = f(x) în jurul axei O x se calculează prin formula:

Când se rotește în jurul axei O y, formula arată astfel:

Sarcina nr. 4. Determinați volumul corpului obținut din rotația unui trapez curbat delimitat de drepte x = 0 x = 3 și curba y = în jurul axei O x.

Soluţie. Să desenăm o imagine (Figura 4).

Figura 4. Graficul funcției y =

Volumul necesar este

Sarcina nr. 5. Calculați volumul corpului obținut din rotația unui trapez curbat mărginit de curba y = x 2 și de linii drepte y = 0 și y = 4 în jurul axei O y.

Soluţie. Avem:

Întrebări de revizuire

Să considerăm un trapez curbat mărginit de axa Ox, curba y=f(x) și două drepte: x=a și x=b (Fig. 85). Să luăm o valoare arbitrară a lui x (doar nu a și nu b). Să-i dăm un increment h = dx și să considerăm o bandă delimitată de drepte AB și CD, axa Ox și arcul BD aparținând curbei luate în considerare. Vom numi această bandă o bandă elementară. Aria unei benzi elementare diferă de aria dreptunghiului ACQB prin triunghi curbiliniu BQD, iar aria acestuia din urmă zonă mai mică dreptunghi BQDM cu laturile BQ = =h=dx) QD=Ay și aria egală cu hAy = Ay dx. Pe măsură ce latura h scade, latura Du scade și concomitent cu h tinde spre zero. Prin urmare, aria BQDM este infinitezimală de ordinul doi. Aria unei benzi elementare este incrementul ariei, iar aria dreptunghiului ACQB, egală cu AB-AC ==/(x) dx> este diferența ariei. În consecință, găsim zona în sine prin integrarea diferenţialului acesteia. În cadrul figurii luate în considerare, variabila independentă l: se schimbă de la a la b, deci aria necesară 5 va fi egală cu 5= \f(x) dx. (I) Exemplul 1. Să calculăm aria mărginită de parabola y - 1 -x*, drepte X =--Fj-, x = 1 și axa O* (Fig. 86). la Fig. 87. Fig. 86. 1 Aici f(x) = 1 - l?, limitele integrării sunt a = - și £ = 1, deci J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Exemplul 2. Să calculăm aria limitată de sinusoida y = sinXy, axa Ox și linia dreaptă (Fig. 87). Aplicând formula (I), obținem A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Exemplul 3. Calculați aria limitată de arcul sinusoidei ^у = sin jc, închisă între două puncte de intersecție adiacente cu axa Ox (de exemplu, între origine și punctul cu abscisa i). Rețineți că din considerente geometrice este clar că această zonă va fi de două ori mai mare decât aria exemplului anterior. Totuși, să facem calculele: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Într-adevăr, ipoteza noastră s-a dovedit a fi corectă. Exemplul 4. Calculați aria delimitată de sinusoid și de axa Ox la o perioadă (Fig. 88). Calculele preliminare sugerează că aria va fi de patru ori mai mare decât în ​​Exemplul 2. Totuși, după efectuarea calculelor, obținem „i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l - (-cos 0) = - 1 + 1 = 0. Acest rezultat necesită clarificare. Pentru a clarifica esența problemei, calculăm și aria limitată de aceeași sinusoidă y = sin l: și axa Ox în intervalul de la l la 2i. Aplicând formula (I), obținem 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Astfel, vedem că această zonă s-a dovedit a fi negativă. Comparând-o cu aria calculată în exercițiul 3, constatăm că valorile lor absolute sunt aceleași, dar semnele sunt diferite. Dacă aplicăm proprietatea V (vezi Capitolul XI, § 4), obținem 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Ceea ce sa întâmplat în acest exemplu nu este un accident. Întotdeauna aria situată sub axa Ox, cu condiția ca variabila independentă să se schimbe de la stânga la dreapta, se obține atunci când se calculează folosind integrale. În acest curs vom lua în considerare întotdeauna zonele fără semne. Prin urmare, răspunsul din exemplul tocmai discutat va fi: aria necesară este 2 + |-2| = 4. Exemplul 5. Să calculăm aria BAB prezentată în Fig. 89. Această zonă este limitată de axa Ox, parabola y = - xr și dreapta y - = -x+\. Aria unui trapez curbiliniu Aria necesară OAB este formată din două părți: OAM și MAV. Deoarece punctul A este punctul de intersecție al unei parabole și al unei drepte, vom găsi coordonatele acesteia prin rezolvarea sistemului de ecuații 3 2 Y = mx. (ne trebuie doar să găsim abscisa punctului A). Rezolvând sistemul, găsim l; = ~. Prin urmare, aria trebuie calculată în părți, primul pătrat. OAM și apoi pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x)